TS. bac2022 suites exercice n°2

ANALYSE, Exercices bac 2022 : les suites, Niveau terminale spécialité

Exercice n°2 : centres étrangers 11 Mai 2022

Partie A
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbf{R}$ par
$h(x)=e^x-x$
1. Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$ .

2. Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation.

3. En déduire que :
si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0<a<b$ alors $h(a)-h(b)<0$ .

Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbf{R}$ par
$f(x)=e^x$
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthomormé..
1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d’abscisse $0$ .

Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre $T$ et $C_f$ au voisinage de $0$ .
Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $C_f$ de même abscisse.
On s’intéresse aux points d’abscisse $\frac{1}{n}$ , avec $n$ entier naturel non nul.
On considère alors la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par :
$u_n=exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1$ .

2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$ ,

$u_{n+1}-u_n=h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n})$ .

où $h$ est la fonction définie à la partie A.

b. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ .

4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $(u_n)$ .

Donner la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle l’écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$ ..

On veut calculer $lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x-x$ .

Regardons d’abord avec la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les $h(x)$ quand les $x$ deviennent très petits.

Il semble que les $h(x)$ se rapprochent de $+\infty$ .

La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, $f+g$ .

La fonction est une somme de la forme f+g

$\lim f=$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim g=$	$l’$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim f+g=$	$l+l’$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Forme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

La fonction est un produit de la forme fg

$\lim f=$	$l$	$l\ne0$	$\infty$	$0$
$\lim g=$	$l’$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\lim fg=$	$l\times l’$	$\infty$	$\infty$	Forme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté $\infty$ sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

La fonction est quotient de la forme f/g

$\lim f=$	$l$	$l\ne0$	$l$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim g=$	$l’\ne0$	$0$	$\infty$	$l$	$\infty$	$0$
$\lim\frac{f}{g}=$	$\frac{l}{l’}$	$\infty$	$0$	$\infty$	Forme indéterminée	Forme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté $\infty$ sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

La fonction est une composée gof

Si $lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b$ et $lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c$ alors $lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c$

$lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}e^x=0$ .

lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}-x=+\infty

Par somme, $lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x-x=+\infty$ .

Donc $lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}h(x)=+\infty$

u_n=exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1

On veut calculer $\lim_{n\to{+\infty}}u_n$

On répond à la question suivante : $u_n$ est-elle une somme, un produit ou un quotient ?

C’est la somme de trois termes :

$exp(\frac{1}{n})$ , $-\frac{1}{n}$ et $-1$ .

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0

Donc $\lim_{n\to{+\infty}}exp(\frac{1}{n})=1$

\lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n}=0

$\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1$ car il ne dépend pas de $n$

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme , colonne 3 puis colonne 3.

Le terme général est une somme

$\lim_{n\to{+\infty}}u_n=$	$l$	$l$	$l$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim_{n\to{+\infty}}v_n=$	$l’$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=$	$l+l’$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Forme indéterminée

Le terme général est un produit

$\lim_{n\to{+\infty}} u_n=$	$l$	$l\ne0$	$\infty$	$0$
$\lim_{n\to{+\infty}} v_n=$	$l’$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=$	$l\times l’$	$\infty$	$\infty$	Forme indéterminée

Dans le tableau, on a noté $\infty$ sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Le terme général est quotient

$\lim_{n\to{+\infty}}u_n=$	$l$	$l\ne0$	$l$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim_{n\to{+\infty}}v_n=$	$l’\ne0$	$0$	$\infty$	$l$	$\infty$	$0$
$\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=$	$\frac{l}{l’}$	$\infty$	$0$	$\infty$	Forme indéterminée	Forme indéterminée

Remarque

Dans le tableau, on a noté $\infty$ sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

D’après le théorème sur la somme : $\lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1=0$

Donc $\lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=0$

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

Fonction	Dérivée
$v\circ u$	$(v’\circ u)\times u’$
$u^2$	$2u’u$
$u^3$	$3u’u^2$
$u^n$	$nu’u^{n-1}$
$\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
$\sqrt{u}$	$\frac{u’}{2\sqrt{u}}$
$cos(u)$	$-u’sin(u)$
$sin(u)$	$u’cos(u)$
$e^{u}$	$u’e^{u}$
$ln(u)$	$\frac{u’}{u}$
$\frac{1}{u^{n}}$	$-\frac{nu’}{u^{n+1}}$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
puissance n	$f(x)=x^n$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=nx^{n-1}$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
exponentielle	$f(x)=e^x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=e^x$
sinus	$f(x)=sin(x)$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=cos(x)$
cosinus	$f(x)=cos(x)$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=-sin(x)$
logarithme népérien	$f(x)=ln(x)$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{x}$

TS. bac2022 suites exercice n°2

Exercice n°2 : centres étrangers 11 Mai 2022

Dérivées et opérations

Dérivées et fonctions composées

Dérivées des fonctions de référence