Théorème :
Soit les réels a,b,c avec a\ne o, pour résoudre l’équation ax²+bx+c=0,
on calcule \Delta=b²-4ac
si \Delta<0 , l’équation n’admet pas de solution
si \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée
x_0=-\frac{b}{2a}
si \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Exemple n°1
Résoudre dans \mathbf{R} l’équation : x^2-6x+9=0
Conjecture graphique
déterminons, si c’est possible, la ou les abscisses du ou des point(s) d’intersection de la courbe de la fonction f définie par f(x)=x^2-6x+9 et de l’axe des abscisses.
On conjecture donc graphiquement que l’équation x^2-6x+9=0 admet une solution 3.
Résolution de l’équation par le calcul en utilisant le théorème plus haut.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-6 et c=9.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-6), 9 .
\Delta=(-6)²-4\times{1}\times{9}\\\Delta=36-36\\\Delta=0comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} .
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par 1, (-6).
x_0=-\frac{(-6)}{2\times1}\\x_0=\frac{6}{2}\\x_0=3Je conclus S=\{3\}
Vérifications éventuelles
a. A l’aide de la calculatrice TI-83 Premium CE EDITION PYTHON
b. A l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Sur la ligne 1, taper l’équation x^2-6x+9=0 puis cliquer sur le 7ème onglet X=
Apparaît alors Résoudre {x=3} ce qui représente l’ensemble des solutions de l’équation.
Exemple n°2 :
Résoudre dans \mathbf{R} l’équation : -x^2+2x+3=0
Conjecture graphique
déterminons, si c’est possible, la ou les abscisses du ou des point(s) d’intersection de la courbe de la fonction f définie par f(x)=-x^2+2x+3 et de l’axe des abscisses.
On conjecture donc graphiquement que l’équation -x^2+2x+3=0 admet deux solutions -1 et 3.
Résolution de l’équation par le calcul en utilisant le théorème plus haut.
J’identifie les coefficients l’équation a=-1, b=2 et c=3.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-1), 2 ,3 .
\Delta=2²-4\times{(-1)}\times{3}\\\Delta=4+12\\\Delta=16comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 2 , 16.
x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\times{(-1)}}\\x_1=\frac{-2-4}{-2}\\x_1=\frac{-6}{-2}\\x_1=3Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 2 , 16.
x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\times{(-1)}}\\x_2=\frac{-2+4}{-2}\\x_2=\frac{2}{-2}\\x_2=-1Je conclus S=\{-1;3\}
Vérifications éventuelles
a. A l’aide de la calculatrice TI-83 Premium CE EDITION PYTHON
b. A l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Sur la ligne 1, taper l’équation -x^2+2x+3=0 puis cliquer sur le 7ème onglet X=
Apparaît alors Résoudre {x=-1,x=3} ce qui représente l’ensemble des solutions de l’équation.
Exemple n°3
Résoudre dans \mathbf{R} l’équation : x^2+x+2=0
Conjecture graphique
déterminons, si c’est possible, la ou les abscisses du ou des point(s) d’intersection de la courbe de la fonction f définie par f(x)=x^2+x+2 et de l’axe des abscisses.
On conjecture donc graphiquement que l’équation x^2+x+2=0 n’admet pas de solution.
Résolution de l’équation par le calcul en utilisant le théorème plus haut.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=1 et c=2.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1,1,2 .
\Delta=1²-4\times{1}\times{2}\\\Delta=1-8\\\Delta=-7comme \Delta<0 , l’équation n’admet pas de solution
Je conclus S=\emptyset
Vérifications éventuelles
a. A l’aide de la calculatrice TI-83 Premium CE EDITION PYTHON
b. A l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Sur la ligne 1, taper l’équation x^2+x+2=0 puis cliquer sur le 7ème onglet X=
Apparaît alors Résoudre {} ce qui représente l’ensemble vide c’est-à-dire qu’il n’y a pas de solution.
