Enoncé de l’exercice
On donne A(1;2) et B(-2;-1).
Déterminer une équation cartésienne de d la droite perpendiculaire à (AB) passant par A.
Conjecture à l’aide de Géogébra : on utilise la page Géogébra ci-dessous pour conjecturer le résultat.
Pour ceux qui ne sont pas à l’aise avec Géogébra suivez les indications ci-dessous.
Pour placer A, saisir dans la colonne de gauche A=(1,2). Attention bien saisir une virgule entre les coordonnées.
Pour placer B, saisir dans la colonne de gauche B=(-2,-1). Attention bien saisir une virgule entre les coordonnées.
Pour tracer la droite (AB). Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche et sélectionner droite dans le menu déroulant. Puis dans le repère cliquer sur A puis sur B.
Pour tracer la droite d, cliquer sur le quatrième onglet à partir de la gauche et sélectionner Perpendiculaire dans le menu déroulant. Puis dans le repère cliquer sur A et sur la droite (AB). La droite apparaît et son équation dans la colonne de gauche. Pour obtenir une équation cartésienne, cliquer gauche sur l’équation affichée et choisir Equation ax+by+c=0.
Correction de l’exercice
On veut déterminer une équation cartésienne de d la droite perpendiculaire à (AB) passant par A.
On utilise le résultat du cours suivant : Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
On va calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} qui est normal à la droite d.
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}A(1;2)\hspace{2cm}B(-2;-1)
J’écris la formule : \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}(-2-1;-1-2)
\overrightarrow{AB}(-3;-3)
On remplace a par -3 et b par -3 dans l’équation ax+by+c=0.
Une équation cartésienne de d est de la forme :
-3x-3y+c=0
Pour déterminer c, il faut remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite et résoudre l’équation dont c est l’inconnue.
(d) passe par A(1;2), on remplace x par 1 et y par 2 dans -3x-3y+c=0.
-3\times 1-3\times 2+c=0
-3-6+c=0
-9+c=0
c=9
Une équation cartésienne de d est -3x-3y+9=0
