2.Vecteurs exercices.

Géométrie, Niveau seconde, Vecteurs

Exercice n°1

Dans chaque cas, déterminer par le calcul les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Avant de se lancer dans les calculs, utiliser la fenêtre géogébra ci-dessous. Cliquer gauche sur le premier onglet en haut à gauche (flèche) , sélectionner Déplacer dans le menu déroulant puis déplacer les points A et B du repère pour qu’ils correspondent aux points de l’énoncé. Il ne reste plus qu’à lire les coordonnées du vecteur dans la colonne Algèbre.

a. $A(1;0) ; B(5;2)$

b. $A(1;-2) ; B(-2;2)$

c. $A(-1;0) ; B(2;-1)$

d. $A(-2;-3) ; B(2;5)$

Exercice n°2

Soient $A(-2;3), B(2;4), C(4;2), D(0;1)$ quatre points du plan

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Avant de se lancer dans les calculs, utiliser la fenêtre géogébra ci-dessus. Cliquer gauche sur le troisième onglet en haut à gauche , sélectionner Vecteur dans le menu déroulant puis cliquer gauche sur le point A d’abord puis sur B dans le repère . Il ne reste plus qu’à lire les coordonnées du vecteur dans la colonne Algèbre.

2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$ .

Avant de se lancer dans les calculs, utiliser la fenêtre géogébra ci-dessus. Cliquer gauche sur le troisième onglet en haut à gauche , sélectionner Vecteur dans le menu déroulant puis cliquer gauche sur le point D d’abord puis sur C dans le repère . Il ne reste plus qu’à lire les coordonnées du vecteur dans la colonne Algèbre.

3. Comparer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ . Que conclure pour le quadrilatère $ABCD$ .

Exercice n°3

Soient $A(-1;2), B(4;3), C(6;-1), D(1;-2)$ quatre points du plan.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ .

3. Que constate-t-on ?

Exercice n°4

Soient $A(1;3), B(4;-3), C(6;2)$ trois points du plan.

On s’intéresse au point $M$ défini par l’égalité vectorielle suivante $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{CA}$ .

Placer le point $M$ dans le repère ci-dessus. Puis déterminer graphiquement ses coordonnées.

2. Le but de cette question est de déterminer les coordonnées du point $M$ par le calcul. On ne peut pas utiliser les résultats de la question 1.

On peut s’inspirer de la vidéo suivante

Contairemant à la vidéo où il n’y a qu’une question, la question 2 est divisée en sous-questions. Comme on ne connaît pas les coordonnées du point $M$ on va les nommer $x$ et $y$ .

a. Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BM}$ en fonction de $x$ et $y$ .

b. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CA}$ puis les coordonnées du vecteur $2\overrightarrow{CA}$ .

c. Résoudre les équations : $x-4=-10$ et $y+3=2$ .

d. Déduire des questions précédentes les coordonnées du point $M$ .

Exercice n°5

Soient $A(2;-1), B(4;2), C(-2;1)$ trois points du plan.

On s’intéresse au point $M$ défini par l’égalité vectorielle suivante $\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ .

Placer le point $M$ dans le repère ci-dessus. Puis déterminer graphiquement ses coordonnées.

2. Le but de cette question est de déterminer les coordonnées du point $M$ par le calcul. On ne peut pas utiliser les résultats de la question 1. Comme on ne connaît pas les coordonnées du point $M$ on va les nommer $x$ et $y$ .

a. Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BM}$ en fonction de $x$ et $y$ .

b. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CA}$ puis les coordonnées du vecteur $-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ .

c. Résoudre les équations : $x-4=-2$ et $y-2=1$ .

d. Déduire des questions précédentes les coordonnées du point $M$ .

Exercice n°6

Soient $A(1;3), B(4;0), C(1;-3)$ trois points du plan.

On s’intéresse au point $M$ défini par l’égalité vectorielle suivante $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Placer le point $M$ dans le repère ci-dessus. Puis déterminer graphiquement ses coordonnées.

a. Exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BM}$ en fonction de $x$ et $y$ .

b. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis les coordonnées du vecteur $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .

c. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ puis les coordonnées du vecteur $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

d. En déduire les coordonnées du vecteur $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

e. Résoudre les équations : $x-1=1$ et $y-3=-3$ .

f. Déduire des questions précédentes les coordonnées du point $M$ .

Exercice n°7

Dans chaque cas, déterminer si les trois points sont alignés. Justifier par un calcul.

a. $A(-1;2), B(6;0), C(\frac{19}{2};-1)$

b. $A(-2;-1), B(2;1), C(3;\frac{3}{2})$

c. $A(0;4), B(3;5), C(7;6)$

Exercice n°8

Dans chaque cas, déterminer si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Justifier par un calcul.

a) $A(1;2), B(5;3), C(2;-1); D(10;1)$

b) $A(1;4), B(5;2), C(2;-1); D(4;-2)$

c) $A(1;3), B(6;1), C(0;-1); D(4;-2)$

Exercice n°9

Soient $A(-3;2), B(1;0), C(-4;-1)$ trois points du plan.

On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ .

Le point $J$ est défini par l’égalité vectorielle suivante: $\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AC}$

Placer les points $I$ et $J$ dans le repère ci-dessus. Puis déterminer graphiquement ses coordonnées.

2. Calculer les coordonnées du point $I$ .

3. Calculer les coordonnées du point $J$ .

4.a. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IC}$ .

4.b. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BJ}$ .

4.c. Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{IC}$ et $\overrightarrow{BJ}$ . Qu’en déduire pour les vecteurs $\overrightarrow{IC}$ et $\overrightarrow{BJ}$ ? Puis qu’en déduire pour les droites $(IC)$ et $(BJ)$ ?

Exercice n°10

Soient $A(0;1), B(0;-2), C(2;0)$ trois points du plan.

On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ .

Le point $J$ est défini par l’égalité vectorielle suivante: $\overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$

Placer les points $I$ et $J$ dans le repère ci-dessus. Puis conjecturer graphiquement leurs coordonnées.

2. Calculer les coordonnées du point $I$ (on ne peut pas utiliser le résultat de la question précédente).

3. Calculer les coordonnées du point $J$ (on ne peut pas utiliser le résultat de la question n°1).

4.a. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CI}$ .

4.b. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CJ}$ .

4.c. Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CJ}$ . Qu’en déduire pour les vecteurs $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CJ}$ ? Puis qu’en déduire pour les points $C$ , $I$ et $J$ ?

Exercice n°11

Soient $A(-2;3), B(-8;-1), C(-2;-5)$ trois points du plan. On s’intéresse au triangle $ABC$ et à son centre de gravité $G$ .

Construire le triangle $ABC$ le repère ci-dessous. On complètera la figure au fur et à mesure.

Pour placer A, cliquer gauche sur le deuxième onglet en haut à gauche , sélectionner Point dans le menu déroulant puis cliquer gauche dans le repère au point de coordonnées $(-2;3)$ . Procéder de même pour les points B et C.

Pour tracer le triangle $ABC$ , cliquer gauche sur le cinquième onglet en haut à gauche , sélectionner Polygone dans le menu déroulant puis cliquer gauche dans le repère sur le point A, le point B, le point C et à nouveau sur le point A.

2. a. Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu de $[BC]$ qu’on appelera $I$ .

Pour placer I, cliquer gauche sur le deuxième onglet en haut à gauche , sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant puis cliquer gauche dans le repère sur le point B et sur le point C.

Le logiciel le nomme D, cliquer droit sur ce point et sélectionner Renommer dans le menu déroulant puis l’appeler I.

2. b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point $G$ défini par l’égalité vectorielle suivante : $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ .

Pour construire le point $G$ défini par l’égalité vectorielle $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$

Cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et sur le point $I$ .

Cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et écrire $3AI/2$ dans la case Rayon .

On choisit ensuite le point d’intersection du cercle et de la droite pour lequel $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AI}$ ont même sens car $\frac{2}{3}$ est positif.

J’obtiens alors le point $G$ .

3. a. Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu de $[AB]$ qu’on appelera $K$ .

Pour placer K, cliquer gauche sur le deuxième onglet en haut à gauche , sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant puis cliquer gauche dans le repère sur le point A et sur le point B.

Le logiciel le nomme E, cliquer droit sur ce point et sélectionner Renommer dans le menu déroulant puis l’appeler K.

3.b. Montrer que les points $C,K,G$ sont alignés.

Cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $C$ et sur le point $K$ . S’assurer que cette droite passe par $G$ .

4. Montrer par le calcul que $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

Pour construire le point $M$ défini par l’égalité vectorielle $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

A partir de A, je reporte un vecteur égal à $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et sur le point $B$ .

Puis cliquer gauche sur le 8ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et sur le point $B$ .

Enfin cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et écrire $AB/3$ dans la case Rayon .

Construire le vecteur égal à $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

2. A la suite du vecteur tracé précédemment, je reporte un vecteur égal à $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

a) je construis le vecteur $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et sur le point $C$ .

Enfin cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et écrire $AC/3$ dans la case Rayon .

Construire le vecteur égal à $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

b) je construis un représentant du vecteur $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Enfin cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Représentant dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur l’extrémité du vecteur $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et sur le vecteur $\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

On obtient alors le point M.

Par lecture graphique, $M(2;0)$ .

Construire le point $I$ le milieu de $[AB]$ .

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 2ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et sur le point $B$ . Cliquer droit sur le milieu, sélectionner Renommer dans le menu déroulant et appeler le point $I$ .

2. Pour construire le point $J$ défini par l’égalité vectorielle $\overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$

A partir de C, je reporte un vecteur égal à $2\overrightarrow{CA}$

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $A$ et sur le point $C$ .

Enfin cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point $C$ et écrire $2CA$ dans la case Rayon .

Construire le vecteur égal à $2\overrightarrow{CA}$ et nommer $F$ son extrémité.

2. A la suite du vecteur tracé précédemment, je reporte un vecteur égal à $2\overrightarrow{CB}$

a) je construis le vecteur $2\overrightarrow{CB}$

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $C$ et sur le point $B$ .

Puis cliquer gauche sur le 8ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point $C$ et sur le point $B$ .

Enfin cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point $C$ et écrire $2CB$ dans la case Rayon .

Construire le vecteur égal à $2\overrightarrow{CB}$

b) je construis un représentant du vecteur $2\overrightarrow{CB}$ à la suite du vecteur $2\overrightarrow{CA}$

Enfin cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Représentant dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur $F$ l’extrémité du vecteur $2\overrightarrow{CA}$ et sur le vecteur $2\overrightarrow{CB}$ .

On obtient alors le point $J$ .