2. Produit d’un vecteur par un réel

Géométrie, Niveau seconde, Vecteurs

Activité d’approche

On a placé des points et un vecteur dans un repère.

Placer $C’$ tel que $\overrightarrow{CC’ }= 2 \overrightarrow{AB }$ .

Les vecteurs $\overrightarrow{CC’ }$ et $2 \overrightarrow{AB }$ ont même direction. Pour cela avec Géogébra, tracer une droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$ .

Cliquer sur le quatrième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Parallèle dans le menu déroulant. Puis cliquer sur la droite $(AB)$ et sur le point $C$ .

La longueur ( ou norme) du vecteurs $\overrightarrow{CC’ }$ est 2 fois celle du vecteur $\overrightarrow{AB }$ . Avec Géogébra, tracer le cercle de centre $C$ et de rayon $2AB$ .

Cliquer sur le sixième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Cercle (centre-rayon) dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point $C$ et dans la case Rayon écrire $2AB$ .

Remarque : la droite et le cercle ont deux points communs.

Les vecteurs $\overrightarrow{CC’ }$ et $2 \overrightarrow{AB }$ ont même sens car le vecteur $\overrightarrow{AB }$ est multiplié par 2 qui est un nombre positif. Donc parmi les deux points d’intersection obtenus précédemment , on ne garde que celui où on va de C vers C’ comme on va de A vers B.

On l’appelle C’.

Avec Géogébra, cliquer sur le deuxième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Point dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point d’intersection que l’on a choisi. Eventuellement le renommer en C’ en cliquant gauche sur C’ et en sélectionnant Renommer dans le menu déroulant.

On trace le vecteur $\overrightarrow{CC’ }$ .

Pour cela avec Géogébra, cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur les points C et C’ dans cet ordre.

2. Placer $D’$ tel que $\overrightarrow{DD’ }= -2 \overrightarrow{AB }$ .

3. Placer $E’$ tel que $\overrightarrow{EE’ }= \frac{1}{2} \overrightarrow{AB }$ .

4. Placer $F’$ tel que $\overrightarrow{FF’ }= 3 \overrightarrow{AB }$ .

5. Placer $G’$ tel que $\overrightarrow{GG’ }= \frac{3}{2} \overrightarrow{AB }$ .

6. Placer $H’$ tel que $\overrightarrow{HH’ }= \frac{7}{4} \overrightarrow{AB }$ .

7. Placer $I’$ tel que $\overrightarrow{II’ }= \overrightarrow{AB }$ .

2. Synthèse : donner une définition du vecteur $k\vec{u}$ ( k fois le vecteur $\vec{u}$ ) en fonction du vecteur $\vec{u}$ .

Déterminant de deux vecteurs

Définition

On considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$ .

Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ noté $det(\vec{u}; \vec{v})$ est le nombre

Exemple :

On considère deux vecteurs $\vec{u}(3;-2)$ et $\vec{v}(1;1)$ .

On calcule le déterminant ainsi :

vecteurs colinéaires

Définition

deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} =k\vec{v}$ .

Critère de colinéarité

Deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$ sont colinéaires si et seulement si le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est nul c’est-à-dire $det(\vec{u}; \vec{v})=0$

propriétés

k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}\\(k+k’)\vec{u})=k\vec{u}+k’\vec{u}\\(kk’)\vec{u}=k(k’\vec{u})

Exercice n°1

Soient $A(-1;1)$ et $B(3;2)$ . On note $I$ le milieu de $[AB]$

Partie A : Dans cette partie, $M(1;-2)$

Déterminer par le calcul les coordonnées de $I$ .

Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le deuxième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point $A$ et sur le point $B$ . Géogébra le nomme C , on peut le renommer en I en cliquant gauche sur le et en sélectionnant Renommer dans le menu déroulant.

2. a. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MA }$ , puis celles du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{MA }$ .

Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point $M$ et sur le point $A$ . Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MA }$ apparaissent.

2. b. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MB }$ , puis celles du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }$ .

2.c. En déduire les coordonnées du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }$ .

3. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MI }$ . Que constatez-vous ?

Partie B : Dans cette partie, $M(a;b)$

1. a. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MA }$ , puis celles du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{MA }$ .

1. b. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MB }$ , puis celles du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }$ .

1.c. En déduire les coordonnées du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }$ .

2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MI }$ . Que constatez-vous ?

Points alignés. Droites parallèles.

Propriété

Langage des points et des droites

$A, B , C$ sont alignés

Langage des vecteurs

$\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Langage des coordonnées

les coordonnées de $\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{AC}$ sont proportionnelles.

Ou le déterminant de $\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{AC}$ est nul

Langage des points et des droites

$(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles

Langage des vecteurs

$\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Langage des coordonnées

les coordonnées de $\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{CD}$ sont proportionnelles.

Ou le déterminant de $\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{CD}$ est nul

Exercice n°2

Soient $A(-5;0)$ , $B(-1;-2)$ et $C(-3;-1)$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB }$ .

Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point $A$ et sur le point $B$ . Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB }$ apparaissent.

2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC }$ .

Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point $A$ et sur le point $C$ . Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC }$ apparaissent.

3. Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{AC }$ . Que peut-on en déduire ?

Exercice n°3

Soient $A(-4;0)$ , $B(0;-2)$ et $C(-2;1)$ dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB }$ .

Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point $A$ et sur le point $B$ . Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB }$ apparaissent.

2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OC }$ .

Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point $O$ et sur le point $C$ . Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OC}$ apparaissent.

3. Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AB }$ et $\overrightarrow{OC }$ . Que peut-on en déduire ?

Exercice n°4

Soient $A(1;2)$ , $B(3;3)$ et $C(4;1)$ dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

1.a. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point D défini par l’égalité vectorielle suivante $\overrightarrow{AD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ .

Avant de se lancer dans les calculs, s’inspirer de la méthode développée dans l’activité d’approche pour placer $D$ dans la fenêtre Géogébra ci-dessus et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre.

1.b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point E défini par l’égalité vectorielle suivante $\overrightarrow{DE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CB}$ .

Avant de se lancer dans les calculs, s’inspirer de la méthode développée dans l’activité d’approche pour placer $E$ dans la fenêtre Géogébra ci-dessus et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre.