Méthodes pour déterminer une équation cartésienne d’une droite.
Sommaire
Exemple n°1 :
Cas où la droite est définie par deux points A (5;3) et B(-1;6)
METHODE N°1:
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite (AB) où A(5;3) et B(-1;6) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 vérifiée par les coordonnées (x;y) d’un point quelconque de la droite (AB) que l’on va nommer M . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.
Pour caractériser la situation géométrique ci-dessus, nous allons utiliser trois langages différents : le langage des points et des droites, le langage des vecteurs et celui des coordonnées.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
Les trois points A, B , M sont alignés.
Les vecteurs \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AM} sont colinéaires.
ou
Les vecteurs \overrightarrow {BA} et \overrightarrow {BM} sont colinéaires.
ou
Les vecteurs \overrightarrow {MA} et \overrightarrow {MB} sont colinéaires.
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow {AB} et \overrightarrow {AM} sont proportionnelles c’est-à-dire que det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =0
ou
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow {BA} et \overrightarrow {BM} sont proportionnelles c’est-à-dire que det(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BM}) =0
ou
Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow {MA} et \overrightarrow {MB} sont proportionnelles c’est-à-dire que det(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}) =0 .
1)On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(5;3) \hspace{0.4cm} B(-1;6)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-5;6-3)
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-6;3)
2) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(5;3) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-5;y-3)
3) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-6y+18-3x+15
Je réduis la somme en ajoutant 18 et 15
det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-6y-3x+33
4) J’écris une équation cartésienne de la droite (AB)
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AM} est nul alors -6y-3x+33=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite (AB) admet -3x-6y+33=0 pour équation cartésienne.
METHODE N°2 :
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par A (5;3) et B (-1;6) .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(5;3) \hspace{0.4cm} B(-1;6)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-5;6-3)
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-6;3)
le vecteur \overrightarrow{AB} (-6;3) est un vecteur directeur de D .
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=-6 et a=3.
Ou encore b=6 et a=3.
Donc une équation cartésienne de D est de la forme 3x+6y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 5 et 3.
{3}\times{5}+{6}\times{3}+c=0
On résout l’équation dont l’inconnue est c.
15+18+c=0\33+c=0\c=-33
Une équation de la droite D est 3x+6y-33=0.
Remarque avec la méthode n°1, on obtient –3x-6y+33=0. Il s’agit bien sûr de la même droite D qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici -1.
Vérification à l’aide de Géogébra.
Placer le point A
Cliquer sur le deuxième onglet en haut à droite et sélectionner Point dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur le point de coordonnées (5;3).
Placer le point B
Cliquer sur le deuxième onglet en haut à droite et sélectionner Point dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur le point de coordonnées (-1;6).
Tracer la droite (AB)
Cliquer sur le troisième onglet en haut à droite et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur les points A et B. Une équation de la droite (AB) apparaît dans la colonne de gauche, cliquer droit sur l’équation et choisir l’équation ax+by+c=0.
Exemple n°2:
Cas où la droite D passe par un point A (3;1) et admet \overrightarrow{u}(2;1) pour vecteur directeur.
METHODE N°1:
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D passant par un point A (3;1) et admettant \overrightarrow{u}(2;1) pour vecteur directeur.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 vérifiée par les coordonnées (x;y) d’un point quelconque de la droite D que l’on va nommer M . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
M est situé sur la droite D
Les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.
det(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AM}) = 0
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(3;1) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-3;y-1)
2) Je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y-2-x+3
Je réduis la somme en ajoutant -2 et 3
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y-x+1
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors 2y-x+1=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -x+2y+1=0 pour équation cartésienne.
METHODE N°2:
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (3;1) et qui admet \overrightarrow{u}(2;1) pour vecteur directeur.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
Comme \overrightarrow{u}(2;1) est un vecteur directeur de D ,l’équation de D est de la forme
On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .
Donc ici -b=2 et a=1.
Ou encore b=-2 et a=1.
L’équation de D est de la forme : x-2y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 3 et 1.
3-{2}\times{1}+c=0
On résout l’équation dont l’inconnue est c.
3-2+c=0\1+c=0\c=-1
Une équation de la droite D est x-2y-1=0.
Remarque avec la méthode n°1, on obtient –x+2y+1=0. Il s’agit bien sûr de la même droite D qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici -1.
Exemple n°3:
Cas où la droite D passe par A (3;5) et est parallèle à la droite d' d’équation 2x-4y+1=0 .
METHODE N°1 :
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D passe par un point A (3;5) et est parallèle à la droite d' d’équation 2x-4y+1=0 .
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 vérifiée par les coordonnées (x;y) d’un point quelconque de la droite D que l’on va nommer M . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.
Langage des points et des droites
Langage des vecteurs
Langage des coordonnées
M est situé sur la droite D
Le vecteur \overrightarrow{AM} et un vecteur directeur \overrightarrow{u} de d'sont colinéaires.
det(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AM}) = 0
1) On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{M} y_{M}
\hspace{0.2cm} A(3;5) \hspace{0.4cm} M(x;y)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-3;y-5)
2) Je détermine les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} qui est un vecteur directeur de la droite d' en utilisant la propriété suivante :
Si D admet pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors elle admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées (-b;a)
d' a pour équation cartésienne 2x-4y+1=0 donc son vecteur directeur a pour coordonnées (4;2).
Comme les droites D et d' sont parallèles, elles ont même vecteur directeur, donc \overrightarrow{u}(4;2) est un vecteur directeur de D
3) je calcule le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM}
J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =4y-20-2x+6
Je réduis la somme en ajoutant -20 et 6
det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =4y-2x-14
3) J’écris une équation cartésienne de la droite D
Comme le déterminant des deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul alors 4y-2x+14=0. On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.
la droite D admet -2x+4y+14=0 pour équation cartésienne.
METHODE N°2 :
Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point A (3;5) et qui est parallèle à la droite d' d’équation 2x-4y+1 =0.
Il s’agit de déterminer une relation du type ax+by+c=0 .
Comme D et d' sont parallèles , elles ont même vecteur directeur. Ainsi l’équation de D débute comme celle de d'.
L’équation de D est de la forme : 2x-4y+c=0.
Pour déterminer c, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées du point A c’est-à-dire 3 et 5.
{2}\times{3}-{4}\times{5}+c=0
On résout l’équation dont l’inconnue est c.
6-20+c=0\-14+c=0\c=14
Une équation de la droite D est 2x-4y+14=0.
Remarque avec la méthode n°1, on obtient -2x+4y-14=0. Il s’agit bien sûr de la même droite D qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici -1.
Exercice
Déterminer une équation cartésienne de la droite D dans chaque cas. Vous pourrez conjecturer ou vérifier vos résultats à l’aide de la page Géogébra située après l’exercice.
1) La droite D passe par A (2;0) et par B (-3;1)
2) La droite D passe par A (-1;0) et par C (-2;2)
3) La droite D passe par B (2;5) et par C (2;3)
4) La droite D passe par A (0;4) et par B (-1;4)
5) La droite D passe par un point A (2;-1) et admet \overrightarrow{u}(1;1) pour vecteur directeur.
6) La droite D passe par un point A (\frac{2}{5};1) et admet \overrightarrow{u}(\frac{1}{2};3) pour vecteur directeur.
7) La droite D passe par un point B(-1;3) et admet \overrightarrow{u}(3;-2) pour vecteur directeur.
8) D passe par un point A (-2;5) et est parallèle à la droite d' d’équation 3x-2y+1=0 .
9) D passe par un point A (4;\frac{2}{3}) et est parallèle à la droite d' d’équation 4x+y-2=0
une page géogébra pour valider les réponses de l’exercice
Remarque : quand vous avez tracé la droite, cliquez droit sur droite(B,A) dans la colonne de gauche et sélectionner dans le menu déroulant Equation ax+by +c=0