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1.Résoudre une équation du second degré. Exercices

Un petit conseil, avant de vous lancer dans le calcul de \Delta, faire une conjecture graphique en utilisant la fenêtre Géogébra ci-dessous . N’hésitez pas à déplacer le graphique et à uliliser Agrandissement et Réduction pour faire apparaître les points d’intersection éventuels.

Exercice  :

En utilisant le théorème du cours résoudre les équations suivantes :

  1. x^2-6x-7=0
correction

2. 49-14x+x^2=0

correction

3. x^2+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{2}

correction

4. 3x^2-3=-2x

correction

5. x^2=x+1

correction

6. \frac{x^2}{2}+2x+2=0

correction

7. \frac{x^2}{2}+\frac{x}{3}+\frac{1}{5}=0

correction

8. \frac{x^2}{3}+\frac{x}{2}-\frac{5}{6}=0

correction

Pour valider votre réponse, utiliser la page Calcul Formel de Géogébra ci-dessous:

©2020 – Math’O karé SAS

  l’équation x^2-6x-7=0 est de la forme ax^2+bx+c=0

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-6 et c=-7.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-6),(-7).

\Delta=(-6)²-4\times{1}\times{(-7)}\\\Delta=36+28\\\Delta=64

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-6)  , 64.

x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{64}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{6-8}{2}\\x_1=\frac{-2}{2}\\x_1=-1

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-6)  , 64.

x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{64}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{6+8}{2}\\x_2=\frac{14}{2}\\x_2=7

Je conclus S=\{-1;7\}

 

 L’équation 49-14x+x^2=0 n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut ordonner le polynôme : x^2-14x+49=0

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-14 et c=49.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-14), 49  .

\Delta=(-14)²-4\times{1}\times{49}\\\Delta=196-196\\\Delta=0

comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} .

Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b  par 1, (-14).

x_0=-\frac{(-14)}{2\times1}\\x_0=\frac{14}{2}\\x_0=7

Je conclus S=\{7\}

 L’équation x^2+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{2} n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut tout faire passer à gauche :

x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=0

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=\frac{3}{4} et c=\frac{1}{2}.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1,\frac{3}{4},\frac{1}{2}.

\Delta=(\frac{3}{4})²-4\times{1}\times{\frac{1}{2}}\\\Delta=\frac{9}{16}-2

Pour ajouter ces fractions, on choisit 16 comme dénominateur commun.

\Delta=\frac{9}{16}-{2}\times \frac{16}{16}\\\Delta=\frac{9}{16}-\frac{32}{16}\\\Delta=-\frac{23}{16}

comme \Delta<0 , l’équation n’admet pas de solution

Je conclus S=\emptyset

  L’équation 3x^2-3=-2x n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut tout faire passer à gauche et ordonner le polynôme :

3x^2+2x-3=0

J’identifie les coefficients l’équation a=3, b=2 et c=-3.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 3, 2,(-3).

\Delta=2²-4\times{3}\times{(-3)}\\\Delta=4+36\\\Delta=40

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 2 , 40.

x_1=\frac{-2-\sqrt{40}}{2\times{1}}

Comme 40=4\times 10, on peut écrire \sqrt{40}=\sqrt{4}\sqrt{10}=2\sqrt{10}

x_1=\frac{-2-2\sqrt{10}}{2}

On peut simplifier par 2 en haut et en bas, mieux vaut mettre 2 en facteur au numérateur pour éviter les erreurs de calcul.

x_1=\frac{2\times{(-1-\sqrt{10})}}{2}

x_1=-1-\sqrt{10}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 2 , 40.

x_2=\frac{-2+\sqrt{40}}{2\times{1}}

Comme 40=4\times 10, on peut écrire \sqrt{40}=\sqrt{4}\sqrt{10}=2\sqrt{10}

x_2=\frac{-2+2\sqrt{10}}{2}

On peut simplifier par 2 en haut et en bas, mieux vaut mettre 2 en facteur au numérateur pour éviter les erreurs de calcul.

x_2=\frac{2\times{(-1+\sqrt{10})}}{2}

x_2=-1+\sqrt{10}

Je conclus S=\{-1-\sqrt{10};-1+\sqrt{10}\}

 

  L’équation x^2=x+1 n’est pas de la forme ax^2+bx+c=0, il faut tout faire passer à gauche et ordonner le polynôme :

x^2-x-1=0

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-1 et c=-1.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-1),(-1).

\Delta=(-1)²-4\times{1}\times{(-1)}\\\Delta=1+4\\\Delta=5

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1) , 5.

x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{5}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-1) , 5.

x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{5}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, c’est le célèbre nombre d’or.

Je conclus S=\{\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\}

 

 L’équation \frac{x^2}{2}+2x+2=0 est de la forme ax^2+bx+c=0.

J’identifie les coefficients l’équation a=\frac{1}{2}, b=2 et c=2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par \frac{1}{2}, 2, 2  .

\Delta=2²-4\times{\frac{1}{2}}\times{2}\\\Delta=4-4\\\Delta=0

comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} .

Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b  par \frac{1}{2}, 2.

x_0=-\frac{2}{2\times{\frac{1}{2}}}\\x_0=-\frac{2}{1}\\x_0=-2

Je conclus S=\{-2\}

 L’équation \frac{x^2}{2}+\frac{x}{3}+\frac{1}{5}=0 est de la forme ax^2+bx+c=0.

J’identifie les coefficients l’équation a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{3} et c=\frac{1}{5}.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}.

\Delta=(\frac{1}{3})²-4\times{\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{5}}\\\Delta=\frac{1}{9}-\frac{4}{10}

Pour ajouter ces fractions, on choisit 90 comme dénominateur commun.

\Delta={\frac{1}{9}}\times \frac{10}{10}-{\frac{4}{10}}\times \frac{9}{9}\\\Delta=\frac{10}{90}-\frac{36}{90}\\\Delta=-\frac{26}{90}

On simplifie par 2.

\Delta=-\frac{13}{45}

comme \Delta<0 , l’équation n’admet pas de solution

Je conclus S=\emptyset

  L’équation \frac{x^2}{3}+\frac{x}{2}-\frac{5}{6}=0 est de la forme ax^2+bx+c=0.

J’identifie les coefficients l’équation a=\frac{1}{3}, b=\frac{1}{2} et c=-\frac{5}{6}.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par \frac{1}{3}, \frac{1}{2},(-\frac{5}{6}).

\Delta=(\frac{1}{2})²-4\times{\frac{1}{3}}\times{(-\frac{5}{6})} 

On effectue la puissance

\Delta=\frac{1}{4}-4\times{\frac{1}{3}}\times{(-\frac{5}{6})} 

Pour effectuer un produit de fractions, on pense à d’abord simplifier, ici par 2.

\Delta=\frac{1}{4}-2\times{\frac{1}{3}}\times{(-\frac{5}{3})} 

\Delta=\frac{1}{4}+\frac{10}{9} 

Pour effectuer la somme on met au même dénominateur, ici 36.

\Delta={\frac{1}{4}}\times{\frac{9}{9}}+{\frac{10}{9}}\times{\frac{4}{4}} 

\Delta=\frac{9}{36}+\frac{40}{36} 

\Delta=\frac{49}{36} 

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par \frac{1}{3}, \frac{1}{2} , \frac{49}{36}.

x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{49}{36}}}{2\times{\frac{1}{3}}}

x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}

x_1=\frac{{-\frac{1}{2}}\times{\frac{3}{3}}-\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}

x_1=\frac{-\frac{3}{6}-\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}

x_1=\frac{-\frac{10}{6}}{\frac{2}{3}}

x_1={-\frac{10}{6}}\times{\frac{3}{2}}

On peut simplifier par 2 et par 3 en haut et en bas.

x_1={-\frac{5}{2}}\times{\frac{1}{1}}

x_1=-\frac{5}{2}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par \frac{1}{3}, \frac{1}{2} , \frac{49}{36}.

x_2=\frac{-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{49}{36}}}{2\times{\frac{1}{3}}}

x_2=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}

x_2=\frac{{-\frac{1}{2}}\times{\frac{3}{3}}+\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}

x_2=\frac{-\frac{3}{6}+\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}

x_2=\frac{\frac{4}{6}}{\frac{2}{3}}

x_1={\frac{4}{6}}\times{\frac{3}{2}}

On peut simplifier par 2 deux fois et par 3 en haut et en bas.

x_2={\frac{1}{1}}\times{\frac{1}{1}}

x_2=1

Je conclus S=\{-\frac{5}{2};1\}

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.