Sommaire
Activité d’approche
ABC est un triangle quelconque.
I et J sont deux points du plan.
- Construire le triangle A'B'C' , symétrique du triangle ABC par la symétrie centrale s_{I} de centre I.
2. Construire le triangle A"B"C" , le symétrique du triangle A'B'C' par la symétrie centrale s_{J} de centre J.
3. Compléter les pointillés : Pour obtenir le point A", je pars du point A , je me déplace suivant la direction de la droite (…) dans le sens du point … vers le point … et d’une distance égale à …
4. Synthèse : On admet qu’on obtient B" et C" à partir B et C de la même façon.
Nous dirons que A, B et C se transforment en A", B" et C" par la translation de vecteur 2\overrightarrow{IJ} qu’on notera t_{2\overrightarrow{IJ}} .
Notion de vecteur
Définition
A la translation qui transforme M en M' , on associe le vecteur noté \overrightarrow{MM'}.
Le vecteur \overrightarrow{MM'} a pour direction , la direction de la droite (MM').
Le vecteur \overrightarrow{MM'} a pour sens , le sens de M vers M'.
Le vecteur \overrightarrow{MM'} a pour longueur ( on dit plutôt norme que l’on note \left\|\overrightarrow{MM'}\right\| ) , la longueur MM'.
Exercice n°1
ABFD est un parallélogramme.
B est le milieu de [AC].
D est le milieu de [AE].
- Quelle est l’image de B par la translation de vecteur \overrightarrow{AB} ?
2. Quelle est l’image de D par la translation de vecteur \overrightarrow{AB} ?
3. Compléter les pointillés t_{\overrightarrow{ED}}(D)=…
4. Compléter les pointillés t_{\overrightarrow{ED}}(F)=…
Vecteurs égaux
Voici 4 caractérisations de l’égalité vectorielle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}
Caractérisation n°1:
D est l’image de C par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}
Caratérisation n°2:
ABDC est un parallélogramme
Caractérisation n°3 :
[AD] et [BC] ont même milieu.
Caractérisation n°4:
(AB) et (CD) sont parallèles.
On va de A vers B comme on va de C vers D.
AB=CD
Exercice n°2
ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en O.
- Citer un vecteur égal au vecteur \overrightarrow{AB}.
2. Citer un vecteur égal au vecteur \overrightarrow{AD}.
3.a. Placer I et J les milieux respectifs des segments [AB] et[BC]
3.b. Citer deux vecteurs égaux au vecteur \overrightarrow{IJ}.
4.a. Placer K et L les milieux respectifs des segments [CD] et[DA]
4.b. Citer deux vecteurs égaux au vecteur \overrightarrow{LK}.
5. Démontrer que IJKL est un parallélogramme.
Méthode : placer un point défini par une égalité vectorielle
Méthode
pour placer un point M défini par une égalité vectorielle du type \overrightarrow{AM}=\vec{u}.
A partir du point A , je construis un vecteur égal au vecteur \vec{u}. J’obtiens alors le point M .
Exercice n°3
ABC est un triangle équilatéral.
- Placer le point M tel que \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CA}
2. Placer le point N tel que \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BA}
3. Placer le point P tel que \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{CB}
Coordonnées d’un vecteur
définition
Soit (0, \vec{i},\vec{j}) un repère orthonormé du plan
On dit que M a pour coordonnées x et y , on note M(x;y) si \overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}.
De plus si \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} alors \vec{u} a pour coordonnées x et y , on note \vec{u}(x;y).
Exemple n°1
Pour déterminer graphiquement les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OA}.
Je veux aller de O vers A, je me déplace horizontalement vers la droite de 4 graduations à partir du point O.
Puis je me déplace vers le haut de 2 graduations et j’arrive au point A.
Exemple n°2
Pour déterminer graphiquement les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OB}.
Je veux aller de O vers B, je me déplace horizontalement vers la gauche de 3 graduations à partir du point O.
Puis je me déplace vers le haut de 3 graduations et j’arrive au point B.
Exemple n°3
Pour déterminer graphiquement les coordonnées du vecteur \vec{u}.
Je veux aller de l’origine du vecteur \vec{u} jusqu’à l’extrémité de \vec{u} , je me déplace horizontalement vers la gauche de 5 graduations à partir du point O.
Puis je me déplace vers le bas de 2 graduations et j’arrive à l’extrémité de \vec{u}.
vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont égales.
coordonnées d’un vecteur d’origine A et d’extrémité B
Propriété : Si A(x_{A},y_{A}) et B(x_{B},y_{B}) alors \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})
Exercice n°4
Soient les points A(-1;0), B(0;3), C(5;2), D(4;-1)
- Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC}. Que constatez-vous ? Etait-ce prévisible ?
2. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{BC}. Que constatez-vous ? Etait-ce prévisible ?
3a. Calculer les coordonnées de G milieu de [BD].
3b. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AG} et \overrightarrow{GC}. Que constatez-vous ? Etait-ce prévisible ?
Exercice n°5
Soient les points A(1;2), B(-2;1), C(1;0)
- Placer le point M défini par l’égalité vectorielle : \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC} et lire graphiquement ses coordonnées .
2. a. On note (x;y)les coordonnées du point M, exprimer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}en fonction de x et y .
2.b. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BC}.
2.c. En utilisant le fait que les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BC} sont égales, déterminer les coordonnées de M.
3) Calculer les distances AB, BC, CM et MA. En déduire la nature du quadrilatère ABMC.