2. Somme de vecteurs

Sommaire

 Activité d’approche

A, B, C sont trois points du plan. \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs.

  1. Construire A’, B’, C’  les images de A, B, C par la translation de vecteur \vec{u}.

Cliquer sur le troisième onglet en haut, à partir de la gauche et sélectionner Représentant dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point  A et sur le vecteur \overrightarrow{u}. Le point A’ s’affiche.

2. Construire A", B", C"  les images de A’, B’, C’ par la translation de vecteur \vec{v} .

3. Pour obtenir  A", B", C"  à partir de A, B, C on peut utiliser la translation d’un vecteur \vec{w}. Dessiner ce vecteur \vec{w} sur la figure.

Cliquer sur le troisième onglet en haut, à partir de la gauche et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point  A et sur le point A". Le vecteur \overrightarrow{AA"} s’affiche.

4. Synthèse :Pour obtenir  A", B", C"  à partir de A, B, C nous avons tout d’abord utiliser deux translations l’une après l’autre.

Puis nous avons vu que l’on peut utiliser la translation d’un vecteur \vec{w}.

La somme des vecteurs \vec{u} et \vec{v} notée \vec{u}+\vec{v} est égale à \vec{w}. On note \vec{u}+\vec{v}=\vec{w}

Remarque : \overrightarrow{AA’}+ \overrightarrow{A’A"}= \overrightarrow{AA"}\\\hspace{1.4cm} \overrightarrow{BB’}+ \overrightarrow{B’B"}= \overrightarrow{BB"}\\\hspace{1.4cm} \overrightarrow{CC’}+ \overrightarrow{C’C"}= \overrightarrow{CC"}

 Somme de deux vecteurs

Définition 

Si on enchaîne deux translations de vecteurs \vec{u} et \vec{v} , on obtient une nouvelle translation dont le vecteur est, par définition, la somme des vecteurs \vec{u} et \vec{v} noté \vec{u}+\vec{v}.

Relation de Chasles 

quelque soient les points A, B, C on a la relation suivante \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}

Méthode

 Pour construire la somme de deux vecteurs \vec{u}+\vec{v}, je construis un vecteur égal au vecteur  \vec{v} à partir de l’extrémité du vecteur \vec{u} . Puis je trace le vecteur qui a pour origine l’origine du vecteur  \vec{u} et pour extrémité l’extrémité du vecteur égal au vecteur \vec{v} que l’on vient de tracer.

Exercice n°1

  ABCDEF est un hexagone régulier de centre O

Compléter les pointillés dans chaque cas:

  1. \overrightarrow{OE}+ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{O…}

2. \overrightarrow{CO}+ \overrightarrow{FE}= \overrightarrow{C…}

3. \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BO}= \overrightarrow{A…}

4.   \overrightarrow{CE}+ \overrightarrow{DB}= \overrightarrow{C…}

Propriétés 

\vec{u}+\vec{v}= \vec{v}+\vec{u}\\ (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}= \vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\\ \vec{u}+\vec{0}= \vec{0}+\vec{u}=\vec{u}\\ \vec{u}+(-\vec{u})= (-\vec{u})+\vec{u}=\vec{0}\\ \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\vec{0}\\ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}

coordonnées de la somme de deux vecteurs

Propriété 

si \vec{u} a pour coordonnées (a;b) et si \vec{v} a pour coordonnées (a’;b’)

alors \vec{u}+\vec{v} a pour coordonnées (a+a’;b+b’)

Exercice n°2

 Soient  A(4;2) et B(-2;6).

  1. Calculer les coordonnées de I le milieu de [AB] (utiliser la formule vue dans la partie coordonnées d’un point).

Avant de se lancer dans les calculs, on peut conjecturer les coordonnées du milieu I en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessus. Pour cela on clique sur le deuxième onglet en partant de la gauche et on sélectionne Milieu ou centre dans le menu déroulant. Dans le repère on clique gauche  sur le point A et sur le point B, le logiciel nomme le milieu C. Pour le renommer on clique droit sur C et on sélectionne Renommer dans le menu déroulant. On renomme le point avec la lettre I. On lit ses coordonnées dans la colonne Algèbre.

2.a.Calculer les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{IA}.

Avant de se lancer dans les calculs, on peut conjecturer les coordonnées du vecteurs \overrightarrow{IA} en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessus. Pour cela on clique sur le troisième onglet en partant de la gauche et on sélectionne Vecteur dans le menu déroulant. Dans le repère on clique gauche  sur le point I et sur le point A.  On lit ses coordonnées dans la colonne Algèbre.

2.b.Calculer les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{IB}.

Avant de se lancer dans les calculs, on peut conjecturer les coordonnées du vecteurs \overrightarrow{IB} en utilisant la fenêtre géogébra ci-dessus. Pour cela on clique sur le troisième onglet en partant de la gauche et on sélectionne Vecteur dans le menu déroulant. Dans le repère on clique gauche  sur le point I et sur le point B.  On lit ses coordonnées dans la colonne Algèbre.

2.c. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{IB}.

2.d. Le résultat de la question 2.c. vous semble-t-il cohérent ?

Exercice n°3

  1. Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC} et  \overrightarrow{AD}

2. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} .

3. Comparez-les avec celle de  \overrightarrow{AC}. Qu’en pensez-vous ?

A’ est l’image de A par la translation de vecteur \vec{u} signifie que \overrightarrow{AA’}=\vec{u}.

B’ est l’image de B par la translation de vecteur \vec{u} signifie que \overrightarrow{BB’}=\vec{u}.

C’ est l’image de C par la translation de vecteur \vec{u} signifie que \overrightarrow{CC’}=\vec{u}.

A" est l’image de A’ par la translation de vecteur \vec{v} signifie que \overrightarrow{A’A"}=\vec{v}.

B" est l’image de B’ par la translation de vecteur \vec{v} signifie que \overrightarrow{B’B"}=\vec{v}.

C" est l’image de C’ par la translation de vecteur \vec{v} signifie que \overrightarrow{C’C"}=\vec{v}.

Pour construire la somme \overrightarrow{OE}+\overrightarrow{AB}

je construis le vecteur  \overrightarrow{OE}.

je construis un vecteur égal au vecteur  \overrightarrow{AB} à partir de l’extrémité du vecteur \overrightarrow{OE} c’est-à-dire E .

Je trace le vecteur qui a pour origine l’origine du vecteur  \overrightarrow{OE} et pour extrémité l’extrémité du vecteur égal au vecteur \overrightarrow{AB} que l’on vient de tracer.

\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OD}

Pour appliquer la relation de Chasles, je dois remplacer le deuxième vecteur de la somme par un vecteur ayant pour origine, l’extrémité du premier vecteur. Ici, je remplace le vecteur \overrightarrow{AB} par un vecteur commencant par E

\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{OD}

Pour construire la somme \overrightarrow{CO}+\overrightarrow{FE}

je construis le vecteur  \overrightarrow{CO}.

je construis un vecteur égal au vecteur  \overrightarrow{FE} à partir de l’extrémité du vecteur \overrightarrow{CO} c’est-à-dire O .

Je trace le vecteur qui a pour origine l’origine du vecteur  \overrightarrow{CO} et pour extrémité l’extrémité du vecteur égal au vecteur \overrightarrow{FE} que l’on vient de tracer.

\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{CD}

Pour appliquer la relation de Chasles, je dois remplacer le deuxième vecteur de la somme par un vecteur ayant pour origine, l’extrémité du premier vecteur. Ici, je remplace le vecteur \overrightarrow{FE} par un vecteur commencant par O

\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CD}

Pour construire la somme \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BO}

je construis le vecteur  \overrightarrow{AC}.

je construis un vecteur égal au vecteur  \overrightarrow{BO} à partir de l’extrémité du vecteur \overrightarrow{AC} c’est-à-dire C .

Je trace le vecteur qui a pour origine l’origine du vecteur  \overrightarrow{AC} et pour extrémité l’extrémité du vecteur égal au vecteur \overrightarrow{BO} que l’on vient de tracer.

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AD}

Pour appliquer la relation de Chasles, je dois remplacer le deuxième vecteur de la somme par un vecteur ayant pour origine, l’extrémité du premier vecteur. Ici, je remplace le vecteur \overrightarrow{BO} par un vecteur commencant par C

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}

Pour construire la somme \overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DB}

je construis le vecteur  \overrightarrow{CE}.

je construis un vecteur égal au vecteur  \overrightarrow{DB} à partir de l’extrémité du vecteur \overrightarrow{CE} c’est-à-dire E .

Je trace le vecteur qui a pour origine l’origine du vecteur  \overrightarrow{CE} et pour extrémité l’extrémité du vecteur égal au vecteur \overrightarrow{DB} que l’on vient de tracer.

\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}

Pour appliquer la relation de Chasles, je dois remplacer le deuxième vecteur de la somme par un vecteur ayant pour origine, l’extrémité du premier vecteur. Ici, je remplace le vecteur \overrightarrow{DB} par un vecteur commencant par E

\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CA}

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(4;2) \hspace{0.4cm} B(-2;6)

On écrit la formule du cours :

x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

x_I=\frac {4+(-2)}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {2+6}{2}

x_I=\frac {2}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {8}{2}

x_I=1\hspace {2cm}y_I=4

Donc I(1;4)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IA}.

Je repère les coordonnées des points I et A.

\hspace{2.1cm}x_{I}\hspace{0.2cm}y_{I}\hspace{2cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}

\hspace{1.8cm}I(1;4)\hspace{2cm}A(4;2)

J’écris la formule : \overrightarrow{IA}(x_{A}-x_{I};y_{A}-y_{I})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{IA}(4-1;2-4)

\overrightarrow{IA}(3;-2)

 

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IB}.

Je repère les coordonnées des points I et B.

\hspace{2.1cm}x_{I}\hspace{0.2cm}y_{I}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}

\hspace{1.8cm}I(1;4)\hspace{2cm}B(-2;6)

J’écris la formule : \overrightarrow{IB}(x_{B}-x_{I};y_{B}-y_{I})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{IB}((-2)-1;6-4)

\overrightarrow{IB}(-3;2)

\hspace{0.6cm}\overrightarrow{IA}(3;-2)\\\hspace{0.6cm}\overrightarrow{IB}(-3;2)

Donc \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}(3+(-3);-2+2)

Donc \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}(0;0)

Comme I est le milieu de [AB] les vecteurs \overrightarrow{IA} et \overrightarrow{IB} sont opposés donc leur somme est égale au vecteur nul, \vec{0}.

Donc \overrightarrow{AB}(4;0)

Donc \overrightarrow{AC}(5;3)

Donc \overrightarrow{AD}(1;3)

\hspace{0.6cm}\overrightarrow{AB}(4;0)\\\hspace{0.6cm}\overrightarrow{AD}(1;3)

Donc \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}(4+1;0+3)

Donc \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}(5;3)

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}(5;3)\\\overrightarrow{AC}(5;3)

Leurs coordonnées sont égales donc :

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.

Et donc ABCD est un parallélogramme.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.