Partie A
Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction f et de sa fonction dérivée, notée f', toutes deux définies sur ]3;+\infty[ .
1. Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.
2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation f(x)=3 .
3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction f .
Partie B
1. Justifier que la quantité ln(x^2-x-6) est bien définie pour les valeurs x de l’intervalle ]3;+\infty[ , que l’on nommera I dans la suite.
2. On admet que la fonction f de la Partie A est définie par f(x)=ln(x^2-x-6) sur I.
Calculer les limites de la fonction f aux deux bornes de l’intervalle I.
En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction f sur I.
3. a. Calculer f'(x) pour tout x appartenant à I
3.b. Étudier le sens de variation de la fonction f sur I.
Dresser le tableau des variations de la fonction f en y faisant figurer les limites
aux bornes de I.
4. a. Justifier que l’équation f(x)=3 admet une unique solution \alpha sur l’intervalle ]5;6[.
4.b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.
5. a. Justifier que f"(x)=\frac{-2x^2+2x-13}{(x^2-x-6)^2}.
5.b. Étudier la convexité de la fonction f sur I.