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Fonctions : calcul d’images . Exercices.

Sommaire

RAPPEL DE METHODE:

Pour calculer l’image d’un nombre a , je remplace tous les x par a dans f(x)=…. Puis j’effectue la séquence de calculs en respectant la priorité des opérations.

Exercice 1 

Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=2x-1 .

Calculer les images de -3; -\frac{1}{2};0;\sqrt{3}.

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-3)
correction f(-\frac{1}{2})
correction f(0)
correction f(\sqrt{3})

Exercice 2

 Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=-\frac{1}{4}x+2 .

Calculer les images de -2;0; \frac{2}{3};\sqrt{2}.

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-2)
correction f(0)
correction f(\frac{2}{3})
correction f(\sqrt{2})

Exercice 3

 Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^{2}+2x+4 

Calculer les images de -1;0; \frac{1}{2};\sqrt{2}

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-1)
correction f(0)
correction f(\frac{1}{2})
correction f(\sqrt{2})

Exercice 4 

Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=2(x-1)^{2}+3 .

Calculer les images de -2;0; 1;\frac{3}{4}

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-2)
correction f(0)
correction f(1)
correction f(\frac{3}{4})

Exercice 5 

Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=(x-1)^{2}-9 .

  1. Donner une forme développée et réduite de f(x)
correction

2. Factoriser f(x).

correction

3. En utilisant l’une des trois formes de  f(x) ci-dessous :

(e) f(x)=(x-1)^{2}-9

(d) f(x)=x^{2}-2x-8

(f) f(x)=(x-4)(x+2)

Calculer les images de -2;0; 1;\frac{1}{4}

méthode
conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-2)
correction f(0)
correction f(1)
correction f(\frac{1}{4})

Exercice 6

Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=4(x-2)^{2}-1 .

  1. Donner une forme développée et réduite de f(x)
correction

2. Factoriser f(x).

correction

3. En utilisant l’une des trois formes de  f(x) ci-dessous :

(e) f(x)=4(x-2)^{2}-1

(d) f(x)=4x^{2}-16x+15

(f) f(x)=(2x-5)(2x-3)

Calculer les images de 0; 2;\frac{5}{2};\sqrt{7}

méthode
conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(0)
correction f(2)
correction f(\frac{5}{2})
correction f(\sqrt{7})

Exercice 7

 Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} privé de 1, par f(x)=\frac{1}{x-1} .

Calculer les images de -2;0; 2;\frac{1}{3}

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-2)
correction f(0)
correction f(2)
correction f(\frac{1}{3})

Exercice 8 

Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} privé de 2, par f(x)=\frac{2x+1}{x-2} .

Calculer les images de -1;0; 3;\frac{2}{3}

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-1)
correction f(0)
correction f(3)
correction f(\frac{2}{3})

Exercice 9

 Soit la fonction f définie sur [-\frac{1}{2};+\infty[, par f(x)=\sqrt {2x+1} .

Calculer les images de 0; \frac{1}{4};1;4

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(0)
correction f(\frac{1}{4})
correction f(1)
correction f(4)

Exercice 10

 Soit la fonction f définie sur \mathbf{R}, par f(x)=\sqrt {3 {x}^{2}+1} .

Calculer les images de -1;2; \frac{2}{5};4

conjecturer avec la calculatrice TI-83 Python
correction f(-1)
correction f(2)
correction f(\frac{2}{5})
correction f(4)

©2020 – Math’O karé SAS

Pour calculer f(-3): je remplace tous les x par -3 dans f(x)=2x-1

f(-3)={2}\times{(-3)}-1

On effectue ensuite la multiplication

f(-3)=-6-1

Et enfin la soustraction

f(-3)=-7

Pour calculer f(-\frac{1}{2}): je remplace tous les x par -\frac{1}{2} dans f(x)=2x-1

f(-\frac{1}{2})={2}\times{(-\frac{1}{2})}-1

On effectue ensuite la multiplication

f(-\frac{1}{2})=-1-1

Et enfin la soustraction

f(-\frac{1}{2})=-2

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=2x-1

f(0)={2}\times{0}-1

On effectue ensuite la multiplication

f(0)=0-1

Et enfin la soustraction

f(0)=-1

Pour calculer f(\sqrt{3}): je remplace tous les x par \sqrt{3} dans f(x)=2x-1

f(\sqrt{3})={2}\times{\sqrt{3}}-1

Pour calculer f(-2): je remplace tous les x par -2 dans f(x)=-\frac{1}{4}x+2

f(-2)={-\frac{1}{4}}\times{(-2)}+2

On effectue ensuite la multiplication

f(-2)=\frac{2}{4}+2

On simplifie \frac{2}{4}=\frac{1}{2}

f(-2)=\frac{1}{2}+2

Et enfin l’addition. Il faut mettre au même dénominateur, ici 2.

f(-2)=\frac{1}{2}+{2}\times{\frac{2}{2}}\\f(-2)=\frac{1}{2}+\frac{4}{2}\\f(-2)=\frac{5}{2}

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=-\frac{1}{4}x+2

f(0)={-\frac{1}{4}}\times{0}+2

On effectue ensuite la multiplication

f(0)=0+2

Et enfin l’addition. Il faut mettre au même dénominateur, ici 2.

f(0)=2

Pour calculer f(\frac{2}{3}): je remplace tous les x par \frac{2}{3} dans f(x)=-\frac{1}{4}x+2

f(\frac{2}{3})={-\frac{1}{4}}\times{\frac{2}{3}}+2

On effectue ensuite la multiplication : {-\frac{1}{4}}\times{\frac{2}{3}={-\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{6}}. Plutôt que multiplier numérateurs et dénominateurs entre eux, mieux vaut simplifier avant. Ici on peut simplifier par 2 en haut et en bas.

f(\frac{2}{3})=-\frac{1}{6}+2

Et enfin l’addition. Il faut mettre au même dénominateur, ici 6.

f(\frac{2}{3})=-\frac{1}{6}+{2}\times{\frac{6}{6}}\\f(\frac{2}{3})=-\frac{1}{6}+\frac{12}{6}\\f(\frac{2}{3})=\frac{11}{6}

Pour calculer f(\sqrt{2}): je remplace tous les x par \sqrt{2} dans f(x)=-\frac{1}{4}x+2

f(\sqrt{2})={-\frac{1}{4}}\times{\sqrt{2}}+2

 

Pour calculer f(-1): je remplace tous les x par (-1) dans f(x)=x^{2}+2x+4

f(-1)=(-1)^{2}+{2}\times{(-1)}+4

On effectue ensuite la puissance

f(-1)=1+{2}\times{(-1)}+4

On effectue ensuite le produit

f(-1)=1-2+4

Et enfin la somme

f(-1)=3

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=x^{2}+2x+4

f(0)=0^{2}+{2}\times{0}+4

On effectue ensuite la puissance

f(0)=0+{2}\times{0}+4

On effectue ensuite le produit

f(0)=0+4

Et enfin la somme

f(0)=4

Pour calculer f(\frac{1}{2}): je remplace tous les x par \frac{1}{2} dans f(x)=x^{2}+2x+4

f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^{2}+{2}\times{\frac{1}{2}}+4

On effectue ensuite la puissance

f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+{2}\times{\frac{1}{2}}+4

On effectue ensuite le produit

f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+1+4

Et enfin la somme, on doit réduire 1+4. Ensuite on mettra au même dénominateur, ici 4.

f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+5\\f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+{5}\times{\frac{4}{4}}\\f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}+\frac{20}{4}\\f(\frac{1}{2})=\frac{21}{4}

Pour calculer f(\sqrt{2}): je remplace tous les x par \sqrt{2} dans f(x)=x^{2}+2x+4

f(\sqrt{2})=\sqrt{2}^{2}+{2}\times{\sqrt{2}}+4

On effectue ensuite la puissance

f(\sqrt{2})=2+{2}\times{\sqrt{2}}+4

Et enfin la somme

f(\sqrt{2})=6+2\sqrt{2}

Pour calculer f(-2): je remplace tous les x par -2 dans f(x)=2(x-1)^{2}+3

f(-2)=2((-2)-1)^{2}+3

On effectue ensuite ce qu’il y a entre parenthèses

f(-2)=2(-3)^{2}+3

On effectue ensuite la puissance

f(-2)={2}\times{9}+3

On effectue ensuite le produit

f(-2)=18+3

Et enfin la somme

f(-2)=21

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=2(x-1)^{2}+3

f(0)=2(0-1)^{2}+3

On effectue ensuite ce qu’il y a entre parenthèses

f(0)=2(-1)^{2}+3

On effectue ensuite la puissance

f(0)={2}\times{1}+3

On effectue ensuite le produit

f(0)=2+3

Et enfin la somme

f(0)=5

Pour calculer f(1): je remplace tous les x par 1 dans f(x)=2(x-1)^{2}+3

f(1)=2(1-1)^{2}+3

On effectue ensuite ce qu’il y a entre parenthèses

f(1)=2(0)^{2}+3

On effectue ensuite la puissance

f(1)={2}\times{0}+3

On effectue ensuite le produit

f(1)=0+3

Et enfin la somme

f(1)=3

Pour calculer f(\frac{3}{4}): je remplace tous les x par \frac{3}{4} dans f(x)=2(x-1)^{2}+3

f(\frac{3}{4})=2(\frac{3}{4}-1)^{2}+3

On effectue ensuite ce qu’il y a entre parenthèses, il faudra mettre au même dénominateur, ici 4.

f(\frac{3}{4})=2(\frac{3}{4}-{1}\times{\frac{4}{4}})^{2}+3\\f(\frac{3}{4})=2(-\frac{1}{4})^{2}+3

On effectue ensuite la puissance

f(\frac{3}{4})={2}\times{\frac{1}{16}}+3

On effectue ensuite le produit {2}\times{\frac{1}{16}}=\frac{1}{8}. Plutôt que multiplier entre  eux numérateurs et dénominateurs mieux vaut simplifier avant quand c’est possible. Ici on simplifie par 2.

f(\frac{3}{4})=\frac{1}{8}+3

Et enfin la somme en mettant au même dénominateur 8.

f(\frac{3}{4})=\frac{1}{8}+{3}\times{\frac{8}{8}}\\f(\frac{3}{4})=\frac{1}{8}+\frac{24}{8}\\f(\frac{3}{4})=\frac{25}{8}

Pour développer (x-1)^{2}-9, je développe d’abord (x-1)^{2} en utilisant une identité remarquable.

J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}

J’écris b=1 donc b^{2}=1

Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 1 .

2ab=2\times x\times 1=2x

Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

C’est-à-dire:

(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1

(x-1)^{2}-9=x^{2}-2x+1-9

\hspace{2cm}=x^{2}-2x-8

a^{2}=(x-1)^{2}  donc a=x-1

b^{2}=9 donc b=3

Pour finir, il suffit de remplacer a, b , a^{2},  et b^{2} par leurs valeurs dans :

a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)

(x-1)^{2}-9= (x-1-3)(x-1+3)\\\hspace{2 cm }= (x-4)(x+2)

Voici les trois formes :

La forme de l’énoncé (e) f(x)=(x-1)^{2}-9

La forme développée (d) f(x)=x^{2}-2x-8

La forme factorisée (f)f(x)=(x-4)(x+2)

La forme adéquate est celle où il y a le moins de calculs ( c’est souvent quand on fait apparaître des zéros).

Pour calculer f(0) on utilise la forme développée.

Certaines valeurs de x annulent l’un des facteurs de la forme factorisée, du coup le produit est nul. C’est le cas pour f(-2) 

Quant à la forme de l’énoncé, une valeur de x annule la quantité qui sera élevée au carré. C’est le cas pour f(1) .

Pour calculer l’image d’une racine carré, on utilise la forme développée.

Pour calculer f(-2): je remplace tous les x par (-2) dans l’expression factorisée (f) f(x)=(x-4)(x+2) car il y aura alors un facteur nul et le produit sera alors nul.

f(-2)=((-2)-4)((-2)+2)

On effectue ce qu’il y a entre parenthèses

f(-2)=(-6)\times{0}

On effectue ensuite le produit

f(-2)=0

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=x^{2}-2x-8

f(0)=0^{2}-{2}\times{0}-8

On effectue ensuite la puissance

f(0)=0-{2}\times{0}-8

Ensuite le produit

f(0)=0-8

Puis la somme

f(0)=-8

Pour calculer f(1): je remplace tous les x par 1 dans f(x)=(x-1)^{2}-9

f(1)=(1-1)^{2}-9

On effectue ensuite ce qu’il y a entre parenthèses

f(1)=0^{2}-9

On effectue ensuite la puissance

f(1)=0-9

Et enfin la différence

f(1)=-9

Pour calculer f(\frac{1}{4}): je remplace tous les x par \frac{1}{4} dans, par exemple la forme de l’énoncé f(x)=(x-1)^{2}-9. Si on prend une autre forme, ça marche aussi.

f(\frac{1}{4})=(\frac{1}{4}-1)^{2}-9

On effectue ensuite ce qu’il y a entre parenthèses. Il faut mettre au même dénominateur, ici 4.

f(\frac{1}{4})=(\frac{1}{4}-{1}\times{\frac{4}{4}})^{2}-9\\f(\frac{1}{4})=(\frac{1}{4}-\frac{4}{4})^{2}-9\\f(\frac{1}{4})=(-\frac{3}{4})^{2}-9

On effectue ensuite la puissance

f(\frac{1}{4})=\frac{9}{16}-9

Et enfin la différence, attention, il faut mettre au même dénominateur, ici 16.

f(\frac{1}{4})=\frac{9}{16}-{9}\times{\frac{16}{16}}\\f(\frac{1}{4})=\frac{9}{16}-\frac{144}{16}\\f(\frac{1}{4})=-\frac{135}{16}

Pour développer 4(x-2)^{2}-1, je développe d’abord (x-2)^{2} en utilisant une identité remarquable.

J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}

J’écris b=2 donc b^{2}=4

Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 2 .

2ab=2\times x\times 2=4x

Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

C’est-à-dire:

(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4

J’effectue la puissance

4(x-2)^{2}-1=4(x^{2}-4x+4)-1

J’effectue la multiplication en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

\hspace{2.1cm}=4x^{2}-16x+16-1

Je réduis

\hspace{2.1cm}=4x^{2}-16x+15

a^{2}=4(x-2)^{2}  donc a=2(x-2)

b^{2}=1 donc b=1

Pour finir, il suffit de remplacer a, b , a^{2},  et b^{2} par leurs valeurs dans :

a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)

4(x-2)^{2}-1= (2(x-2)-1)(2(x-2)+1)\\\hspace{2 cm }= (2x-4-1)(2x-4+1)\\\hspace{2 cm }= (2x-5)(2x-3)

Voici les trois formes :

La forme de l’énoncé (e) f(x)=4(x-2)^{2}-1

La forme développée (d) f(x)=4x^{2}-16x+15

La forme factorisée (f)f(x)=(2x-5)(2x-3)

La forme adéquate est celle où il y a le moins de calculs ( c’est souvent quand on fait apparaître des zéros).

Pour calculer f(0) on utilise la forme développée.

Certaines valeurs de x annulent l’un des facteurs de la forme factorisée, du coup le produit est nul. C’est le cas pour f(\frac{5}{2}) 

Quant à la forme de l’énoncé, une valeur de x annule la quantité qui sera élevée au carré. C’est le cas pour f(2) .

Pour calculer l’image d’une racine carrée, on utilise la forme développée.

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=4x^{2}-16x+15

f(0)={4}\times{0^{2}}-{16}\times{0}+15

On effectue ensuite la puissance

f(0)={4}\times{0}-{16}\times{0}+15

Ensuite les produits

f(0)=0-0+15

Puis la somme

f(0)=15

Pour calculer f(2): je remplace tous les x par 2 dans f(x)=4(x-2)^{2}-1

f(2)=4(2-2)^{2}-1

On effectue ensuite ce qu’il y a entre parenthèses

f(2)={4}\times{0^{2}}-1

On effectue ensuite la puissance

f(2)={4}\times{0}-1

On effectue ensuite le produit

f(2)=0-1

Et enfin la différence

f(2)=-1

Pour calculer f(\frac{5}{2}): je remplace tous les x par \frac{5}{2} dans l’expression factorisée (f) f(x)=(2x-5)(2x-3) car il y aura alors un facteur nul et le produit sera alors nul.

f(\frac{5}{2})=({2}\times{\frac{5}{2}}-5)({2}\times{\frac{5}{2}}-3)

On effectue ce qu’il y a entre parenthèses.

Dans les parenthèses, on commence par les produits. Plutôt que multiplier entre eux numérateurs et dénominateurs, regardons si on peut simplifier. Ici on peut simplifier par 2 dans les deux produits.

f(\frac{5}{2})=(5-5)(5-3)

On effectue ensuite les sommes

f(\frac{5}{2})={0}\times{2}

Puis le produit.

f(\frac{5}{2})=0

Pour calculer f(\sqrt{7}): je remplace tous les x par \sqrt{7} dans f(x)=4x^{2}-16x+15

f(0)={4}\times{\sqrt{7}^{2}}-{16}\times{\sqrt{7}}+15

On effectue ensuite la puissance

f(0)={4}\times{7}-{16}\times{\sqrt{7}}+15

Ensuite les produits

f(0)=28-16\sqrt{7}+15

Puis la somme

f(0)=43-16\sqrt{7}

Pour calculer f(-2): je remplace tous les x par -2 dans f(x)=\frac{1}{x-1}

f(-2)=\frac{1}{(-2)-1}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité (-2)-1

f(-2)=\frac{1}{-3}\\f(-2)=-\frac{1}{3}

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=\frac{1}{x-1}

f(0)=\frac{1}{0-1}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité 0-1

f(0)=\frac{1}{-1}\\f(0)=-1

Pour calculer f(2): je remplace tous les x par 2 dans f(x)=\frac{1}{x-1}

f(2)=\frac{1}{2-1}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité 2-1

f(2)=\frac{1}{1}\\f(2)=1

Pour calculer f(\frac{1}{3}): je remplace tous les x par \frac{1}{3} dans f(x)=\frac{1}{x-1}

f(\frac{1}{3})=\frac{1}{\frac{1}{3}-1}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité \frac{1}{3}-1en mettant au même dénominateur ici 3.

f(\frac{1}{3})=\frac{1}{\frac{1}{3}-{1}\times{\frac{3}{3}}}\\f(\frac{1}{3})=\frac{1}{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}}\\f(\frac{1}{3})=\frac{1}{-\frac{2}{3}}

Diviser par -\frac{2}{3} revient à multiplier par son inverse -\frac{3}{2}

f(\frac{1}{3})={1}\times{-\frac{3}{2}}\\f(\frac{1}{3})=-\frac{3}{2}

Pour calculer f(-1): je remplace tous les x par -1 dans f(x)=\frac{2x+1}{x-2}

f(-1)=\frac{{2}\times{(-1)}+1}{(-1)-2}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité {2}\times{(-1)}+1 et (-1)-2

f(-1)=\frac{-2+1}{-3}\\f(-1)=\frac{-1}{-3}\\f(-1)=\frac{1}{3}

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=\frac{2x+1}{x-2}

f(0)=\frac{{2}\times{0}+1}{0-2}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité {2}\times{0}+1 et 0-2

f(0)=\frac{0+1}{-2}\\f(0)=\frac{1}{-2}

Il est plus élégant d’écrire ainsi le résultat.

f(0)=-\frac{1}{2}

Pour calculer f(3): je remplace tous les x par 3 dans f(x)=\frac{2x+1}{x-2}

f(3)=\frac{{2}\times{3}+1}{3-2}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité {2}\times{3}+1 et 3-2

f(3)=\frac{6+1}{1}\\f(3)=7

Pour calculer f(\frac{2}{3}): je remplace tous les x par \frac{2}{3} dans f(x)=\frac{2x+1}{x-2}

f(\frac{2}{3})=\frac{{2}\times{\frac{2}{3}}+1}{\frac{2}{3}-2}

Il faut calculer comme s’il y avait des parenthèses invisibles autour du numérateur et du dénominateur. On calcule donc en priorité {2}\times{\frac{2}{3}}+1 et \frac{2}{3}-2

On effectue le produit

f(\frac{2}{3})=\frac{\frac{4}{3}+1}{\frac{2}{3}-2}

On effectue les sommes en mettant au même dénominateur. Ici, 3.

f(\frac{2}{3})=\frac{\frac{4}{3}+{1}\times{\frac{3}{3}}}{\frac{2}{3}-{2}\times{\frac{3}{3}}}\\f(\frac{2}{3})=\frac{\frac{7}{3}}{-\frac{4}{3}}

Diviser par -\frac{4}{3} revient à multiplier par -\frac{3}{4} 

f(\frac{2}{3})={\frac{7}{3}}\times{(-\frac{3}{4})}

Avant de multiplier entre eux numérateurs et dénominateurs, il faut éventuellement simplifier quand c’est possible. Ici on simplifie par 3.

f(\frac{2}{3})=-\frac{7}{4}

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=\sqrt{2x+1}

f(0)=\sqrt{{2}\times{0}+1}

On effectue ensuite le produit

f(0)=\sqrt{0+1}

Et enfin la somme

f(0)=\sqrt{1}\\f(0)=1

Pour calculer f(\frac{1}{4}): je remplace tous les x par \frac{1}{4} dans f(x)=\sqrt{2x+1}

f(\frac{1}{4})=\sqrt{{2}\times{\frac{1}{4}}+1}

On effectue ensuite le produit . Attention avant de multiplier entre eux numérateurs et dénominateurs, vérifier si on peut simplifier. Ici on peut simplifier par 2.

f(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{1}{2}+1}

Et enfin la somme. Il faut mettre au même dénominateur, ici 2.

f(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{1}{2}+{1}\times{\frac{2}{2}}}\\f(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}\\f(\frac{1}{4})=\sqrt{\frac{3}{2}}

Pour calculer f(1): je remplace tous les x par 1 dans f(x)=\sqrt{2x+1}

f(1)=\sqrt{{2}\times{1}+1}

On effectue ensuite le produit

f(0)=\sqrt{2+1}

Et enfin la somme

f(0)=\sqrt{3}

Pour calculer f(4): je remplace tous les x par 4 dans f(x)=\sqrt{2x+1}

f(4)=\sqrt{{2}\times{4}+1}

On effectue ensuite le produit

f(4)=\sqrt{8+1}

Et enfin la somme

f(4)=\sqrt{9}\\f(4)=3

Pour calculer f(-1): je remplace tous les x par -1 dans f(x)=\sqrt{3x^{2}+1}

f(-1)=\sqrt{3(-1)^{2}+1}

On effectue ensuite la puissance

f(-1)=\sqrt{{3}\times{1}+1}

On effectue ensuite le produit

f(-1)=\sqrt{3+1}

Et enfin la somme

f(-1)=\sqrt{4}

f(-1)=2

Pour calculer f(2): je remplace tous les x par 2 dans f(x)=\sqrt{3x^{2}+1}

f(2)=\sqrt{3(2)^{2}+1}

On effectue ensuite la puissance

f(2)=\sqrt{{3}\times{4}+1}

On effectue ensuite le produit

f(2)=\sqrt{12+1}

Et enfin la somme

f(2)=\sqrt{13}

Pour calculer f(\frac{2}{5}): je remplace tous les x par \frac{2}{5} dans f(x)=\sqrt{3x^{2}+1}

f(\frac{2}{5})=\sqrt{3(\frac{2}{5})^{2}+1}

On effectue ensuite la puissance

f(\frac{2}{5})=\sqrt{{3}\times{\frac{4}{25}}+1}

On effectue ensuite le produit

f(\frac{2}{5})=\sqrt{\frac{12}{25}+1}

Et enfin la somme em mettant au même dénominateur, ici 25.

f(\frac{2}{5})=\sqrt{\frac{12}{25}+{1}\times{\frac{25}{25}}}\\f(\frac{2}{5})=\sqrt{\frac{37}{25}}

On utilise la formule \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

f(\frac{2}{5})=\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{25}}

f(\frac{2}{5})=\frac{\sqrt{37}}{5}

Pour calculer f(4): je remplace tous les x par 4 dans f(x)=\sqrt{3x^{2}+1}

f(4)=\sqrt{3(4)^{2}+1}

On effectue ensuite la puissance

f(4)=\sqrt{{3}\times{16}+1}

On effectue ensuite le produit

f(4)=\sqrt{48+1}

Et enfin la somme

f(4)=\sqrt{49}

Comme 49 est le carré de 7.

f(4)=7

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.