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T. Fonction logarithme népérien. Exercices.

Sommaire

Page Calcul Formel Géogébra pour conjecturer ou valider.

La page Calcul Formel de géogéba ci-dessous vous permettra de conjecturer ou de valider vos réponses. Attention toujours écrire les parenthèses pour saisir, par exemple l’équation ln(x)=1. Puis cliquer sur le septième onglet en partant de la gauche.

Exercice n°1

Résoudre les équations suivantes après avoir déterminé leur ensemble d’existence.

Remarque : la quantité écrite après ln doit toujours être strictement positive.

ln(2-4x)=2
correction
ln(3x+9)=0
correction
ln(x^2+2)=1
correction
4+ln(x)=6
correction

Exercice n°2

Résoudre les inéquations suivantes après avoir déterminé leur ensemble d’existence.

Remarque : la quantité écrite après ln doit toujours être strictement positive.

ln(3-x)>3
correction
ln(2x-1)<0
correction
ln(x^2)\leq 1
correction
3+ln(x)\geq 2
correction

Exercice n°3

Résoudre les équations suivantes après avoir déterminé leur ensemble d’existence.

Remarque : la quantité écrite après ln doit toujours être strictement positive.

ln(2-4x)=ln(4-2x)
correction
ln(x)+ln(x-1)=ln(12)
correction
2ln(x)=ln(4x-4)
correction

Exercice n°4

Résoudre les inéquations suivantes après avoir déterminé leur ensemble d’existence.

Remarque : la quantité écrite après ln doit toujours être strictement positive.

ln(2-2x)>ln(4+x)
correction
ln(x)+ln(x-1)<ln(2)
correction
2ln(x)\geq ln(6x-5)
correction

Exercice n°5

Calculer les limites suivantes

\lim_{x\to 0}ln(x)+x^2
correction
\lim_{x\to {+\infty}}xln(x)
correction

\lim_{x\to {+\infty}}ln(x)-x

correction
\lim_{x\to {0}}x^2ln(x)
correction
\lim_{x\to 0}\frac{ln(x)-1}{x}
correction
\lim_{x\to {+\infty}}\frac{ln(x)}{x^2}
correction

\lim_{x\to {0}}(2x+1)ln(x)

correction
\lim_{x\to {0}}6-ln(x)
correction

Exercice n°6

Calculer f'(x) dans chaque cas.

f(x)=\frac{1}{x}+ln(x)

pour x \in ]0;+\infty[

correction
f(x)=xln(x)

pour x \in ]0;+\infty[

correction
f(x)=ln(x^2+5)

pour x \in \mathbf{R}

correction
f(x)=(x-1)ln(2x)

pour x \in ]0;+\infty[

correction
f(x)=\frac{ln(x)-1}{x}

pour x \in ]0;+\infty[

correction
f(x)=ln^2(x)

pour x \in ]0;+\infty[

correction
f(x)=\frac{ln(x)+1}{x^2}

pour x \in ]0;+\infty[

correction
f(x)=ln(\frac{x-1}{x+1})

pour x \in ]1;+\infty[

correction

Exercice n°7

Soit la fonction f définie pour x \in ]0;+\infty[ par f(x)=ln(x)-2x

  1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

C’est-à-dire en 0 et en +\infty.

correction de la limite en 0
correction de la limite en +\infty

2. a. Calculer f'(x) 

correction

2. b. Etudier le signe de f'(x) .

correction

2. c. En déduire le tableau de variations de  f sur ]0;+\infty[ .

correction

3. Déterminer, par le calcul, l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse  1 .

correction

Exercice n°8

Soit la fonction f définie pour x \in ]0;+\infty[ par f(x)=ln(x^2)-2x+3

  1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

C’est-à-dire en 0 et en +\infty.

correction de la limite en 0
correction de la limite en +\infty

2. a. Calculer f'(x) 

correction

2. b. Etudier le signe de f'(x) .

correction

2. c. En déduire le tableau de variations de  f sur ]0;+\infty[ .

correction

3. Déterminer, par le calcul, l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse  2 .

correction

Exercice n°9

Soit la fonction f définie pour x \in ]0;+\infty[ par f(x)=xln(x)+1

  1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.

C’est-à-dire en 0 et en +\infty.

correction de la limite en 0
correction de la limite en +\infty

2. a. Calculer f'(x) 

correction

2. b. Etudier le signe de f'(x) .

correction

2. c. En déduire le tableau de variations de  f sur ]0;+\infty[ .

correction

3. Déterminer, par le calcul, l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse  e .

correction

Exercice n°10

Soit la fonction f définie pour x \in ]0;+\infty[[ par f(x)=x(1-ln(x))^2

1. Calculer f'(x) et vérifier que f'(x)=(ln(x)+1)(ln(x)-1)

correction

2. Etudier le signe de f'(x) .

correction

3.a. Calculer  f(e) et f(\frac{1}{e}) .

correction f(e)
correction f(\frac{1}{e})

3. En déduire le tableau de variations de  f sur ]0;+\infty[ . On admettra que \lim_{x\to 0}f(x)=0 et que \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty

correction

©2020 – Math’O karé SAS

résoudre ln(2-4x)=2

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’équation ln(2-4x)=2 existe si 2-4x>0

On résout l’inéquation du premier degré en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

2-4x>0\\-4x>-2\\x<\frac{-2}{-4}\\x<\frac{1}{2}

L’ensemble d’existence est ]-\infty;\frac{1}{2}[

Etape n°2: On résout l’équation ln(2-4x)=2

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

ln(2-4x)=2 \iff 2-4x=e^2

\hspace{2.35cm} \iff -4x=-2+e^2

\hspace{2.35cm} \iff x=\frac{-2+e^2}{-4}

\hspace{2.35cm} \iff x=\frac{2-e^2}{4}

Etape n°3: On vérifie que la solution est dans l’ensemble d’existence.

\frac{2-e^2}{4}\approx-1.3 donc \frac{2-e^2}{4}\in]-\infty;\frac{1}{2}[

Donc S=\{\frac{2-e^2}{4}\}

 

 

résoudre ln(3x+9)=0

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’équation ln(3x+9)=0 existe si 3x+9>0

On résout l’inéquation du premier degré en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

3x+9>0\\3x>-9\\x>\frac{-9}{3}\\x>-3

L’ensemble d’existence est ]-3;+\infty[

Etape n°2: On résout l’équation ln(3x+9)=0

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

ln(3x+9)=0 \iff 3x+9=e^0

\hspace{2.35cm} \iff 3x+9=1

\hspace{2.35cm} \iff 3x=-9+1

\hspace{2.35cm} \iff 3x=-8

\hspace{2.35cm} \iff x=-\frac{8}{3}

Etape n°3: On vérifie que la solution est dans l’ensemble d’existence.

-\frac{8}{3}\approx-2.7 donc -\frac{8}{3}\in]-3;+\infty[

Donc S=\{-\frac{8}{3}\}

résoudre ln(x^2+2)=1

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’équation ln(x^2+2)=1 existe si x^2+2>0.

Ce qui est toujours vrai car comme x^2 est toujours positif alors x^2+2 est toujours strictement positif et donc x^2+2> 0

L’ensemble d’existence est ]-\infty;+\infty[

Etape n°2: On résout l’équation ln(x^2+2)=1

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

ln(x^2+2)=1 \iff x^2+2=e^1

\hspace{2.35cm} \iff x^2+2=e

C’est une équation du second degré, on peut , par exemple, tout faire à gauche, factoriser et appliquer la règle du produit nul.

\hspace{2.35cm} \iff x^2+2-e=0

Pour factoriser, on change l’écriture ainsi :

\hspace{2.35cm} \iff x^2-(e-2)=0

On utilise l’identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b)

avec a^2=x^2 donc a=x

avec b^2=e-2 donc b=\sqrt{e-2}

\hspace{2.35cm} \iff (x-\sqrt{e-2})(x+\sqrt{e-2})=0

\hspace{2.35cm} \iff x-\sqrt{e-2}=0 ou x+\sqrt{e-2}=0

\hspace{2.35cm} \iff x=\sqrt{e-2} ou x=-\sqrt{e-2}

Etape n°3: On vérifie que les solutions  sont dans l’ensemble d’existence.

L’ensemble d’existence est ]-\infty;+\infty[ donc il contient tous les nombres réel.

Donc S=\{-\sqrt{e-2};\sqrt{e-2}\}

résoudre 4+ln(x)=6

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’équation 4+ln(x)=6 existe si x>0

L’ensemble d’existence est ]0;+\infty[

Etape n°2: On résout l’équation 4+ln(x)=6

On se ramène à une égalité de la forme ln(a)=b

ln(x)=6-4\\ln(x)=2

On peut appliquer la propriété suivante ln(x)=y \iff x=e^y qui est une autre façon d’écrire la propriété n°1.

lnx=2 \iff x=e^2

Etape n°3: On vérifie que la solution est dans l’ensemble d’existence.

e^2 est positif donc e^2\in]0;+\infty[

Donc S=\{e^2\}

résoudre ln(3-x)>3

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation ln(3-x)>3 existe si 3-x>0

On résout l’inéquation du premier degré en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

3-x>0\\-x>-3\\x<\frac{-3}{-1}\\x<3

L’ensemble d’existence est ]-\infty;3[

Etape n°2: On résout l’inéquation  ln(3-x)>3

Il faut se ramener à une écriture du type ln(a)>ln(b)

Pour cela on utilise la propriété n°3 : x=ln(e^x) pour remplacer 3 par ln(e^3) .

ln(3-x)>ln(e^3)

Comme la fonction ln est croissante : les nombres et les images varient dans le même sens.

3-x>e^3

On résout l’inéquation du premier degré en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

-x>e^3-3

On va diviser par -1 de chaque côté, comme c(est un nombre négatif, l’inégalité change de sens.

x<\frac{e^3-3}{-1}

x<-e^3+3

Donc x\in]-\infty;-e^3+3[

Etape n°3: On détermine  l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

L’intervalle solution représenté en bleu ci-dessous est bien inclus dans l’intervalle d’existence en rouge ci-dessous.

Donc S= ]-\infty;-e^3+3[

 

 

 

résoudre ln(2x-1)<0

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation ln(2x-1)<0 existe si 2x-1>0

On résout l’inéquation du premier degré en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

2x-1>0\\2x>1\\x>\frac{1}{2}

L’ensemble d’existence est ]\frac{1}{2};+\infty[

Etape n°2: On résout l’inéquation  ln(2x-1)<0

Il faut se ramener à une écriture du type ln(a)<ln(b)

Pour cela on  remplace 0 par ln(1) .

ln(2x-1)<ln(1)

Comme la fonction ln est croissante : les nombres et les images varient dans le même sens.

2x-1<1

On résout l’inéquation du premier degré en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

2x<1+1

2x<2

On va diviser par 2 de chaque côté, comme c’est un nombre positif, l’inégalité ne change pas de sens.

x<\frac{2}{2}

x<1

Donc x\in]-\infty;1[

Etape n°3: On détermine  l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

Seule la partie ]\frac{1}{2}:1[ de l’intervalle solution représenté en bleu ci-dessous est  incluse dans l’intervalle d’existence en rouge ci-dessous.

Donc S= ]\frac{1}{2}:1[

 

 

 

résoudre ln(x^2)\leq1

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation ln(x^2)\leq1 existe si x^2>0

C’est toujours vrai sauf pour 0.

L’ensemble d’existence est ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[

Etape n°2: On résout l’inéquation ln(x^2)\leq1

Il faut se ramener à une écriture du type ln(a)>ln(b)

Pour cela on utilise la propriété suivante 1=ln(e) .

ln(x^2)\leq ln(e)

Comme la fonction ln est croissante : les nombres et les images varient dans le même sens.

x^2\leq e

On résout l’inéquation du second degré.

On fait tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

x^2-e\leq 0

Pour factoriser, on utilise l’identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b)

avec a^2=x^2 donc a=x

avec b^2=e donc b=\sqrt{e}

(x-\sqrt{e})(x+\sqrt{e})\leq 0

Nous allons faire un tableau de signes et déterminer dans quelle colonne le produit (x-\sqrt{e})(x+\sqrt{e}) est de signe – ou 0.

Le polynôme x^2-e est du signe de a, ici 1 à l’extérieur des racines et du signe de -a, ici 1 à l’intérieur des racines . 

 le produit (x-\sqrt{e})(x+\sqrt{e}) est de signe – ou 0 pour la 2ième colonne.

Donc   x\in[-\sqrt{e};\sqrt{e}].

Etape n°3: On détermine  l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

L’intervalle solution représenté en bleu ci-dessous est bien inclus dans l’intervalle d’existence en rouge ci-dessous sauf pour la valeur 0.

Donc S=[-\sqrt{e};0[\cup]0;\sqrt{e}]

 

 

 

résoudre 3+ln(x)\geq 2

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation 3+ln(x)\geq 2 existe si x>0

L’ensemble d’existence est ]0;+\infty[

Etape n°2: On résout l’inéquation 3+ln(x)\geq 2

Il faut se ramener à une écriture du type ln(a)\geq ln(b)

ln(x)\geq 2-3\\ln(x)\geq -1

Puis on  remplace -1 par ln(e^{-1}) .

ln(x) \geq ln(e^{-1})

Comme la fonction ln est croissante : les nombres et les images varient dans le même sens.

x\geq e^{-1}

Pour que ce soit plus joli, on peut écrire ceci.

x\geq \frac{1}{e}

Donc x\in[\frac{1}{e}; +\infty[

Etape n°3: On détermine  l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

L’intervalle solution [\frac{1}{e}; +\infty[ est  inclus dans l’intervalle d’existence ]0;+\infty[.

Donc S= [\frac{1}{e}; +\infty[

 

 

 

 

résoudre ln(2-4x)=ln(4-2x)

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’équation ln(2-4x)=ln(4-2x) existe si 2-4x>0 et si 4-2x>0

On résout l’inéquation du premier degré 

2-4x>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

2-4x>0\\-4x>-2\\x<\frac{-2}{-4}\\x<\frac{1}{2}

On résout l’inéquation du premier degré

4-2x>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

4-2x>0\\-2x>-4\\x<\frac{-4}{-2}\\x<2

L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :

]-\infty;\frac{1}{2}[

Etape n°2: On résout l’équation ln(2-4x)=ln(4-2x)

On peut appliquer la propriété suivante ln(a)=ln(b) \iff a=b .

ln(2-4x)=ln(4-2x) \iff 2-4x=4-2x

\hspace{2.35cm} \iff -4x=4-2x-2

\hspace{2.35cm} \iff -4x+2x=2

\hspace{2.35cm} \iff -2x=2

\hspace{2.35cm} \iff x=\frac{2}{-2}

\hspace{2.35cm} \iff x=-1

Etape n°3: On vérifie que la solution est dans l’ensemble d’existence.

-1\in]-\infty;\frac{1}{2}[

Donc S=\{-1\}

résoudre ln(x)+ln(x-1)=ln(12)

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’équation ln(x)+ln(x-1)=ln(12) existe si x>0 et si x-1>0

Pour x>0, il n’y a rien à faire.

On résout l’inéquation du premier degré

x-1>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

x-1>0\\x>1

L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :

]1;+\infty[

Etape n°2: On résout l’équation ln(x)+ln(x-1)=ln(12)

Avant d’ appliquer la propriété suivante ln(a)=ln(b) \iff a=b, il faut transformer le membre de gauche en ln(a).

On applique la propriété : ln(a)+ln(b)=ln(ab) avec a=x et b=x-1.

ln(x)+ln(x-1)=ln(x(x-1))

ln(x)+ln(x-1)=ln(12)\\ln(x(x-1))=ln(12)

x(x-1)=12

C’est une équation du second degré, on développe le produit, on fait ensuite tout passer à gauche et zéro apparaît à droite. 

x^2-x-12=0.

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-1 et c=-12.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-1),(-12).

\Delta=(-1)²-4\times{1}\times{(-12)}\\\Delta=1+48\\\Delta=49

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1) , 49.

x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{49}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{1-\sqrt{49}}{2}\\x_1=\frac{1-7}{2}\\x_1=\frac{-6}{2}\\x_1=-3

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1) , 49.

x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{49}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{1+\sqrt{49}}{2}\\x_2=\frac{1+7}{2}\\x_2=\frac{8}{2}\\x_2=4

Les solutions de x^2-x-12=0 sont -3 et 4.

Etape n°3: On vérifie que les solutions sont dans l’ensemble d’existence.

-3\notin]1;+\infty[

4\in]1;+\infty[

Donc S=\{4\}

 

 

résoudre 2ln(x)=ln(4x-4)

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’équation 2ln(x)=ln(4x-4) existe si x>0 et si 4x-4>0

x>0( il n’y a rien à faire)

On résout l’inéquation du premier degré

4x-4>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

4x-4>0\\4x>4\\x>\frac{4}{4}\\x>1

L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :

]1;+\infty[

Etape n°2: On résout l’équation 2ln(x)=ln(4x-4)

Avant d’ appliquer la propriété suivante ln(a)=ln(b) \iff a=b, il faut transformer le membre de gauche en ln(a).

On applique la propriété : 2ln(a)=ln(a^2) avec a=x .

2ln(x)=ln(x^2)

2ln(x)=ln(4x-4)\\ln(x^2)=ln(4x-4)

x^2=4x-4

C’est une équation du second degré,  on fait  tout passer à gauche et zéro apparaît à droite. 

x^2-4x+4=0.

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-4 et c=4.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-4),4.

\Delta=(-4)²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=16-16\\\Delta=0

comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} .

Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b  par 1, (-4).

x_0=-\frac{(-4)}{2\times{1}}\\x_0=\frac{4}{2}\\x_0=2

La solution est 2.

Etape n°3: On vérifie que la solution est dans l’ensemble d’existence.

2\in]1;+\infty[

Donc S=\{2\}

résoudre ln(2-2x)>ln(4+x)

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation ln(2-2x)>ln(4+x) existe si 2-2x>0 et si 4+x>0

On résout l’inéquation du premier degré 

2-2x>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

2-2x>0\\-2x>-2\\x<\frac{-2}{-2}\\x<1

On résout l’inéquation du premier degré

4+x>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

4+x>0\\x>-4

 

L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :

]-4;1[

Etape n°2: On résout l’inéquation ln(2-2x)>ln(4+x)

ln(2-2x)>ln(4+x)

Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.

2-2x>4+x

C’est une inéquation du premier degré, on remet à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

-2x>4+x-2\\-2x>2+x\\-2x-x>2\\-3x>2

On divise de chaque côté par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.

x<-\frac{2}{3}

Donc x\in ]-\infty;-\frac{2}{3}[

Etape n°3: On détermine l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

Parmi les solutions trouvées à l’étape 2 ( en bleu sur le graphique) seules celles supérieures à  -4 sont dans l’ensemble d’existence ( en rouge sur le graphique).

Donc S=]-4;-\frac{2}{3}[

résoudre ln(x)+ln(x-1)<ln(2)

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation ln(x)+ln(x-1)<ln(2) existe si x>0 et si x-1>0

Pour x>0, il n’y a rien à faire.

On résout l’inéquation du premier degré

x-1>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

x-1>0\\x>1

L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :

]1;+\infty[

Etape n°2: On résout l’inéquation ln(x)+ln(x-1)<ln(2)

On veut se ramener à une écriture du type ln(a)<ln(b) , il faut d’abord  transformer le membre de gauche en ln(a).

On applique la propriété : ln(a)+ln(b)=ln(ab) avec a=x et b=x-1.

ln(x)+ln(x-1)=ln(x(x-1))

ln(x)+ln(x-1)<ln(2)\\ln(x(x-1))<ln(2)

Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.

x(x-1)<2

C’est une inéquation du second degré, on développe le produit, on fait ensuite tout passer à gauche et zéro apparaît à droite. 

x^2-x-2<0.

Je cherche pour quelle valeurs de x, le trinôme x^2-x-2 est de signe –.

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-1 et c=-2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-1),(-2).

\Delta=(-1)²-4\times{1}\times{(-2)}\\\Delta=1+8\\\Delta=9

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1) , 9.

x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{1-\sqrt{9}}{2}\\x_1=\frac{1-3}{2}\\x_1=\frac{-2}{2}\\x_1=-1

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1) , 9.

x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{1+\sqrt{9}}{2}\\x_2=\frac{1+3}{2}\\x_2=\frac{4}{2}\\x_2=2

Je fais un tableau de signes, x^2-x-2 est du signe de a, ici 1, à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.

Le trinôme x^2-x-2 est de signe – pour la deuxième colonne.

Donc x\in ]-1;2[

Etape n°3: On détermine l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

Seule la partie ]1;2[ de l’ensemble trouvé à l’étape 2 ( en bleu ci-dessous) se trouve dans l’ensemble d’existence ( en rouge ci-dessous).

Donc S=]1;2[

 

 

 

résoudre 2ln(x)\geq ln(6x-5)

Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.

L’inéquation 2ln(x)\geq ln(6x-5)) existe si x>0 et si 6x-5>0

x>0( il n’y a rien à faire)

On résout l’inéquation du premier degré

6x-5>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

6x-5>0\\6x>5\\x>\frac{5}{6}

L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :

]\frac{5}{6};+\infty[

Etape n°2: On résout l’inéquation 2ln(x)\geq ln(6x-5))

Il faut transformer le membre de gauche en ln(a).

On applique la propriété : 2ln(a)=ln(a^2) avec a=x , c’est-à-dire  2ln(x)=ln(x^2)

2ln(x)\geq ln(6x-5))\\ln(x^2)\geq ln(6x-5))

La fonction ln est croissante donc les nombres et les images varient dans le même sens.

x^2\geq 6x-5

C’est une inéquation du second degré,  on fait  tout passer à gauche et zéro apparaît à droite. 

x^2-6x+5\geq 0.

On cherche pour quelles valeurs de x, le trinôme du second degré x^2-6x+5 est  de signe + ou nul.

J’identifie les coefficients du trinôme du second degré a=1, b=-6 et c=5.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-6),5.

\Delta=(-6)²-4\times{1}\times{5}\\\Delta=36-20\\\Delta=16

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-6) , 16.

x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{6-4}{2}\\x_1=\frac{2}{2}\\x_1=1

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-6) , 16.

x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{6+4}{2}\\x_2=\frac{10}{2}\\x_2=5

Je fais un tableau de signes, x^2-6x+5 est du signe de a, ici 1, à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.

 le trinôme du second degré x^2-6x+5 est  de signe + ou nul pour les 1ère et 3ième colonnes.

Donc x\in]-\infty;1]\cup[5;+\infty[

Etape n°3: On détermine l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.

Seules les parties ]\frac{5}{6};1]   et [5;+\infty[ de l’ensemble trouvé à l’étape 2 ( en bleu ci-dessous) se trouvent dans l’ensemble d’existence ( en rouge ci-dessous).

Donc S=]\frac{5}{6};1]\cup [ 5;+\infty[ 

 

 

 

On veut calculer \lim_{x\to 0}ln(x)+x^2

On répond à la question suivante : ln(x)+x^2 est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

ln(x) et x^2.

On calcule d’abord les limites des deux termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{0}}ln(x)=-\infty. 

\lim_{x\to{0}}x^2=0.

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 3.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{0}}ln(x)=-\infty. 

\lim_{x\to{0}}x^2=0.

D’après le théorème sur la somme

\lim_{x\to 0}ln(x)+x^2=-\infty

 

On veut calculer \lim_{x\to {+\infty}}xln(x)

On répond à la question suivante : xln(x) est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

x et ln(x).

On calcule d’abord les limites des deux facteurs du produit.

Puis on applique le théorème sur le produit ci-dessous (appuyer sur le + La fonction est un produit….)

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x)=+\infty. 

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit colonne 3.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x)=+\infty. 

D’après le théorème sur le produit

\lim_{x\to {+\infty}}xln(x)=+\infty

 

 

On veut calculer \lim_{x\to +\infty}ln(x)-x

On répond à la question suivante : ln(x)-x est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

ln(x) et -x.

On calcule d’abord les limites des deux termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x)=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}-x=-\infty.

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 3. Mais on tombe sur une forme indéterminée, il faut modifier l’écriture de ln(x)-x, par exemple factoriser et appliquer le théorème sur le produit. 

ln(x)-x= x(\frac{ln(x)}{x}-1)

On veut calculer désormais \lim_{x\to +\infty} x(\frac{ln(x)}{x}-1)

On répond à la question suivante : x(\frac{ln(x)}{x}-1) est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

x et \frac{ln(x)}{x}-1.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs du produit.

Puis on applique le théorème sur le produit ci-dessus.

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

 \lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0, c’est une propriété vue dans le cours qu’il faut connaître par coeur.

 \lim_{x\to{+\infty}}-1=-1

D’après le théorème sur la somme :

 \lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}-1=-1

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

On veut calculer \lim_{x\to +\infty}ln(x)-x mais le théorème sur la somme donne une forme indéterminée.

Il faut modifier l’écriture de ln(x)-x, par exemple factoriser et appliquer le théorème sur le produit. 

ln(x)-x= x(\frac{ln(x)}{x}-1)

On veut calculer désormais \lim_{x\to +\infty} x(\frac{ln(x)}{x}-1)

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0, c’est une propriété vue dans le cours qu’il faut connaître par coeur.

\lim_{x\to{+\infty}}-1=-1

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}-1=-1

D’après le théorème sur le produit (colonne 2)

\lim_{x\to +\infty} x(\frac{ln(x)}{x}-1)=-\infty

 

 

On veut calculer \lim_{x\to {0}}x^2ln(x)

On répond à la question suivante : x^2ln(x) est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

x^2 et ln(x).

On calcule d’abord les limites des deux facteurs du produit.

Puis on applique le théorème sur le produit ci-dessous (appuyer sur le + La fonction est un produit….)

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{0}}x^2=0. 

\lim_{x\to{0}}ln(x)=-\infty. 

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit colonne 4. C’est une forme indéterminée.

On change les facteurs :

C’est le produit de deux nouveaux facteurs :

x et xln(x).

\lim_{x\to{0}}x=0. 

\lim_{x\to{0}}xln(x)=0. (d’après une propriété du cours)

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit colonne 1.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{0}}x=0. 

\lim_{x\to{0}}xln(x)=0. (d’après une propriété du cours)

D’après le théorème sur le produit

\lim_{x\to {0}}x^2ln(x)=0

 

 

On veut calculer \lim_{x\to {0}}\frac{ln(x)-1}{x}

On répond à la question suivante : \frac{ln(x)-1}{x} est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient :

le numérateur est ln(x)-1 et le dénominateur est x.

On calcule d’abord leurs limites .

Puis on applique le théorème sur le quotient ci-dessous (appuyer sur le + La fonction est un quotient….)

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{0}}ln(x)-1=-\infty. 

\lim_{x\to{0}}x=0^{+}. Ici x>0 donc les valeurs de x se rapprochent de zéro en restant positives. C’est important de le préciser pour appliquer le théorème sur le quotient. 

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient colonne 4.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{0}}ln(x)-1=-\infty. 

\lim_{x\to{0}}x=0^{+}.  

D’après le théorème sur le quotient et d’après la règle des signes :

\lim_{x\to {0}}\frac{ln(x)-1}{x}=-\infty

 

 

On veut calculer \lim_{x\to {+\infty}}\frac{ln(x)}{x^2}

On répond à la question suivante : \frac{ln(x)}{x^2} est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

De façon naturelle, c’est un quotient :

le numérateur est ln(x) et le dénominateur est x^2.

On calcule d’abord leurs limites .

Puis on applique le théorème sur le quotient ci-dessous (appuyer sur le + La fonction est un quotient….)

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x)=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}x^2=+\infty.  

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient colonne 5. C’est une forme indéterminée, changeons la forme puis appliquons un autre théorème.

C’est un produit de deux facteurs : 

\frac{ln(x)}{x} et \frac{1}{x}

On calcule d’abord leurs limites .

Puis on applique le théorème sur le produit ci-dessous (appuyer sur le + La fonction est un produit….)

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0. C’est une propriété du cours.

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{1}{x}=0.  

Puis on applique le théorème sur le produit colonne 1.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0. C’est une propriété du cours.

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{1}{x}=0.  

D’après le théorème sur le produit :

\lim_{x\to {+\infty}}\frac{ln(x)}{x^2}=0

 

 

On veut calculer \lim_{x\to {0}}(2x+1)ln(x)

On répond à la question suivante : (2x+1)ln(x) est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

2x+1 et ln(x).

On calcule d’abord les limites des deux facteurs du produit.

Puis on applique le théorème sur le produit ci-dessous (appuyer sur le + La fonction est un produit….)

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim_{x\to{0}}2x+1=1. 

\lim_{x\to{0}}ln(x)=-\infty. 

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit colonne 2.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{0}}2x+1=1. 

\lim_{x\to{0}}ln(x)=-\infty. 

D’après le théorème sur le produit

\lim_{x\to {0}}(2x+1)ln(x)=-\infty.

 

 

On veut calculer \lim_{x\to 0}6-ln(x)

On répond à la question suivante : 6-ln(x) est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

6 et -ln(x).

On calcule d’abord les limites des deux termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{0}}6=6 car le nombre 6 ne dépend pas de x.

\lim_{x\to{0}}-lnx=+\infty.

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 2.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{0}}6=6 car le nombre 6 ne dépend pas de x.

\lim_{x\to{0}}-lnx=+\infty.

D’après le théorème sur la somme

\lim_{x\to 0}6-ln(x)=+\infty

 

 

f(x)=\frac{1}{x}+ln(x) pour x \in ]0;+\infty[

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux termes :

\frac{1}{x} et ln(x).

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

Il faut donc calculer les dérivées des deux termes \frac{1}{x} et ln(x) en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de \frac{1}{x}

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne inverse du deuxième tableau.

(\frac{1}{x})’=-\frac{1}{x^2}

Je calcule la dérivée de ln(x) .

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne logarithme népérien du deuxième tableau.

(ln(x))’=\frac{1}{x}

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (\frac{1}{x}+ln(x))’\\\hspace{0.9cm}= (\frac{1}{x})’+(ln(x))’\\\hspace{0.9cm}=- \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}

 

 

f(x)=xln(x)

pour x \in ]0;+\infty[

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x et v(x)=ln(x).

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x c’est une fonction de référence, on utilise la  ligne n°2 du deuxième tableau.

u'(x)=(x)’ 

\hspace{0.9cm}=1 

 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=ln(x) c’est une fonction de référence, on utilise la  ligne n°8 du deuxième tableau.

 v'(x)=\frac{1}{x} 

 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x,  v par ln(x), u’ par  1 et v’ par \frac{1}{x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

 f'(x)=1\times{ln(x)}+{x}\times{\frac{1}{x}} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (xln(x))’\\f'(x)=(x)’\times{ln(x)}+(x)\times{(ln(x))’} \\f'(x)=1\times{ln(x)}+x\times{\frac{1}{x}} \\f'(x)=ln(x)+1

 

f(x)= ln(x^2+5) pour x\in \mathbf{R}.

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction ou ln(u(x))  ? (la liste s’allonge)

C’est de la forme  ln(u(x)) avec  u(x)=x^2+5.

D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{u'(x)}{u(x)} 

Calcul de u'(x)

u'(x)=(x^2+5)’

u'(x)=(x^2)’+(5)’

u'(x)=2x+0

u'(x)=2x

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par x^2+5 et u'(x) par 2x dans la formule \frac{u'(x)}{u(x)}  .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=(ln(x^2+5))’ \\f'(x)=\frac{(x^2+5)’}{x^2+5} \\f'(x)=\frac{2x}{x^2+5}

 

f(x)=(x-1)ln(2x)

pour x \in ]0;+\infty[

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x-1 et v(x)=ln(2x).

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x-1 c’est une somme, on utilise la ligne 1 du tableau 1.

u'(x)=(x-1)’ 

\hspace{0.9cm}=(x)’-(1)’ 

\hspace{0.9cm}=1-0 

\hspace{0.9cm}=1 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=ln(2x) est de la forme ln(u) , on utilise la  ligne n°8 du premier tableau.

 v'(x)=\frac{(2x)’}{2x} 

 v'(x)=\frac{2(x)’}{2x} 

 v'(x)=\frac{2\times 1}{2x} 

 v'(x)=\frac{2}{2x} 

 v'(x)=\frac{1}{x} 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x-1,  v par ln(2x), u’ par  1 et v’ par \frac{1}{x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= ((x-1)ln(2x))’\\f'(x)=(x-1)’\times{ln(2x)}+(x-1)\times{(ln(2x))’} \\f'(x)=1\times{ln(2x)}+(x-1)\times{\frac{(2x)’}{2x}} \\f'(x)=ln(2x)+(x-1)\times{\frac{2(x)’}{2x}} \\f'(x)=ln(2x)+(x-1)\times{\frac{2\times 1}{2x}} \\f'(x)=ln(2x)+(x-1)\times{\frac{1}{x}} \\f'(x)=ln(2x)+\frac{x-1}{x}

 

 

f(x)= \frac{ln(x)-1}{x} pour x\in ]0;+\infty[

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=ln(x)-1 et v(x)=x.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=ln(x)-1

C’est une somme voir ligne 1 du 1er tableau.

u'(x)=(ln(x)+1)’

u'(x)=(ln(x))’+(1)’

Pour dériver ln(x), on utilise la ligne logarithme népérien du deuxième tableau.

u'(x)=\frac{1}{x}+0

u'(x)=\frac{1}{x}

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

C’est une fonction de référence, voir ligne 2 du 2ème tableau.

v'(x)=(x)’

v'(x)=1

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  (ln(x)-1),  v par x, u’ par  \frac{1}{x} et v’ par 1 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{ln(x)-1}{x})’\\f'(x)=\frac{(ln(x)-1)’\times{x}-{(ln(x)-1)}\times{(x)’}}{x^2}\\f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\times{x}-{(ln(x)-1)}\times{1}}{x^2}\\f'(x)=\frac{1-(ln(x)-1)}{x^2}\\f'(x)=\frac{1-ln(x)+1)}{x^2}\\f'(x)=\frac{2-ln(x))}{x^2}

 

 

f(x)= (ln(x))^2 pour x\in ]0;+\infty[

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)

C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=ln(x).

D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x) 

Calcul de u'(x)

u(x) est une fonction de référence.

u'(x)=(ln(x))’

u'(x)=\frac{1}{x}

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par ln(x) et u'(x) par \frac{1}{x} dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=2\times (ln(x))’ \times (ln(x))\\f'(x)=2\times \frac{1}{x}\times ln(x)\\f'(x)=\frac{2ln(x)}{x}

f(x)= \frac{ln(x)+1}{x^2} pour x\in ]0;+\infty[

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=ln(x)+1 et v(x)=x^2.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=ln(x)+1

C’est une somme voir ligne 1 du 1er tableau.

u'(x)=(ln(x)+1)’

u'(x)=(ln(x))’+(1)’

Pour dériver ln(x), on utilise la ligne logarithme népérien du deuxième tableau.

u'(x)=\frac{1}{x}+0

u'(x)=\frac{1}{x}

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

C’est une fonction de référence, voir ligne 3 du 2ème tableau.

v'(x)=(x^2)’

v'(x)=2x

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  (ln(x)+1),  v par x^2, u’ par  \frac{1}{x} et v’ par 2x dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{ln(x)+1}{x^2})’\\f'(x)=\frac{(ln(x)+1)’\times{x^2}-{(ln(x)+1)}\times{(x^2)’}}{(x^2)^2}\\f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\times{x^2}-{(ln(x)+1)}\times{2x}}{x^4}

Au lieu de multiplier  \frac{1}{x}\times{x^2} , il est plus judicieux de simplifier par  x en haut et en bas.

f'(x)=\frac{x-(2x\times ln(x)+2x\times 1)}{x^4}\\f'(x)=\frac{x-2xln(x)-2x}{x^4}\\f'(x)=\frac{-2xln(x)-x}{x^4}

f(x)= ln(\frac{x-1}{x+1}) pour x\in ]1;+\infty[.

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction ou ln(u)  ? (la liste s’allonge)

C’est de la forme  ln(u(x)) avec  u(x)=\frac{x-1}{x+1}.

D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{(u(x))’}{u(x)} 

Calcul de u'(x). C’est un quotient.

u'(x)=(\frac{x-1}{x+1})’

u'(x)=\frac{(x-1)’\times(x+1)-(x-1)\times(x+1)’}{(x+1)^2}

u'(x)=\frac{1\times(x+1)-(x-1)\times 1}{(x+1)^2}

u'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}

u'(x)=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}

u'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par \frac{x-1}{x+1} et u'(x) par \frac{2}{(x+1)^2} dans la formule \frac{(u(x))’}{u(x)} .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=(ln(\frac{x-1}{x+1}))’ \\f'(x)=\frac{(\frac{x-1}{x+1})’}{(\frac{x-1}{x+1})}

Dans un premier temps, on calcule  (\frac{x-1}{x+1})’.

(\frac{x-1}{x+1})’=\frac{(x-1)’\times(x+1)-(x-1)\times(x+1)’}{(x+1)^2}\\\hspace{1.05 cm}=\frac{1\times(x+1)-(x-1)\times 1}{(x+1)^2}\\\hspace{1.05 cm}=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}\\\hspace{1.05 cm}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}\\\hspace{1.05 cm}=\frac{2}{(x+1)^2}

Puis on remplace (\frac{x-1}{x+1})’ par \frac{2}{(x+1)^2} dans f'(x)=\frac{(\frac{x-1}{x+1})’}{(\frac{x-1}{x+1})}.

f'(x)=\frac{\frac{2}{(x+1)^2}}{(\frac{x-1}{x+1})}

Diviser par \frac{x-1}{x+1} revient à multiplier par \frac{x+1}{x-1}

f'(x)={\frac{2}{(x+1)^2}}\times{\frac{x+1}{x-1}}

On simplifie en haut et en bas par (x+1)

f'(x)=\frac{2}{(x+1)(x-1)}

 

On veut calculer \lim_{x\to 0}ln(x)-2x

On répond à la question suivante : ln(x)-2x est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

ln(x) et -2x.

On calcule d’abord les limites des deux termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to0}ln(x)=-\infty. 

 \lim_{x\to 0}-2x=0 

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 3. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to0}ln(x)=-\infty. 

  \lim_{x \to 0}-2x=0

D’après le théorème sur la somme.

\lim_{x\to 0} ln(x)-2x=-\infty

 

 

On veut calculer \lim_{x\to +\infty}ln(x)-2x

On répond à la question suivante : ln(x)-2x est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

ln(x) et -2x.

On calcule d’abord les limites des deux termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x)=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}-2x=-\infty.

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 6. Mais on tombe sur une forme indéterminée, il faut modifier l’écriture de ln(x)-2x, par exemple factoriser et appliquer le théorème sur le produit. 

ln(x)-2x= x(\frac{ln(x)}{x}-2)

On veut calculer désormais \lim_{x\to +\infty} x(\frac{ln(x)}{x}-2)

On répond à la question suivante : x(\frac{ln(x)}{x}-2) est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

x et \frac{ln(x)}{x}-2.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs du produit.

Puis on applique le théorème sur le produit ci-dessus.

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

 \lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0, c’est une propriété vue dans le cours qu’il faut connaître par coeur.

 \lim_{x\to{+\infty}}-2=-2

D’après le théorème sur la somme :

 \lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}-2=-2

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

On veut calculer \lim_{x\to +\infty}ln(x)-2x mais le théorème sur la somme donne une forme indéterminée.

Il faut modifier l’écriture de ln(x)-2x, par exemple factoriser et appliquer le théorème sur le produit. 

ln(x)-2x= x(\frac{ln(x)}{x}-2)

On veut calculer désormais \lim_{x\to +\infty} x(\frac{ln(x)}{x}-2)

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0, c’est une propriété vue dans le cours qu’il faut connaître par coeur.

\lim_{x\to{+\infty}}-2=-2

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}-2=-2

D’après le théorème sur le produit (colonne 2)

\lim_{x\to +\infty} x(\frac{ln(x)}{x}-2)=-\infty

f(x)=ln(x)-2x pour x \in ]0;+\infty[

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux termes :

ln(x) et -2x.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

Il faut donc calculer les dérivées des deux termes ln(x) et -2x en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de ln(x)

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne logarithme népérien du deuxième tableau.

(ln(x))’=\frac{1}{x}

Je calcule la dérivée de -2x .

J‘utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(-2x)’=-2(x)’

J‘utilise la deuxième ligne du deuxième tableau.

(-2x)’=-2\times 1

(-2x)’=-2

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (ln(x)-2x)’\\\hspace{0.9cm}= (ln(x))’-(2x)’\\\hspace{0.9cm}= \frac{1}{x}-2(x)’\\\hspace{0.9cm}= \frac{1}{x}-2\times 1\\\hspace{0.9cm}= \frac{1}{x}-2

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{1}{x}-2.

C’est une somme de nombres de signes contraires, on ne peut pas conclure.

On met au même dénominateur et on étudie le signe d’un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes. On fait un tableau de signes comme en seconde , si c’est nécessaire. 

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

f'(x)=\frac{1}{x}-2.

On choisit x comme dénominateur commun.

 f'(x)=\frac{1}{x}-2.

 f'(x)=\frac{1}{x}-2\times {\frac{x}{x}}.

f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x}{x}\\f'(x)=\frac{1-2x}{x}

D’après l’énoncé x>0 donc le dénominateur est positif donc f'(x) est du signe de 1-2x.

On clique sur le plus de La quantité est de la forme ax+b.

Voici le tableau qu’on obtient avec a=-2 et b=1 .

On peut donc déterminer le signe de  f'(x).

 f'(x) est positif sur  ]0;\frac{1}{2}] et f'(x) est négatif sur  [\frac{1}{2};+\infty[.

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On utilise la question 1 et on calcule f(\frac{1}{2})  pour compléter la troisième ligne.

f(\frac{1}{2})=ln(\frac{1}{2})-2\times \frac{1}{2}\\f(\frac{1}{2})=-ln(2)-1

 

 

f(x)=ln(x)-2x et a=1

Je calcule f(1) en remplaçant tous les x par 1 dans f(x)=ln(x)-2x

f(1)=ln(1)-2\times 1

f(1)=0-2

f(1)=-2

On a montré que  f'(x)=\frac{1}{x}-2 dans la question 2.a

f'(1)=\frac{1}{1}-2

f'(1)=1-2

f'(1)=-1

Je remplace a,f(a),f'(a) par 1,(-2),(-1) dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=(-1)(x-1)+(-2)

y=-(x-1)-2

y=-x+1-2

y=-x-1

 

 

On veut calculer \lim_{x\to 0}ln(x^2)-2x+3

On répond à la question suivante : ln(x^2)-2x+3 est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de trois termes :

ln(x^2), -2x et 3 .

On calcule d’abord les limites des trois termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to0}ln(x^2)=-\infty. 

 \lim_{x\to 0}-2x=0 

 \lim_{x\to 0}3=3  car  3  ne dépend pas de  x .

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 3. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to0}ln(x^2)=-\infty. 

\lim_{x\to 0}-2x=0

 \lim_{x\to 0}3=3  car  3  ne dépend pas de  x .

D’après le théorème sur la somme.

\lim_{x\to 0} ln(x^2)-2x+3=-\infty

 

 

On veut calculer \lim_{x\to +\infty}ln(x^2)-2x+3

On répond à la question suivante : ln(x^2)-2x+3 est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de trois termes :

ln(x^2) , -2x et 3.

On calcule d’abord les limites des trois termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x^2)=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}-2x=-\infty.

\lim_{x\to{+\infty}}3=3 car 3 ne dépend pas de x.

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 6. Mais on tombe sur une forme indéterminée, il faut modifier l’écriture de ln(x^2)-2x+3, par exemple factoriser et appliquer le théorème sur le produit. 

Comme x>0, on peut remplacer ln(x^2) par 2ln(x).

ln(x^2)-2x+3= 2ln(x)-2x+3

\hspace{2.45cm}= x(\frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x})

On veut calculer désormais \lim_{x\to +\infty} x(\frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x})

On répond à la question suivante : x(\frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x})est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

x et \frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x}.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs du produit.

Puis on applique le théorème sur le produit ci-dessus.

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

 \lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0, c’est une propriété vue dans le cours qu’il faut connaître par coeur.

Donc  \lim_{x\to{+\infty}}\frac{2ln(x)}{x}=0

\lim_{x\to{+\infty}}-2=-2

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{3}{x}=0

D’après le théorème sur la somme :

 \lim_{x\to{+\infty}}\frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x}=-2

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

On veut calculer \lim_{x\to +\infty}ln(x^2)-2x+3 mais le théorème sur la somme donne une forme indéterminée.

Il faut modifier l’écriture de ln(x^2)-2x+3, par exemple factoriser et appliquer le théorème sur le produit. 

ln(x^2)-2x+3= x(\frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x})

On veut calculer désormais \lim_{x\to +\infty} x(\frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x})

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

 \lim_{x\to{+\infty}}\frac{ln(x)}{x}=0, c’est une propriété vue dans le cours qu’il faut connaître par coeur.

Donc  \lim_{x\to{+\infty}}\frac{2ln(x)}{x}=0\\\lim_{x\to{+\infty}}-2=-2\\\lim_{x\to{+\infty}}\frac{3}{x}=0

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{x\to{+\infty}}\frac{2ln(x)}{x}-2+\frac{3}{x}=-2

D’après le théorème sur le produit (colonne 2)

\lim_{x\to +\infty} x(\frac{ln(2x)}{x}-2+\frac{3}{x})=-\infty

 

 

f(x)=ln(x^2)-2x+3 pour x \in ]0;+\infty[

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

ln(x^2), -2x et 3.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes ln(x^2), -2x et 3. en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de ln(x^2)

C’est de la forme ln(u) avec u(x)=x^2 et donc u'(x)=2x, j‘utilise la dernière ligne du premier tableau.

ln(x^2)’=\frac{(x^2)’}{x^2}

\hspace{1.2cm}=\frac{2x}{x^2}

\hspace{1.2cm}=\frac{2}{x}

Je calcule la dérivée de -2x .

J‘utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(-2x)’=-2(x)’

J‘utilise la deuxième ligne du deuxième tableau.

\hspace{1.2cm}=-2\times 1

\hspace{1.2cm}=-2

Je calcule la dérivée de 3 .

J‘utilise la première ligne du deuxième tableau.

(3)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (ln(x^2)-2x+3)’\\\hspace{0.9cm}= (ln(x^2))’-(2x)’+(3)’\\\hspace{0.9cm}= \frac{(x^2)’}{x^2}-2(x)’+0\\\hspace{0.9cm}= \frac{2x}{x^2}-2\times 1\\\hspace{0.9cm}= \frac{2}{x}-2

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{2}{x}-2.

C’est une somme de nombres de signes contraires, on ne peut pas conclure.

On met au même dénominateur et on étudie le signe d’un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes. On fait un tableau de signes comme en seconde , si c’est nécessaire. 

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

f'(x)=\frac{2}{x}-2.

On choisit x comme dénominateur commun.

 f'(x)=\frac{2}{x}-2.

 f'(x)=\frac{2}{x}-2\times {\frac{x}{x}}.

f'(x)=\frac{2}{x}-\frac{2x}{x}\\f'(x)=\frac{2-2x}{x}

D’après l’énoncé x>0 donc le dénominateur est positif donc f'(x) est du signe de 2-2x.

On clique sur le plus de La quantité est de la forme ax+b.

Voici le tableau qu’on obtient avec a=-2 et b=2 .

On peut donc déterminer le signe de  f'(x).

 f'(x) est positif sur  ]0;1] et f'(x) est négatif sur  [1;+\infty[.

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On utilise la question 1 et on calcule f(1)  pour compléter la troisième ligne.

f(1)=ln(1^2)-2\times 1+3\\f(1)=ln(1)-2+3\\f(1)=0-2+3\\f(1)=1

 

 

f(x)=ln(x^2)-2x+3 et a=2

Je calcule f(2) en remplaçant tous les x par 2 dans f(x)=ln(x^2)-2x+3

f(2)=ln(2^2)-2\times 2+3

f(2)=ln(4)-4+3

f(2)=ln(4)-1

On a montré que  f'(x)=\frac{2}{x}-2 dans la question 2.a

f'(2)=\frac{2}{2}-2

f'(2)=1-2

f'(2)=-1

Je remplace a,f(a),f'(a) par 2,(ln(4)-1),(-1) dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=(-1)(x-2)+(ln(4)-1)

y=-(x-2)+ln(4)-1

y=-x+2+ln(4)-1

y=-x+ln(4)+1

 

On veut calculer \lim_{x\to 0}xln(x)+1

On répond à la question suivante : xln(x)+1 est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

xln(x) et 1 .

On calcule d’abord les limites des deux termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to0}xln(x)=0, c’est une propriété du cours. 

 \lim_{x\to 0}1=1  car  1  ne dépend pas de  x .

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 1. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to0}xln(x)=0, c’est une propriété du cours. 

\lim_{x\to 0}1=1  car  1  ne dépend pas de  x .

D’après le théorème sur la somme.

\lim_{x\to 0} xln(x)+1=1

 

 

On veut calculer \lim_{x\to +\infty}xln(x)+1

On répond à la question suivante : xln(x)+1 est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

xln(x) et 1.

On calcule d’abord les limites des deux termes de la somme.

Puis on applique le théorème sur la somme ci-dessous.

Dans ces trois tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l’ représentent deux nombres réels.

Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.

\lim f=lll+\infty-\infty+\infty
\lim g=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim f+g=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim f=ll\ne0\infty0
\lim g=l’\infty\infty\infty
\lim fg=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim f=ll\ne0l\infty\infty0
\lim g=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim\frac{f}{g}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x)=+\infty. 

D’après la colonne 3 du théorème sur le produit :

\lim_{x\to{+\infty}}xln(x)=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}1=1.

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 2.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{x\to{+\infty}}x=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}ln(x)=+\infty. 

D’après la colonne 3 du théorème sur le produit :

\lim_{x\to{+\infty}}xln(x)=+\infty. 

\lim_{x\to{+\infty}}1=1.

D’après le théorème sur la somme (colonne 2)

\lim_{x\to +\infty} xln(x)+1=+\infty

 

 

f(x)=xln(x)+1 pour x \in ]0;+\infty[

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux termes :

xln(x) et 1.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

Il faut donc calculer les dérivées des deux termes xln(x) et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de xln(x)

C’est un produit u\times v, avec

u(x)=x donc u'(x)=1

v(x)=ln(x) donc v'(x)=\frac{1}{x}

On remplace ensuite dans la formule : u’\times v+u\times v’

(xln(x))’=(x)’ln(x) +x(ln(x))’

\hspace{2cm}=1\times ln(x) +x\times\frac{1}{x}

(xln(x))’=ln(x) +1

Je calcule la dérivée de 1 .

J‘utilise la première ligne du second tableau.

(1)’=0

 

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (xln(x)+1)’\\\hspace{0.9cm}= (xln(x))’+(1)’\\\hspace{0.9cm}=(x)’ln(x) +x(ln(x))’+0\\\hspace{0.9cm}=1\times ln(x) +x\times \frac{1}{x}\\\hspace{0.9cm}= ln(x)+1

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=ln(x)+1.

C’est une somme de nombres de signes contraires, on ne peut pas conclure. Dans la fiche ci-dessous on propose de déterminer quand la quantité est positive.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes. On fait un tableau de signes comme en seconde , si c’est nécessaire. 

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On va chercher pour quelles valeurs de x, la dérivée f'(x) est positive en résolvant f'(x)>0.

f'(x)>0\\ln(x)+1>0

Il faut se ramener à une écriture de la forme f(a)>f(b).

ln(x)>-1

On remplace -1 par ln(e^{-1})

ln(x)>ln(e^{-1})

Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.

x>e^{-1} ou bien x>\frac{1}{e}

On peut donc déterminer le signe de  f'(x).

 f'(x) est négatif sur  ]0;\frac{1}{e}] et f'(x) est positif sur  [\frac{1}{e};+\infty[.

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On utilise la question 1 et on calcule f(\frac{1}{e})  pour compléter la troisième ligne.

f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\times ln(\frac{1}{e})+1\\f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\times (-1)+1\\f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}+1

 

 

 

f(x)=xln(x)+1 et a=e

Je calcule f(e) en remplaçant tous les x par e dans f(x)=xln(x)+1

f(e)=eln(e)+1

f(e)=e\times 1+1

f(e)=e+1

On a montré que  f'(x)=ln(x)+1 dans la question 2.a

f'(e)=ln(e)+1

f'(e)=1+1

f'(e)=2

Je remplace a,f(a),f'(a) par e,(e+1),2 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=2(x-e)+(e+1)

y=2x-2e+e+1

y=2x-e+1

 

 

f(x)= x(1-ln(x))^2 pour x\in ]0;+\infty[

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x et v(x)=(1-ln(x))^2.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}
e^uu’e^u
ln(u)\frac{u’}{u}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x est une fonction de référence, on utilise la 2ème ligne du tableau n°2 ci-dessous

u'(x)=(x)’

u'(x)=1

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=(1-ln(x))^2 on utilise la propriété  du cours : (w^2)'(x)= 2w'(x) \times {w(x)}

avec w(x)=1-ln(x)

donc w'(x)=-\frac{1}{x}

Ainsi

v'(x)=(((1-ln(x))^2)’

v'(x)=2(1-ln(x))'(1-ln(x))

v'(x)=2(-\frac{1}{x})(1-ln(x))

v'(x)=-\frac{2}{x}(1-ln(x)

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x
logarithme népérienf(x)=ln(x)]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x,  v par (1-ln(x))^2, u’ par  1 et v’ par -\frac{1}{x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (x(1-(ln(x))^2)’\\f'(x)=(x)'(1-(ln(x))^2+x(1-ln(x))^2)’ \\f'(x)=1\times(1-(ln(x))^2+x\times2(1-ln(x))'(1-ln(x)) \\f'(x)=1\times{(1-2ln(x)+ln^2(x))}+x\times{-\frac{2}{x}(1-ln(x))} \\f'(x)=1-2ln(x)+ln^2(x)-2(1-ln(x)) \\f'(x)=1-2ln(x)+ln^2(x)-2+2ln(x)) \\f'(x)=ln^2(x)-1

On factorise en utilisant l’identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b) .  a^2=ln^2(x) donc a=ln(x) et b^2=1 donc b=1.

f'(x)=(ln(x)-1)(ln(x)+1)

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=ln^2(x)-1.

C’est une somme de nombres de signes contraires, on ne peut pas conclure. Dans la fiche ci-dessous on propose de déterminer quand la quantité est positive.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes. On fait un tableau de signes comme en seconde , si c’est nécessaire. 

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On va chercher pour quelles valeurs de x, la dérivée f'(x) est positive en résolvant f'(x)>0.

f'(x)>0\\ln^2(x)-1>0

On factorise le membre de gauche en utilisant l’identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(ln(x)-1)(ln(x)+1)>0

On va dresser le tableau de signes du produit (ln(x)-1)(ln(x)+1) et chercher pour quelles valeurs de x, le produit (ln(x)-1)(ln(x)+1) est de signe + .

On cherche où mettre les + sur la ligne du facteur ln(x)-1; pour cela on résout

ln(x)-1>0

Il faut se ramener à une écriture de la forme f(a)>f(b).

ln(x)>1\\ln(x)>ln(e)

Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens. 

x>e

On cherche où mettre les + sur la ligne du facteur ln(x)+1; pour cela on résout

ln(x)+1>0

Il faut se ramener à une écriture de la forme f(a)>f(b).

ln(x)>-1\\ln(x)>ln(e^{-1})

Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens. 

x>e^{-1}\\x>\frac{1}{e}

 

 

On peut donc déterminer le signe de  f'(x).

 f'(x) est positif sur  ]0;\frac{1}{e}]\cup[e;+\infty[ et f'(x) est négatif sur  [\frac{1}{e};e].

Pour calculer f(e), je remplace tous les x par e dans f(x)=x(1-ln(x))^2

f(e)=e(1-ln(e))^2\\\hspace{0.75cm}=e(1-1)^2\\\hspace{0.75cm}=e\times 0\\\hspace{0.75cm}=0

Pour calculer f(\frac{1}{e}), je remplace tous les x par \frac{1}{e} dans f(x)=x(1-ln(x))^2

f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}(1-ln(\frac{1}{e}))^2\\\hspace{0.8cm}=\frac{1}{e}(1-(ln1-lne))^2\\\hspace{0.8cm}=\frac{1}{e}(1-(0-1))^2\\\hspace{0.8cm}=\frac{1}{e}(1-(-1))^2\\\hspace{0.8cm}=\frac{1}{e}(2)^2\\\hspace{0.8cm}=\frac{1}{e}\times 4\\\hspace{0.8cm}=\frac{4}{e}

 

 

On utilise la question 2 pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On utilise la question 3a et l’énoncé  pour compléter la troisième ligne.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.