T. Fonction logarithme népérien: variations et limites.

ANALYSE, Fonction logarithme népérien, Niveau terminale spécialité

1. Dérivée et variations

Propriétés :

La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x \in ]0;+\infty[$ , $ln'(x)=\frac{1}{x}$ .

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , telle que, pour tout $x\in I$ , $u(x)>0$ .

La fonction $ln\circ u : x\to ln (u(x))$ est dérivable sur I et $(ln\circ u)’= \frac{u’}{u}$ .

Exercice n°1 :

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

On peut utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer le résultat de la question 1 , saisir $f(x)=\frac{1}{x}-2ln(x)$ puis cliquer sur le 9ème onglet ( f’ ).

S’affiche alors : Dérivée : $f'(x)=\frac{-2}{x}-\frac{1}{x^2}$

$f(x)=\frac{1}{x}-2ln(x)$

pour $x \in ]0;+\infty[$

2. $f(x)=2xln(x)$

pour $x \in ]0;+\infty[$

3. $f(x)=ln(2x^2+1)$

pour $x \in \mathbf{R}$

4. $f(x)=(x-2)ln(3x)$

pour $x \in ]0;+\infty[$

5. $f(x)=\frac{2ln(x)+1}{x}$

pour $x \in ]0;+\infty[$

6. $f(x)=ln^3(x)$

pour $x \in ]0;+\infty[$

7. $f(x)=\frac{2ln(x)-2}{x^2}$

pour $x \in ]0;+\infty[$

8. $f(x)=ln(\frac{x-2}{x+2})$

pour $x \in ]2;+\infty[$

9. $f(x)=ln(\frac{x^2}{x+2})$

pour $x \in ]-2;+\infty[$

Propriété :

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ .

Conséquence n°1 :

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $]0;+\infty[$ :

$ln(a)=ln(b) \iff a=b$

Exercice n°2 :

Résoudre les équations suivantes (ne pas oublier de déterminer l’ensemble d’existence à chaque fois).

On peut utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer le résultat de la question 1 , saisir $ln(2-2x)=ln(4+2x))$ puis cliquer sur le 7ème onglet (X= ).

S’affiche alors : Résoudre : $\{x=\frac{-1}{2}\}$

ln(2-2x)=ln(4+2x)

ln(x)+ln(x-1)=ln(2)

2ln(x)=ln(6x-9)

Conséquence n°2 :

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $]0;+\infty[$ :

$ln(a)\leq ln(b) \iff a\leq b$

Exercice n°3 :

Résoudre les inéquations suivantes (ne pas oublier de déterminer l’ensemble d’existence à chaque fois).

On peut utiliser la fenêtre active Géogébra de l’exercice n°2 pour conjecturer le résultat de la question 1 , saisir $ln(3-3x)>ln(1+x))$ puis cliquer sur le 7ème onglet (X= ).

S’affiche alors : Résoudre : $\{-1<x<\frac{1}{2}\}$

ln(3-3x)>ln(1+x)

ln(x)+ln(x-1)<ln(6)

2ln(x)\leq ln(5x-4)

2. Limites

Propriétés :

$lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty$

$lim_{x\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty$

Conséquences :

La courbe de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale d’équation $x=0$ .

Le tableau de la fonction $ln$ est le suivant :

Exercice n°4 :

Calculer les limites suivantes

$lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xln(x)$

2. $lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}x^3-3ln(x)$

3. $lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}ln(\frac{3+x}{x+1})$

4. $lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}ln(2-x)$

5. $lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2-ln(x)-1$

6. $lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ln(x)-1}$

Propriétés ( croissances comparées ) :

lim_{x\to +\infty}\frac{ln(x)}{x}=0\\lim_{x\to 0}xln(x)=0

Pour tout entier naturel $n\geq 2$ , $lim_{x\to +\infty}\frac{ln(x)}{x^n}=0$ et $lim_{x\to 0}x^nln(x)=0$

Exercice n°5 :

Calculer les limites suivantes

1. $lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)-2}{x}$

2. $lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}ln(x)-x$

3. $lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(2+x)}{x}$

4. $lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{xln(x)}{x^2+1}$

Exercice n°6 :

Soit la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=ln(2x-4)$ .

Calculer $lim_{x\to 2}f(x)$ et $lim_{x\to +\infty}f(x)$ .

2.a. Calculer $f'(x)$ .

2.b. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]2;+\infty[$ .

2.c. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]2;+\infty[$ .

Exercice n°7 :

Soit la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=xln(x)$ .

Calculer $lim_{x\to 0}f(x)$ et $lim_{x\to +\infty}f(x)$ .

2.a. Calculer $f'(x)$ .

2.b. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

2.c. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ .

Exercice n°8 :

Soit la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$ .

Calculer $lim_{x\to 0}f(x)$ et $lim_{x\to +\infty}f(x)$ .

2.a. Calculer $f'(x)$ .

2.b. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

2.c. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ .

Exercice n°9 :

Soit la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=(ln(x))^2-ln(x)-1$ .

Calculer $lim_{x\to 0}f(x)$ et $lim_{x\to +\infty}f(x)$ .

2.a. Calculer $f'(x)$ .

2.b. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

2.c. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ .