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T. Définition et propriétés de la fonction logarithme népérien.

Sommaire

Fonction logarithme népérien

Théorème et définition 

Pour tout réel a>0, l’équation e^x=a admet une solution unique dans \mathbf{R}. Cette solution se note x=ln(a) et se lit le logarithme népérien de a.

La fonction qui à x associe ln(x) s’appelle la fonction logarithme népérien. C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur ]0;+\infty[.

Propriété

ln(1)=0                                         ln(e)=1     

Courbe représentative

Dans la fenêtre Géogébra ci-dessous, tracer les courbes de f(x)=e^x et de g(x)=ln(x). Tracer aussi la droite d’équation y=x.

Comment sont ces deux courbes par rapport à la droite d’équation y=x ?

correction

Propriété n°1

Pour tout réel y>0 et pour tout réel x , e^x=y \iff x=ln(y)

Exercice n°1

 résoudre les équations suivantes

e^x=1
correction
e^x=e
correction
e^x=2
correction
e^x=-2
correction

Exercice n°2

 résoudre les équations suivantes sur ]0;+\infty[

ln(x)=1
correction
ln(x)=0
correction
ln(x)=3
correction
ln(x)=-2
correction

Propriété n°2

Pour tout réel x>0  , e^{ln(x)}=x

Exercice n°3

 résoudre les inéquations suivantes

e^x<1
correction
e^{2x+2}\geq e
correction
e^x>2
correction
e^{-2x+1}\leq 3
correction

Propriété n°3

Pour tout réel x  , ln(e^x)=x

Exercice n°4

 résoudre les inéquations suivantes

ln(x)>1 sur ]0;+\infty[

correction

ln(x)\leq 0 sur ]0;+\infty[

correction
ln(2x+4)<3

sur ]-2;+\infty[

correction

ln(x)\geq -5 sur ]0;+\infty[

correction

Propriété n°4

Pour tout réels a et  b strictement positifs, ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Exercice n°5

 Exprimer les sommes suivantes en fonction de ln(2) et ln(5).

ln(4)+ln(25)-3ln(2)
correction
ln(10)+ln(4)+3ln(2)
correction

Propriété n°5

Pour tout entier naturel n, ln(a^n)=nln(a)

Exercice n°6

 Exprimer les sommes suivantes en fonction de ln(3) et ln(5).

ln(15)+ln(3^4)-3ln(5^2)
correction
ln(25)+ln(27)-2ln(5)
correction

Propriété n°6

Pour tout réel  a strictement positif, ln(\frac{1}{a})=-ln(a)

Exercice n°7

 Exprimer les sommes suivantes en fonction de ln(2) et ln(7).

ln(\frac{1}{2})+ln(\frac{1}{7})+ln(14)
correction
ln(\frac{1}{16})+ln(\frac{1}{49})-3ln(\frac{1}{2})
correction

Propriété n°7

Pour tout réel  a strictement positif, ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln(a)

Exercice n°8

 Exprimer les sommes suivantes en fonction de ln(3) .

ln(\frac{1}{3})+ln(27)-ln(\sqrt{3})
correction
ln(\frac{1}{9})+ln(81)-3ln(\sqrt{3})
correction

Propriété n°8

Pour tout réels a et  b strictement positifs , ln(\frac{a}{b})=ln(a)-ln(b)

Exercice n°9

 Exprimer les sommes suivantes en fonction de ln(2) et ln(3) .

ln(\frac{2}{3})+ln(9)-ln(\sqrt{2})
correction
ln(\frac{4}{3})+ln(8)-ln(6)
correction

©2020 – Math’O karé SAS

Les courbes de f(x)=e^x et de g(x)=lnx sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

résoudre e^x=1

Comme 1 est positif, on peut appliquer la propriété n°1 : e^x=y \iff x=ln(y).

e^x=1 \iff x=ln1

\hspace{1.1cm} \iff x=0

Donc S=\{0\}

résoudre e^x=e

Comme e est positif, on peut appliquer la propriété n°1 : e^x=y \iff x=ln(y).

e^x=e \iff x=lne

\hspace{1.1cm} \iff x=1

Donc S=\{1\}

résoudre e^x=2

Comme 2 est positif, on peut appliquer la propriété n°1 : e^x=y \iff x=ln(y).

e^x=2 \iff x=ln2

Donc S=\{ln2\}

résoudre e^x=-2

Comme -2 est négatif, l’équation n’admet pas de solution car e^x est toujours positif ( voir la courbe qui est toujours située au-dessus de l’axe des abscisses).

Donc S=\varnothing

résoudre ln(x)=1

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

ln(x)=1 \iff x=e^1

\hspace{1.5cm} \iff x=e

Donc S=\{e\}

résoudre ln(x)=0

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

ln(x)=0 \iff x=e^0

\hspace{1.5cm} \iff x=1

Donc S=\{1\}

résoudre ln(x)=3

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

ln(x)=3 \iff x=e^3

Donc S=\{e^3\}

résoudre ln(x)=-2

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

ln(x)=-2 \iff x=e^{-2}

\hspace{1.8cm} \iff x=\frac{1}{e^2}

Donc S=\{\frac{1}{e^2}\}

résoudre e^x<1

Il faut se ramener à une écriture de la forme e^a<e^b.

On utilise une propriété vue en première e^0=1 pour transformer le second membre de l’inégalité 1.

e^x<e^0

Comme la fonction exponentielle est croissante (la courbe représentative de la fonction exponentielle monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

x<0

Donc S=]-\infty;0[

 

résoudre e^{2x+2}\geq e

Il faut se ramener à une écriture de la forme e^a\geq e^b.

On utilise une propriété vue en première e^1=e pour transformer le second membre de l’inégalité e.

e^{2x+2}\geq e^1

Comme la fonction exponentielle est croissante (la courbe représentative de la fonction exponentielle monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

2x+2\geq 1\\2x\geq 1-2\\2x\geq -1\\x\geq -\frac{1}{2}, le sens de l’inégalité ne change pas car on divise par un nombre positif.

Donc S=[-\frac{1}{2};+\infty[

résoudre e^x>2

Il faut se ramener à une écriture de la forme e^a>e^b.

On utilise la propriété n°2  , e^{ln(x)}=x pour transformer le second membre de l’inégalité 2.

e^x>e^{ln2}

Comme la fonction exponentielle est croissante (la courbe représentative de la fonction exponentielle monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

x>ln2

Donc S=]ln2;+\infty[

résoudre e^{-2x+1}\leq 3

Il faut se ramener à une écriture de la forme e^a\leq e^b.

On utilise une propriété n°2 , e^{lnx}=x pour transformer le second membre de l’inégalité 3.

e^{-2x+1}\leq e^{ln3}

Comme la fonction exponentielle est croissante (la courbe représentative de la fonction exponentielle monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

-2x+1\leq ln3\\-2x\leq ln3-1\\x\geq -\frac{ln3-1}{2}, le sens de l’inégalité change car on divise par un nombre négatif.

Donc S=[-\frac{ln3-1}{2};+\infty[

 

résoudre lnx>1 sur ]0;+\infty[ 

Il faut se ramener à une écriture de la forme lna>lnb.

On utilise une propriété vue précédemment ln e=1 pour transformer le second membre de l’inégalité 1.

ln x>ln e

Comme la fonction logarithme népérien est croissante (la courbe représentative de la fonction logarithme népérien monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

x>e

Donc S=]e;+\infty[

résoudre lnx\leq 0 sur ]0;+\infty[ 

Il faut se ramener à une écriture de la forme lna\leq lnb.

On utilise une propriété vue précédemment ln 1=0 pour transformer le second membre de l’inégalité 0.

ln x\leq ln1

Comme la fonction logarithme népérien est croissante (la courbe représentative de la fonction logarithme népérien monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

x\leq 1

Comme on résout sur ]0;+\infty[.

Donc S=]0;1]

résoudre ln(2x+4)<3 sur ]-2;+\infty[ 

Il faut se ramener à une écriture de la forme lna<lnb.

On utilise une propriété n°3 , ln (e^x)=x pour transformer le second membre de l’inégalité 3.

ln(2x+4)<ln(e^3)

Comme la fonction logarithme népérien est croissante (la courbe représentative de la fonction logarithme népérien monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

2x+4<e^3\\2x<e^3-4\\x<\frac{e^3-4}{2}, le sens de l’inégalité ne change pas car on divise par un nombre positif.

Comme on résout sur ]-2;+\infty[ 

Donc S=]-2;\frac{e^3-4}{2}[

résoudre lnx\geq -5 sur ]0;+\infty[ 

Il faut se ramener à une écriture de la forme lna\geq lnb.

On utilise une propriété n°3 , ln (e^x)=x pour transformer le second membre de l’inégalité -5.

lnx\geq ln(e^{-5})

Comme la fonction logarithme népérien est croissante (la courbe représentative de la fonction logarithme népérien monte), les nombres et les images varient dans le même sens.

x\geq e^{-5}\\x\geq \frac{1}{e^5}

Donc S=[\frac{1}{e^5};+\infty[

Pour exprimer ln4+ln25-3ln2 en fonction de ln2 et ln5, il faut transformer les nombres en produits dont les facteurs seront 2 et 5.

ln4+ln25-3ln2=ln(2\times 2)+ln(5\times 5)-3ln2

On applique ensuite la propriété : ln(ab)=lna + lnb

\hspace{2.8cm}=ln2+ln2+ln5+ln5-3ln2

Puis on réduit la somme.

\hspace{2.8cm}=-ln2+2ln5

Pour exprimer ln10+ln4+3ln2 en fonction de ln2 et ln5, il faut transformer les nombres en produits dont les facteurs seront 2 et 5.

ln10+ln4+3ln2=ln(2\times 5)+ln(2\times 2)+3ln2

On applique ensuite la propriété : ln(ab)=lna + lnb

\hspace{2.8cm}=ln2+ln5+ln2+ln2+3ln2

Puis on réduit la somme.

\hspace{2.8cm}=6ln2+ln5

Pour exprimer ln15+ln3^4-3ln5^2 en fonction de ln3 et ln5, il faut transformer les nombres en produits dont les facteurs seront 3 et 5 ou les transformer en puissances de 3 et 5.

ln15+ln3^4-3ln5^2=ln(3\times 5)+ln3^4-3ln5^2

On applique ensuite les propriétés : ln(ab)=lna +lnb et ln(a^n)=nlna

\hspace{2.8cm}=ln3+ln5+4ln3-3\times 2ln5

On effectue le produit

\hspace{2.8cm}=ln3+ln5+4ln3-6ln5

Puis on réduit la somme.

\hspace{2.8cm}=5ln3-5ln5

Pour exprimer ln25+ln27-2ln5 en fonction de ln3 et ln5, il faut transformer les nombres en produits dont les facteurs seront 3 et 5 ou les transformer en puissances de 3 et 5.

ln25+ln27-2ln5=ln(5^2)+ln3^3-2ln5

On applique ensuite la propriété : ln(a^n)=nlna

\hspace{3cm}=2ln5+3ln3-2ln5

Puis on réduit la somme.

\hspace{3cm}=3ln3

Pour exprimer ln(\frac{1}{2})+ln(\frac{1}{7})+ln14 en fonction de ln2 et ln7, il faut transformer les nombres en produits dont les facteurs seront 2 et 7 .

ln(\frac{1}{2})+ln(\frac{1}{7})+ln14=ln(\frac{1}{2})+ln(\frac{1}{7})+ln(2\times7)

On applique ensuite les propriétés : ln(\frac{1}{a})=-lna et ln(ab)=lna +ln b

\hspace{3.3cm}=-ln2-ln7+ln2+ln7

Puis on réduit la somme.

\hspace{3.3cm}=0

Pour exprimer ln(\frac{1}{16})+ln(\frac{1}{49})-3ln(\frac{1}{2}) en fonction de ln2 et ln7, il faut transformer les nombres en produits dont les facteurs seront 2 et 7 ou les transformer en puissances de 2 et 7 .

ln(\frac{1}{16})+ln(\frac{1}{49})-3ln(\frac{1}{2})=ln(\frac{1}{2^4})+ln(\frac{1}{7^2})-3ln(\frac{1}{2})

On applique ensuite les propriétés : ln(\frac{1}{a})=-lna et ln(a^n)=nlna

\hspace{3.8cm}=-ln2^4-ln7^2-3\times(-ln(2))

\hspace{3.8cm}=-4ln2-2ln7+3ln2

Puis on réduit la somme.

\hspace{3.8cm}=-ln2-2ln7

Pour exprimer ln(\frac{1}{3})+ln(27)-ln(\sqrt{3}) en fonction de ln3 , il faut transformer les nombres en puissances de 3 .

ln(\frac{1}{3})+ln(27)-ln(\sqrt{3})=ln(\frac{1}{3})+ln(3^3)-ln(\sqrt{3})

On applique ensuite les propriétés : ln(\frac{1}{a})=-lna , ln(a^n)=nlna et ln(ab)=lna +ln b

\hspace{3.8cm}=-ln3+3ln3-\frac{1}{2}ln3

Puis on réduit la somme.

\hspace{3.8cm}=2ln3-\frac{1}{2}ln3

On poursuit en mettant au même dénominateur, ici 2

\hspace{3.8cm}={2ln3}\times\frac{2}{2} -\frac{1}{2}ln3

\hspace{3.8cm}=\frac{4ln3-ln3}{2}

\hspace{3.8cm}=\frac{3ln3}{2}

 

Pour exprimer ln(\frac{1}{9})+ln(81)-3ln(\sqrt{3}) en fonction de ln3 , il faut transformer les nombres en puissances de 3 .

ln(\frac{1}{9})+ln(81)-3ln(\sqrt{3})=ln(\frac{1}{3^2})+ln(3^4)-3ln(\sqrt{3})

On applique ensuite les propriétés : ln(\frac{1}{a})=-lna , ln(a^n)=nlna et ln(ab)=lna +ln b

\hspace{3.8cm}=-ln({3^2})+4ln(3)-3\times(\frac{1}{2}ln3)

\hspace{3.8cm}=-2ln(3)+4ln(3)-3\times(\frac{1}{2}ln3)

Puis on réduit la somme.

\hspace{3.8cm}=2ln3-\frac{3}{2}ln3

On poursuit en mettant au même dénominateur, ici 2

\hspace{3.8cm}={2ln3}\times\frac{2}{2} -\frac{3}{2}ln3

\hspace{3.8cm}=\frac{4ln3-3ln3}{2}

\hspace{3.8cm}=\frac{ln3}{2}

Pour exprimer ln(\frac{2}{3})+ln(9)-ln(\sqrt{2}) en fonction de ln2 et ln3 , il faut transformer les nombres en puissances de 3 et de 2 .

ln(\frac{2}{3})+ln(9)-ln(\sqrt{2})=ln(\frac{2}{3})+ln(3^2)-ln(\sqrt{2})

On applique ensuite les propriétés : ln(\frac{a}{b})=lna-lnb , ln(a^n)=nlna et ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}lna

\hspace{3.6cm}=ln2-ln3+2ln3-\frac{1}{2}ln2

Puis on réduit la somme.

\hspace{3.6cm}=ln3+ln2-\frac{1}{2}ln2

On poursuit en mettant au même dénominateur, ici 2

\hspace{3.6cm}=ln3+{ln2}\times\frac{2}{2} -\frac{1}{2}ln2

\hspace{3.6cm}=ln3+\frac{2ln2-ln2}{2}

\hspace{3.6cm}=ln3+\frac{ln2}{2}

 

Pour exprimer ln(\frac{4}{3})+ln(8)-ln(6) en fonction de ln2 et ln3 , il faut transformer les nombres en produits de facteurs avec  3 et de 2 ou transformer les nombres en puissances de 3 et de 2.

ln(\frac{4}{3})+ln(8)-ln(6)=ln(\frac{2^2}{3})+ln(2^3)-ln(2\times3)

On applique ensuite les propriétés : ln(\frac{a}{b})=lna-lnb , ln(a^n)=nlna et ln(ab)=lna+lnb

\hspace{3.6cm}=ln2^2-ln3+3ln2-(ln2+ln3)

\hspace{3.6cm}=2ln2-ln3+3ln2-ln2-ln3

Puis on réduit la somme.

\hspace{3.6cm}=4ln2-2ln3

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.