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Fonctions : déterminer le(s) antécédent(s) éventuel(s) d’un nombre. Exercices .

Sommaire

Conjecturer graphiquement le ou les antécédent(s) éventuel(s) d’un nombre à l’aide de Géogébra.

Dans les exercices de cet article, vous avez la possibilité avant de vous lancer dans les calculs de faire une conjecture graphique à l’aide de la page Géogébra ci-dessous.

Vous cherchez par exemple les antécédents de 3 dans l’exercice n°1. Saisir  f(x)=-2x+3 dans la colonne de gauche , valider puis saisir  y=3 dans la colonne de gauche en dessous. La courbe et la droite s’affichent dans le repère.

Il ne reste plus qu’à lire le ou les abscisse(s) des points d’intersections.

Remarque : on peut cliquer sur le deuxième onglet en haut en partant de la gauche et on sélectionne Intersection dans le menu déroulant. Ensuite dans le repère, on clique sur la droite et la courbe de la fonction  f, les points d’intersections éventuels apparaissent. Il ne reste plus qu’à lire l’abscisse ou les abscisses de ces  points.

Exercice n°1

 Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=-2x+4 .

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de 0 , \frac{1}{3} et 2 

correction antécédent de 0
correction antécédent de \frac{1}{3}
correction antécédent de 2

Exercice n°2

 Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\frac{2}{5}x-1 .

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -3 , 0 et 4 

correction antécédent de -3
correction antécédent de 0
correction antécédent de 4

Exercice n°3

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(2x-1)^{2}-9 .

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -8 , 0 et 7 

correction antécédent de -8
correction antécédent de 0
correction antécédent de 7

Exercice n°4

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(x-4)^{2}-4 .

  1. Déterminer la forme développée et réduite de f(x) .
correction

2. Déterminer la forme factorisée de f(x) .

correction

3. En utilisant l’une des trois formes suivantes

(e) f(x)=(x-4)^{2}-4

(d) f(x)=x^{2}-8x+12

(f) f(x)=(x-6)(x-2)

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -4, -3,  0 et 12 

méthode
correction antécédent(s) de -4
correction antécédent(s) de -3
correction antécédent(s) de 0
correction antécédent(s)de 12

Exercice n°5

 Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(2x-1)^{2}-16 .

  1. Déterminer la forme développée et réduite de f(x) .
correction

2. Déterminer la forme factorisée de f(x) .

correction

3. En utilisant l’une des trois formes suivantes

(e) f(x)=(2x-1)^{2}-16

(d) f(x)=4x^{2}-4x-15

(f) f(x)=(2x-5)(2x+3)

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -15, -7,  0 et 9 

méthode
correction antécédent(s) de -15
correction antécédent(s) de -7
correction antécédent(s) de 0
correction antécédent(s) de 9

Exercice n°6

 Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} privé de -1 par f(x)=\frac{3x-1}{x+1} .

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -1, 1,  2 et 6 

correction antécédent(s) de -1
correction antécédent(s) de 1
correction antécédent(s) de 2
correction antécédent(s) de 6

Exercice n°7 

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} privé de 2 par f(x)=\frac{-5x+1}{2x-4} .

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -4, -2,  \frac{1}{2} et 1 

correction antécédent(s) de -4
correction antécédent(s) de -2
correction antécédent(s) de \frac{1}{2}
correction antécédent(s) de 1

Exercice n°8

Soit la fonction f définie sur [-\frac{3}{2};+\infty[  par f(x)=\sqrt{2x+3} .

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de 0, 2,  \frac{3}{4} et \sqrt{7} 

correction antécédent(s) de 0
correction antécédent(s) de 2
correction antécédent(s) de \frac{3}{4}
correction antécédent(s) de \sqrt{7}

Valider vos réponses à l’aide de l’application calcul formel de Géogébra.

Dans les exercices de cet article, vous avez la possibilité de vérifier vos calculs  l’aide de la page Géogébra ci-dessous.

Vous cherchez par exemple les antécédents de 0 dans l’exercice n°1. Saisir  -2x+4=0 sur la ligne n°1 et cliquer sur le 7ième onglet en haut à partir de la gauche. S’affiche alors Résoudre {x=2}.

©2020 – Math’O karé SAS

On veut déterminer les antécédents de 0 par la fonction f définie par f(x)=-2x+4.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=0\\\hspace{0.6 cm}-2x+4=0

 Dans le membre de gauche 4 n’est pas à sa place, j’enlève 4 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}-2x=0-4\\\hspace{0.2 cm}-2x=-4

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par -2 de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=\frac{-4}{-2}\\\hspace{1.2 cm}x=2

L’antécédent de 0 est 2.

On veut déterminer les antécédents de \frac{1}{3} par la fonction f définie par f(x)=-2x+4.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=\frac{1}{3}\\\hspace{0.6 cm}-2x+4=\frac{1}{3}

 Dans le membre de gauche 4 n’est pas à sa place, j’enlève 4 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}-2x=\frac{1}{3}-4

Pour calculer \frac{1}{3}-4 , il faut mettre au même dénominateur ici, 3.

\hspace{0.2 cm}-2x=\frac{1}{3}-{4}\times{\frac{3}{3}}\\\hspace{0.2 cm}-2x=\frac{1}{3}-\frac{12}{3}\\\hspace{0.2 cm}-2x=-\frac{11}{3}

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par -2 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}x=\frac{-\frac{11}{3}}{-2}

\hspace{0.2 cm}x=\frac{\frac{11}{3}}{2}

Diviser par 2 revient à multiplier par \frac{1}{2}

\hspace{0.2 cm}x={\frac{11}{3}}\times{\frac{1}{2}}

\hspace{0.2 cm}x=\frac{11}{6}

L’antécédent de \frac{1}{3} est \frac{11}{6} .

On veut déterminer les antécédents de 2 par la fonction f définie par f(x)=-2x+4.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=2\\\hspace{0.6 cm}-2x+4=2

 Dans le membre de gauche 4 n’est pas à sa place, j’enlève 4 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}-2x+4-4=2-4\\\hspace{1.5 cm}-2x=-2

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par -2 de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=\frac{-2}{-2}\\\hspace{1.2 cm}x=1

L’antécédent de 2 est 1.

On veut déterminer les antécédents de -3 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2}{5}x-1.

On résout l’équation : 

f(x)=-3\\\frac{2}{5}x-1=-3

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

\frac{2}{5}x=-3+1\\\frac{2}{5}x=-2

 Dans le membre de gauche \frac{2}{5} n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par \frac{2}{5} de chaque côté.

x=\frac{-2}{\frac{2}{5}}

Diviser par \frac{2}{5} revient à multiplier par l’inverse \frac{5}{2}

x={-2}\times{\frac{5}{2}}\\x=-5

L’antécédent de -3 est -5.

On veut déterminer les antécédents de 0 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2}{5}x-1.

On résout l’équation : 

f(x)=0\\\frac{2}{5}x-1=0

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

\frac{2}{5}x=0+1\\\frac{2}{5}x=1

 Dans le membre de gauche \frac{2}{5} n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par \frac{2}{5} de chaque côté.

x=\frac{1}{\frac{2}{5}}

Diviser par \frac{2}{5} revient à multiplier par l’inverse \frac{5}{2}

x={1}\times{\frac{5}{2}}\\x=\frac{5}{2}

L’antécédent de 0 est \frac{5}{2}.

On veut déterminer les antécédents de 4 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2}{5}x-1.

On résout l’équation : 

f(x)=4\\\frac{2}{5}x-1=4

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

\frac{2}{5}x=4+1\\\frac{2}{5}x=5

 Dans le membre de gauche \frac{2}{5} n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par \frac{2}{5} de chaque côté.

x=\frac{5}{\frac{2}{5}}

Diviser par \frac{2}{5} revient à multiplier par l’inverse \frac{5}{2}

x={5}\times{\frac{5}{2}}\\x=\frac{25}{2}

L’antécédent de 4 est \frac{25}{2}.

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de -8 par f revient à résoudre l’équation 

(2x-1)^{2}-9=-8. Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=-8

(2x-1)^{2}-9=-8

1.Je  fais  tout passer à gauche,   zéro apparaît à droite.

-8 n’est pas à sa place, j’ajoute   8 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-9+8=0

(2x-1)^{2}-1=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-1

a^{2}=(2x-1)^{2} \hspace{1cm}a=2x-1

b^{2}=1\hspace{1.1cm}b=1

Je remplace a et b par 2x-1 et 1 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-1=(2x-1-1)(2x-1+1)

(2x-1-1)(2x-1+1)=0\\(2x-2)(2x)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-2) ;  2x. L’un ou l’autre est nul.

2x-2=0 ou 2x=0\\2x=2 ou x=\frac{0}{2}\\x=\frac{2}{2} ou x=0\\x=1 ou x=0

Les antécédents de -8 sont 1 et 0 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 0 par f revient à résoudre l’équation 

(2x-1)^{2}-9=0. Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=0

(2x-1)^{2}-9=0

1.Je  ne fais  rien passer à gauche,   zéro est déjà  à droite.

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-9

a^{2}=(2x-1)^{2} \hspace{1cm}a=2x-1

b^{2}=9\hspace{1.1cm}b=3

Je remplace a et b par 2x-1 et 3 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-9=(2x-1-3)(2x-1+3)

(2x-1-3)(2x-1+3)=0\\(2x-4)(2x+2)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-4) ;  2x+2. L’un ou l’autre est nul.

2x-4=0 ou 2x+2=0\\2x=4 ou 2x=-2\\x=\frac{4}{2} ou x=\frac{-2}{2}\\x=2 ou x=-1

Les antécédents de 0 sont -1 et 2 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 7 par f revient à résoudre l’équation 

(2x-1)^{2}-9=7. Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=7

(2x-1)^{2}-9=7

1.Je fais  tout passer à gauche,   zéro apparaît  à droite.

7 n’est pas à sa place, j’enlève 7 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-9-7=0

(2x-1)^{2}-16=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-9

a^{2}=(2x-1)^{2} \hspace{1cm}a=2x-1

b^{2}=16\hspace{1.1cm}b=4

Je remplace a et b par 2x-1 et 4 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-16=(2x-1-4)(2x-1+4)

(2x-1-4)(2x-1+4)=0\\(2x-5)(2x+3)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-5) ;  2x+3. L’un ou l’autre est nul.

2x-5=0 ou 2x+3=0\\2x=5 ou 2x=-3\\x=\frac{5}{2} ou x=-\frac{3}{2}

Les antécédents de 7 sont \frac{5}{2} et -\frac{3}{2} 

Pour obtenir la forme développée et réduite de  f(x)=(x-4)^{2}-4, on doit d’abord développer (x-4)^{2}

J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}

J’écris b=4 donc b^{2}=16

Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 4 .

2ab=2\times x\times 4=8x

Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

C’est-à-dire:

(x-4)^{2}=x^{2}-8x+16

f(x)=(x-4)^{2}-4

f(x)=x^{2}-8x+16-4

Il faut ensuite réduire.

f(x)=x^{2}-8x+12

Pour factoriser f(x)=(x-4)^{2}-4 , on utilise la procédure suivante.

a^{2}=(x-4)^{2}  donc a=x-4

b^{2}=4 donc b=2

Pour finir, il suffit de remplacer a, b , a^{2},  et b^{2} par leurs valeurs dans :

a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)

(x-4)^{2}-4 = (x-4-2)(x-4+2)

f(x)=(x-4)^{2}-4

f(x)=(x-4-2)(x-4+2)

f(x)=(x-6)(x-2)

(e) f(x)=(x-4)^{2}-4

(d) f(x)=x^{2}-8x+12

(f) f(x)=(x-6)(x-2)

La forme adéquate est celle qui permettra ensuite de pouvoir factoriser.

Par exemple pour résoudre f(x)=0, la forme factorisée est la plus adaptée, on applique directement la règle du produit nul.

Par exemple pour résoudre f(x)=12, la forme développée est la plus adaptée. Après avoir réduit 12-12, on pourra factoriser par x ou un multiple de x.

Pour les autres équations, on utilise la forme (e). 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de -4 par f revient à résoudre l’équation 

f(x)=-4. Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

Quelle forme doit-on choisir ? La plus appropriée est la forme de l’énoncé (e) .

f(x)=-4

(x-4)^{2}-4=-4

Je fais tout passer à gauche,   zéro apparaît à droite.

-4 n’est pas à sa place, j’ajoute 4 de chaque côté.

(x-4)^{2}-4+4=0

(x-4)^{2}=0

Le seul nombre dont le carré est nul est zéro.

x-4=0

x=4

L’ antécédent de -4 est 4.

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de -3 . Il faut résoudre f(x)=-3.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (e) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (x-4)^{2}-4=-3 est du second degré car si on développe (x-4)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

(x-4)^{2}-4=-3

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

-3 n’est pas à sa place, j’ajoute 3 de chaque côté.

(x-4)^{2}-4+3=0\\(x-4)^{2}-1=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (x-4)^{2}-1

a^{2}=(x-4)^{2} \hspace{1cm}a=x-4

b^{2}=1\hspace{1cm}b=1

Je remplace a et b par (x-4) et 1 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(x-4)^{2}-1=((x-4)-1)((x-4)+1)

\hspace{2.1cm}=(x-5)(x-3)

((x-4)-1)((x-4)+1)=0\\(x-5)(x-3)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-5) ;  (x-3). L’un ou l’autre des facteurs est nul.

x-5=0 ou x-3=0

Dans l’équation x-5=0 le -5 n’est pas à sa place, j’ajoute 5 de chaque côté.

Dans l’équation x-3=0 le -3 n’est pas à sa place, j’ajoute  3 de chaque côté.

x=5 ou x=3

Les antécédents de-3 sont 3 et  5.

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 0 . Il faut résoudre f(x)=0.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (f) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (x-6)(x-2)=0 est du second degré car si on développe (x-6)(x-2) le plus grand exposant de  x est 2.

(x-6)(x-2)=0

1.Je ne fais rien passer à gauche, zéro est déjà à droite.

2. Je ne factorise pas le membre de gauche.

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-6) ;  (x-2). L’un ou l’autre des facteurs est nul.

x-6=0 ou x-2=0\\x=6 ou x=2

Les antécédents de 0 sont 2 et 6.    

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 12 . Il faut résoudre f(x)=12.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (d) de l’énoncé.

L’équation à résoudre x^{2}-8x+12=12 est du second degré, le plus grand exposant de  x est 2.

x^{2}-8x+12=12

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

12 n’est pas à sa place, j’enlève 12 de chaque côté.

x^{2}-8x+12-12=0\\x^{2}-8x=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il y a un facteur commun, c’est x.

x^{2}=x\times x

8x=x\times 8

x(x-8)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs x ;  x-8. L’un ou l’autre des facteurs est nul.

x=0 ou x-8=0\\x=0 ou x=8

Les antécédents de12 sont 0 et  8.

Pour obtenir la forme développée et réduite de  f(x)=(2x-1)^{2}-16, on doit d’abord développer (2x-1)^{2}

J’écris a=2x donc a^{2}=4x^{2}

J’écris b=1 donc b^{2}=1

Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs 2x et 1 .

2ab=2\times 2x\times 1=4x

Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

C’est-à-dire:

(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1

f(x)=(2x-1)^{2}-16

f(x)=4x^{2}-4x+1-16

Il faut ensuite réduire.

f(x)=4x^{2}-4x-15

Pour factoriser f(x)=(2x-1)^{2}-16 , on utilise l’identité remarquable n°3.

a^{2}=(2x-1)^{2}  donc a=2x-1

b^{2}=16 donc b=4

Pour finir, il suffit de remplacer a, b , a^{2},  et b^{2} par leurs valeurs dans :

a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-16 = (2x-1-4)(2x-1+4)

f(x)=(2x-1)^{2}-16

f(x)=(2x-1-4)(2x-1+4)

f(x)=(2x-5)(2x+3)

(e) f(x)=(2x-1)^{2}-16

(d) f(x)=4x^{2}-4x-15

(f) f(x)=(2x-5)(2x+3)

La forme adéquate est celle qui permettra ensuite de pouvoir factoriser.

Par exemple pour résoudre f(x)=0, la forme factorisée est la plus adaptée, on applique directement la règle du produit nul.

Par exemple pour résoudre f(x)=-15, la forme développée est la plus adaptée. Après avoir réduit -15+15, on pourra factoriser par x ou un multiple de x.

Pour les autres équations, on utilise la forme (e). 

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de -15 . Il faut résoudre f(x)=-15.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (d) de l’énoncé.

L’équation à résoudre 4x^{2}-4x-15=-15 est du second degré car  le plus grand exposant de  x est 2.

4x^{2}-4x-15=-15

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

-15 n’est pas à sa place, j’ajoute 15 de chaque côté.

4x^{2}-4x-15+15=0\\4x^{2}-4x=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il y a un facteur commun.

4x^{2}=4x\times x

4x=4x\times 1

4x(x-1)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs 4x ;  x-1. L’un ou l’autre des facteurs est nul.

4x=0 ou x-1=0\\x=\frac{0}{4} ou x=1\\x=0 ou x=1

Les antécédents de-15 sont 0 et  1.

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de -7 . Il faut résoudre f(x)=-7.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (e) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (2x-1)^{2}-16=-7 est du second degré car si on développe (2x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

(2x-1)^{2}-16=-7

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

-7 n’est pas à sa place, j’ajoute 7 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-16+7=0\\(2x-1)^{2}-9=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-9

a^{2}=(2x-1)^{2} \hspace{1cm}a=2x-1

b^{2}=9\hspace{1cm}b=3

Je remplace a et b par (2x-1) et 3 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-9=((2x-1)-3)((2x-1)+3)

\hspace{2.1cm}=(2x-4)(2x+2)

((2x-1)-3)((2x-1)+3)=0\\(2x-4)(2x+2)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-4) ;  2x+2. L’un ou l’autre des facteurs est nul.

2x-4=0 ou 2x+2=0\\2x=4 ou 2x=-2\\x=\frac{4}{2} ou x=-\frac{2}{2}\\x=2 ou x=-1

Les antécédents de-7 sont -1 et  2.

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 0 . Il faut résoudre f(x)=0.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (f) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (2x-5)(2x+3)=0 est du second degré car si on développe (2x-5)(2x+3) le plus grand exposant de  x est 2.

(2x-5)(2x+3)=0

1.Je ne fais rien passer à gauche, zéro est déjà à droite.

2. Je ne factorise pas le membre de gauche.

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-5) ;  (2x+3). L’un ou l’autre des facteurs est nul.

2x-5=0 ou 2x+3=0\\2x=5 ou 2x=-3\\x=\frac{5}{2} ou x=\frac{-3}{2}

Les antécédents de 0 sont \frac{5}{2} et -\frac{3}{2}.    

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 9 . Il faut résoudre f(x)=9.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (e) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (2x-1)^{2}-16=9 est du second degré car si on développe (2x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

(2x-1)^{2}-16=9

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

9 n’est pas à sa place, j’enlève 9 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-16-9=0\\(2x-1)^{2}-25=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-25

a^{2}=(2x-1)^{2} \hspace{1cm}a=2x-1

b^{2}=25\hspace{1cm}b=5

Je remplace a et b par (2x-1) et 5 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-25=((2x-1)-5)((2x-1)+5)

\hspace{2.1cm}=(2x-6)(2x+4)

((2x-1)-5)((2x-1)+5)=0\\(2x-6)(2x+4)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-6) ;  2x+4. L’un ou l’autre des facteurs est nul.

2x-6=0 ou 2x+4=0\\2x=6 ou 2x=-4\\x=\frac{6}{2} ou x=-\frac{4}{2}\\x=3 ou x=-2

Les antécédents de9 sont -2 et  3.

On veut déterminer les antécédents de -1 par la fonction f définie par f(x)=\frac{3x-1}{x+1}.

On résout l’équation : 

f(x)=-1\\\frac{3x-1}{x+1}=-1

On fait le produit en croix

\frac{3x-1}{x+1}=\frac{-1}{1}

{(3x-1)}\times{1}={(x+1)}\times{(-1)}\\3x-1=-x-1

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

3x=-x-1+1\\3x=-x

 Dans le membre de droite  -x n’est pas à sa place. J’ajoute  x de chaque côté.

3x+x=0\\4x=0

 Dans le membre de gauche  4 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par   4 de chaque côté.

x=\frac{0}{4}\\x=0

 L’antécédent   de  -1 est  0

On veut déterminer les antécédents de 1 par la fonction f définie par f(x)=\frac{3x-1}{x+1}.

On résout l’équation : 

f(x)=1\\\frac{3x-1}{x+1}=1

On fait le produit en croix

\frac{3x-1}{x+1}=\frac{1}{1}

{(3x-1)}\times{1}={(x+1)}\times{1}\\3x-1=x+1

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

3x=x+1+1\\3x=x+2

 Dans le membre de droite  x n’est pas à sa place. J’enlève  x de chaque côté.

3x-x=2\\2x=2

 Dans le membre de gauche  2 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par   2 de chaque côté.

x=\frac{2}{2}\\x=1

 L’antécédent   de  1 est  1

On veut déterminer les antécédents de 2 par la fonction f définie par f(x)=\frac{3x-1}{x+1}.

On résout l’équation : 

f(x)=2\\\frac{3x-1}{x+1}=2

On fait le produit en croix

\frac{3x-1}{x+1}=\frac{2}{1}

{(3x-1)}\times{1}={(x+1)}\times{2}\\3x-1=2x+2

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

3x=2x+2+1\\3x=2x+3

 Dans le membre de droite  2x n’est pas à sa place. J’enlève  2x de chaque côté.

3x-2x=3\\x=3

 L’antécédent   de  2 est  3

On veut déterminer les antécédents de 6 par la fonction f définie par f(x)=\frac{3x-1}{x+1}.

On résout l’équation : 

f(x)=6\\\frac{3x-1}{x+1}=6

On fait le produit en croix

\frac{3x-1}{x+1}=\frac{6}{1}

{(3x-1)}\times{1}={(x+1)}\times{6}\\3x-1=6x+6

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

3x=6x+6+1\\3x=6x+7

 Dans le membre de droite  6x n’est pas à sa place. J’enlève  6x de chaque côté.

3x-6x=7\\-3x=7

Dans le membre de gauche  -3 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit.  Je divise par -3 de chaque côté.

x=-\frac{7}{3}

L’antécédent   de  6 est  -\frac{7}{3}

On veut déterminer les antécédents de -4 par la fonction f définie par f(x)=\frac{-5x+1}{2x-4}.

On résout l’équation : 

f(x)=-4\\\frac{-5x+1}{2x-4}=-4

On fait le produit en croix

\frac{-5x+1}{2x-4}=\frac{-4}{1}

{(-5x+1)}\times{1}={(2x-4)}\times{(-4)}\\-5x+1=-8x+16

 Dans le membre de gauche 1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

-5x=-8x+16-1\\-5x=-8x+15

 Dans le membre de droite  -8x n’est pas à sa place. J’ajoute  8x de chaque côté.

-5x+8x=15\\3x=15

 Dans le membre de gauche  3 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par   3 de chaque côté.

x=\frac{15}{3}\\x=5

 L’antécédent   de  -4 est  5

On veut déterminer les antécédents de -2 par la fonction f définie par f(x)=\frac{-5x+1}{2x-4}.

On résout l’équation : 

f(x)=-2\\\frac{-5x+1}{2x-4}=-2

On fait le produit en croix

\frac{-5x+1}{2x-4}=\frac{-2}{1}

{(-5x+1)}\times{1}={(2x-4)}\times{(-2)}\\-5x+1=-4x+8

 Dans le membre de gauche 1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

-5x=-4x+8-1\\-5x=-4x+7

 Dans le membre de droite  -4x n’est pas à sa place. J’ajoute  4x de chaque côté.

-5x+4x=7\\-x=7\\x=-7

 L’antécédent   de  -2 est  -7

On veut déterminer les antécédents de \frac{1}{2} par la fonction f définie par f(x)=\frac{-5x+1}{2x-4}.

On résout l’équation : 

f(x)=\frac{1}{2}\\\frac{-5x+1}{2x-4}=\frac{1}{2}

On fait le produit en croix

\frac{-5x+1}{2x-4}=\frac{1}{2}

{(-5x+1)}\times{2}={(2x-4)}\times{1}\\-10x+2=2x-4

 Dans le membre de gauche 2 n’est pas à sa place, j’enlève 2 de chaque côté.

-10x=2x-4-2\\-10x=2x-6

 Dans le membre de droite  2x n’est pas à sa place. J’enlève  2x de chaque côté.

-10x-2x=-6\\-12x=-6

Dans le membre de gauche  -12 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par -12 de chaque côté.

x=\frac{-6}{-12}\\x=\frac{1}{2}

 L’antécédent   de  \frac{1}{2} est  \frac{1}{2}

On veut déterminer les antécédents de 1 par la fonction f définie par f(x)=\frac{-5x+1}{2x-4}.

On résout l’équation : 

f(x)=1\\\frac{-5x+1}{2x-4}=1

On fait le produit en croix

\frac{-5x+1}{2x-4}=\frac{1}{1}

{(-5x+1)}\times{1}={(2x-4)}\times{1}\\-5x+1=2x-4

 Dans le membre de gauche 1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

-5x=2x-4-1\\-5x=2x-5

 Dans le membre de droite  2x n’est pas à sa place. J’enlève  2x de chaque côté.

-5x-2x=-5\\-7x=-5

Dans le membre de gauche  -7 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par -7 de chaque côté.

x=\frac{-5}{-7}\\x=\frac{5}{7}

 L’antécédent   de  1 est  \frac{5}{7}

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 0 par f revient à résoudre l’équation  \sqrt{2x+3}=0 .

0 est un nombre positif donc cette équation admet une solution.

J’élève les deux membres au carré.

\sqrt{2x+3}^{2}=0^{2}\\2x+3=0

C’est une équation du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

3 n’est pas à sa place, je soustrais 3 de chaque côté.

2x=-3

2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

x=-\frac{3}{2}

L’antécédent de 0 est -\frac{3}{2}

 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 2 par f revient à résoudre l’équation  \sqrt{2x+3}=2 .

2 est un nombre positif donc cette équation admet une solution.

J’élève les deux membres au carré.

\sqrt{2x+3}^{2}=2^{2}\\2x+3=4

C’est une équation du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

3 n’est pas à sa place, je soustrais 3 de chaque côté.

2x=4-3\\2x=1

2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

x=\frac{1}{2}

L’antécédent de 2 est \frac{1}{2}

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de \frac{3}{4} par f revient à résoudre l’équation 

\sqrt{2x+3}=\frac{3}{4} .

2 est un nombre positif donc cette équation admet une solution.

J’élève les deux membres au carré.

\sqrt{2x+3}^{2}=(\frac{3}{4})^{2}\\2x+3=\frac{9}{16}

C’est une équation du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

3 n’est pas à sa place, je soustrais 3 de chaque côté. Je dois mettre au même dénominateur, ici 16.

2x=\frac{9}{16}-{3}\times{\frac{16}{16}}\\2x=\frac{9}{16}-\frac{48}{16}\\2x=-\frac{39}{16}

2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

x=-\frac{\frac{39}{16}}{2}

Diviser par 2 revient à multiplier par \frac{1}{2}

x=-{\frac{39}{16}}\times{\frac{1}{2}}\\x=-\frac{39}{32}

L’antécédent de \frac{3}{4} est -\frac{39}{32}

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de \sqrt{7} par f revient à résoudre l’équation 

\sqrt{2x+3}=\sqrt{7} .

\sqrt{7} est un nombre positif donc cette équation admet une solution.

J’élève les deux membres au carré.

\sqrt{2x+3}^{2}=\sqrt{7}^{2}\\2x+3=7

C’est une équation du premier degré, il faut mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.

3 n’est pas à sa place, je soustrais 3 de chaque côté.

2x=7-3\\2x=4

2 n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.

x=\frac{4}{2}\\x=2

L’antécédent de \sqrt{7} est 2

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.