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Exercice avec Al-Kashi publié sur facebook

Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants  A(-4;-1) , B(-1;3) et C(3;1).

La fenêtre Géogébra est active, utilisez-la à bon escient.

  1. Calculer les distances AB , AC et BC.

Avant de se lancer dans les calculs, mesurer la distance AB à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.

Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou Longueur. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point A et sur le point B. Le logiciel affiche la distance [latex]AB[/latex].

correction AB
correction AC
correction BC

2. Calculer la mesure en degrés des angles \widehat{BCA} , \widehat{ABC} et \widehat{CAB}

Avant de se lancer dans les calculs, mesurer l’angle  \widehat{BCA} à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.

Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Angle. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point B, sur le point C et sur le point A. Le logiciel affiche la mesure en degrés de l’angle \widehat{BCA}.

correction \widehat{BCA}
correction \widehat{ABC}
correction \widehat{CAB}n°1(avec Al-Kashi)
correction \widehat{CAB}n°2( plus simple)

©2020 – Math’O karé SAS

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(-4;-1) \hspace{0.4cm} B(-1;3)

On écrit la formule du cours :

AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}} 

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

AB=\sqrt {{((-1)-(-4))}^{2}+{(3-(-1))}^{2}}

On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

AB=\sqrt {{3}^{2}+{4}^{2}} 

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés. 

AB=\sqrt {9+16}

On effectue ensuite la somme

AB=\sqrt {25}

AB=5

 

 

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et C ainsi

\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}

\hspace{0.2cm} A(-4;-1) \hspace{0.4cm} C(3;1)

On écrit la formule du cours :

AC=\sqrt {{(x_C-x_A) }^{2}+{(y_C-y_A) }^{2}} 

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

AC=\sqrt {{(3-(-4))}^{2}+{(1-(-1))}^{2}}

On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

AC=\sqrt {{7}^{2}+{2}^{2}} 

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés. 

AC=\sqrt {49+4}

On effectue ensuite la somme

AC=\sqrt {53}

 

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi

\hspace{0.6cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.6cm} x_{C} y_{C}

\hspace{0.2cm} B(-1;3) \hspace{0.4cm} C(3;1)

On écrit la formule du cours :

BC=\sqrt {{(x_C-x_B) }^{2}+{(y_C-y_B) }^{2}} 

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

BC=\sqrt {{(3-(-1))}^{2}+{(1-3)}^{2}}

On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

BC=\sqrt {{4}^{2}+{(-2)}^{2}} 

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés. 

BC=\sqrt {16+4}

On effectue ensuite la somme

BC=\sqrt {20}

Comme 20 peut s’écrire comme le produit d’un nombre fois le carré d’un nombre, on peut poursuivre.

BC=\sqrt {4\times 5}

BC=\sqrt {4}\times \sqrt{5}

BC=2\sqrt {5}

 

Voici ce qu’on peut conjecturer avec géogébra, \widehat{BCA} mesure 43°.

On veut déterminer une mesure de  l’angle \widehat{BCA} en utilisant Al Kashi.

Pour la formule, c’est facile. A gauche du signe égal, il y aura le carré du côté opposé à l’angle \widehat{BCA} ici AB.

A droite les carrés des côtés adjacents à l’angle ici AC et BC et l’opposé de leur double produit multiplié par cos( \widehat{BCA}).

AB^2=BC^2+AC^2-2\times BC\times AC\times cos(\widehat{BCA})

On remplace AB par  5.

On remplace BC par 2\sqrt{5}.

On remplace AC par \sqrt{53}.

5^2=(2\sqrt{5})^2+\sqrt{53}^2-2\times 2\sqrt{5}\times \sqrt{53}\times cos(\widehat{BCA})

On calcule les puissances et les produits.

25=20+53- 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})

25=73- 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})

73- 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})=25

– 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})=25-73

– 4\sqrt{265}cos(\widehat{BCA})=-48

cos(\widehat{BCA})=\frac{-48}{-4\sqrt{265}}

\widehat{BCA}=cos^{-1}(\frac{12}{\sqrt{265}})

\widehat{BCA}=43°

 

A l’aide de Géogébra, on conjecture que l’angle \widehat{ABC} mesure 100°.

On veut déterminer une mesure de  l’angle \widehat{ABC} en utilisant Al Kashi.

Pour la formule, c’est facile. A gauche du signe égal, il y aura le carré du côté opposé à l’angle \widehat{ABC} ici AC.

A droite les carrés des côtés adjacents à l’angle ici AB et BC et l’opposé de leur double produit multiplié par cos( \widehat{ABC}).

AC^2=BC^2+AB^2-2\times BC\times AB\times cos(\widehat{ABC})

On remplace AB par  5.

On remplace BC par 2\sqrt{5}.

On remplace AC par \sqrt{53}.

\sqrt{53}^2=(2\sqrt{5})^2+5^2-2\times 2\sqrt{5}\times 5\times cos(\widehat{ABC})

On calcule les puissances et les produits.

53=20+25- 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})

53=45- 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})

45- 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})=53

– 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})=53-45

– 20\sqrt{5}cos(\widehat{ABC})=8

cos(\widehat{ABC})=\frac{8}{-20\sqrt{5}}

\widehat{ABC}=cos^{-1}(-\frac{2}{5\sqrt{5}})

\widehat{ABC}=100°

 

Avec Géogébra, on conjecture que \widehat{CAB}=37°.

On veut déterminer une mesure de  l’angle \widehat{CAB} en utilisant Al Kashi.

Pour la formule, c’est facile. A gauche du signe égal, il y aura le carré du côté opposé à l’angle \widehat{BCA} ici BC.

A droite les carrés des côtés adjacents à l’angle ici AC et AB et l’opposé de leur double produit multiplié par cos( \widehat{CAB}).

BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times cos(\widehat{CAB})

On remplace AB par  5.

On remplace BC par 2\sqrt{5}.

On remplace AC par \sqrt{53}.

(2\sqrt{5})^2=5^2+\sqrt{53}^2-2\times 5\times \sqrt{53}\times cos(\widehat{CAB})

On calcule les puissances et les produits.

20=25+53- 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})

20=78- 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})

78- 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})=20

– 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})=20-78

– 10\sqrt{53}cos(\widehat{CAB})=-58

cos(\widehat{CAB})=\frac{-58}{-10\sqrt{53}}

\widehat{CAB}=cos^{-1}(\frac{29}{5\sqrt{53}})

\widehat{CAB}=37°

Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°, donc :

\widehat{BCA}+\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=180\\43+100+\widehat{CAB}=180\\143+\widehat{CAB}=180\\\widehat{CAB}=180-143\\\widehat{CAB}=37°

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.