1. Fonction exponentielle. Exercices type évaluation.

ANALYSE, Exercices type évaluation fin d'année fonction exponentielle, fonction exponentielle, Niveau première

Exercice n°1

On considère la fonction $f$ sur $\mathbf{R} par f(x)=\frac{x^2+1}{e^x}$
1. Déterminer les coordonnées du point $A$ , point d’intersection de la courbe $C_f$ avec l’axe des ordonnées.

2. La courbe $C_f$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ? Justifier la réponse.

3. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$ . Montrer que $f'(x)=\frac{-x^2+2x-1}{e^x}$ .

4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbf{R}$ . En déduire le sens de variation de 𝑓 sur
$\mathbf{R}$ .

5. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point $A$ d’abscisse $0$ . La tangente 𝑇 passe-t-elle par le point de $(-6;8)$ ? Justifier la réponse.

Exercice n°2

On considère la fonction $f$ sur $\mathbf{R} par f(x)=(3x-3)e^x$
1. Montrer que pour tout réel $x, f'(x)=3xe^x .$

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbf{R} .$

3. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$ .

4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $C_f$ avec l’axe des ordonnées, où $C_f est la courbe de la fonction f$ .

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d’abscisse $1$ .

Exercice n°3

Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbf{R}$ par :
$g(x)=1-x+e^x$ .
1) Montrer que $g'(x)=e^x-1$ .

2) Résoudre $e^x-1>0$ .

3) En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ définie sur $\mathbf{R}$ . En déduire alors le signe de $g(x)$ .

Partie B
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par :
$f(x)=x+1+\frac{x}{e^x}$
1) Calculer la dérivée $f’$ de $f$ et vérifier que $f'(x)=e^{-x}g(x)$ .

2) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$ .

Exercice n°4

On considère la fonction $f$ sur $\mathbf{R} par f(x)=(x^2-3x+2)e^x$
1. Montrer que pour tout réel $x, f'(x)=(x^2-x-1)e^x .$

2. Etudier le signe du polynôme suivant $x^2-x-1$ sur $\mathbf{R} .$

3. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$ .

4. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) d’intersection de $C_f$ avec l’axe des abscisses, où $C_f est la courbe de la fonction f$ .

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d’abscisse $1$ .

Exercice n°5

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=(ax+b)e^{0.5x}$ où $a$ et $b$
sont des réels fixés.
La courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous, dans un repère
orthogonal.

On a également représenté la tangente $T$ à $C_f$ au point $A(0;-1)$ .
On admet que cette tangente $T$ passe par le point $B(2;6)$ .

1. En exprimant 𝑓(0), déterminer la valeur de 𝑏.

2. a) À l’aide des coordonnées des points $A$ et $B$ , déterminer une équation de la droite $T$ .

b) Exprimer, pour tout réel $x$ , $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et en déduire que pour tout réel $x$ , $f(x)=(4x-1)e^{0.5x}$ .

3. On souhaite déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$ .

a) Montrer que pour tout $x \in \mathbf{R}$ , $f'(x)=(2x+3.5)e^{0.5x}$ .

b) Déterminer les variations de $f$ sur $\mathbf{R}$ et en déduire le minimum de $f$ sur $\mathbf{R}$ .

$f(x)= \frac{x^2+1}{e^x}$ pour $x\in \mathbf{R}$ .

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions $\frac{u}{ v}$ avec $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=e^x$ .

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=x^2+1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(x^2+1)’$

$u'(x)=(x^2)’+(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=2x+0$

$u'(x)=2x$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=e^x$ est une fonction de référence, on utilise la ligne exponentielle du tableau n°2

$v'(x)=(e^x)’$

$v'(x)=e^x$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

exponentielle

f(x)=e^x

\mathbf{R}

f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $x^2+1$ , $v$ par $e^x$ , $u’$ par $2x$ et $v’$ par $e^x$ dans la formule $\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{x^2+1}{e^x})’\\f'(x)=\frac{(x^2+1)’\times{e^x}-{(x^2+1)}\times{(e^x)’}}{(e^x)^2}\\f'(x)=\frac{2x\times{e^x}-{(x^2+1)}\times{e^x}}{(e^x)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

f'(x)=\frac{2xe^x-(x^2e^x+e^x)}{(e^x)^2}\\f'(x)=\frac{2xe^x-x^2e^x-e^x)}{(e^x)^2}

Pour poursuivre et obtenir la forme de l’énoncé, on va simplifier le quotient par $e^x$ . Avant on met $e^x$ en facteur au numérateur.

$f'(x)=\frac{e^x(2x-x^2-1)}{(e^x)^2}\\f'(x)=\frac{2x-x^2-1}{e^x}$ ou $f'(x)=\frac{-x^2+2x-1}{e^x}$

$f(x)= (3x-3)e^x$ pour $x\in \mathbf{R}$ .

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=3x-3$ et $v(x)=e^x$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=3x-3$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(3x-3)’$

$u'(x)=(3x)’-(3)’$

Puis on utilise la 2ième ligne du tableau n°1

$u'(x)=3(x)’-(3)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2(identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=3\times 1-0$

$u'(x)=3$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=e^x$ est une fonction de référence, on utilise la ligne exponentielle du tableau n°2

$v'(x)=(e^x)’$

$v'(x)=e^x$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

exponentielle

f(x)=e^x

\mathbf{R}

f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $3x-3$ , $v$ par $e^x$ , $u’$ par $3$ et $v’$ par $e^x$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)=( (3x-3)e^x)’\\f'(x)=(3x-3)’\times{e^x}+{(3x-3)}\times{(e^x)’}\\f'(x)=3\times{e^x}+{(3x-3)}\times{e^x}

On développe le deuxième produit .

f'(x)=3e^x+3xe^x-3e^x\\f'(x)=3xe^x

$f(x)= (x^2-3x+2)e^x$ pour $x\in \mathbf{R}$ .

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=x^2-3x+2$ et $v(x)=e^x$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=x^2-3x+2$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(x^2-3x+2)’$

$u'(x)=(x^2)’-(3x)’+(2)’$

Puis on utilise la 2ième ligne du tableau n°1

$u'(x)=(x^2)’-3(x)’-(2)’$

On utilise les lignes 1 (constante), 2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=2x-3\times 1-0$

$u'(x)=2x-3$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=e^x$ est une fonction de référence, on utilise la ligne exponentielle du tableau n°2

$v'(x)=(e^x)’$

$v'(x)=e^x$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

exponentielle

f(x)=e^x

\mathbf{R}

f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $x^2-3x+2$ , $v$ par $e^x$ , $u’$ par $2x-3$ et $v’$ par $e^x$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)=( (x^2-3x+2)e^x)’\\f'(x)=(x^2-3x+2)’\times{e^x}+{(x^2-3x+2)}\times{(e^x)’}\\f'(x)=(2x-3)\times{e^x}+{(x^2-3x+2)}\times{e^x}

On développe les produits .

f'(x)=2xe^x-3e^x+x^2e^x-3xe^x+2e^x\\f'(x)=-e^x+x^2e^x-xe^x\\f'(x)=x^2e^x-xe^x-e^x\\f'(x)=e^x(x^2-x-1)

$f(x)= (ax+b)e^{0.5x}$ pour $x\in \mathbf{R}$ .

On a montré que $b=-1$ dans la question 1, donc $f(x)= (ax-1)e^{0.5x}$

1.On veut calculer $f'(x)$ en fonction de $x$ et en fonction de $a$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=ax-1$ et $v(x)=e^{0.5x}$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=ax-1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(ax-1)’$

$u'(x)=(ax)’-(1)’$

Puis on utilise la 2ième ligne du tableau n°1

$u'(x)=a(x)’-(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=a\times 1+0$

$u'(x)=a$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=e^{0.5x}$ est une fonction de la forme $e^{kx}$ , on utilise l’avant-dernière ligne du tableau n°1

$v'(x)=(e^{0.5x})’$

$v'(x)=0.5e^{0.5x}$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

exponentielle

f(x)=e^x

\mathbf{R}

f'(x)=e^x

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $ax-1$ , $v$ par $e^{0.5x}$ , $u’$ par $a$ et $v’$ par $0.5e^{0.5x}$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)=( (ax-1)e^{0.5x})’\\f'(x)=(ax-1)’\times{e^{0.5x}}+{(ax-1)}\times{(e^{0.5x})’}\\f'(x)=a\times{e^{0.5x}}+{(ax-1)}\times{0.5e^{0.5x}}

On développe les produits .

f'(x)=ae^{0.5x}+0.5axe^{0.5x}-0.5e^{0.5x}\\f'(x)=e^{0.5x}(a+0.5ax-0.5)