1. Dérivation et opérations

ANALYSE, Dérivation, Niveau première, Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, inverse, quotient.

Propriétés

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

Exercice n°1 (dérivée d’une somme)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)

$f(x)=x^2+2x+1$

pour $x \in \mathbf{R}$

2. $f(x)=-4x^2+\sqrt{2}x+4$

pour $x \in \mathbf{R}$

3. $f(x)=2x^3-\frac{x}{3}+8.2$

pour $x \in \mathbf{R}$

4. $f(x)=x^3+\frac{1}{x}$

pour $x \in ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$

5. $f(x)=\frac{2}{3}x^3+\sqrt{x}$

pour $x \in ]0;+\infty[$

6. $f(x)=2\sqrt{x}+\frac{4}{x} \\x \in ]0;+\infty[$

Exercice n°2 (dérivée d’un produit)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)

$f(x)=x^2\sqrt{x}$

pour $x \in ]0;+\infty[$

2. $f(x)=(\sqrt{x}-1)(x^3-2)$

pour pour $x \in ]0;+\infty[$

3. $f(x)= (2x-1)(x+1)$

pour $x \in \mathbf{R}$

Exercice n°3 (dérivée de l’inverse)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)

$f(x)= \frac{1}{-5x+10}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $2$

2. $f(x)= \frac{1}{x^2-2x+4}$ pour $x\in \mathbf{R}$

3. $f(x)= \frac{5}{x^3+1}$ pour $x\in \mathbf{R}$

Exercice n°4 (dérivée d’un quotient)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)

$f(x)= \frac{2x-1}{x-2}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $2$

2. $f(x)=\frac{3x+2}{x+3}$

pour $x \in \mathbf{R}$ privé de $-3$

3. $f(x)=\frac{2x-1}{x^2+x}$

pour $x \in ]0;+\infty[$

Valider avec l’application Calcul Formel de géogébra

Par exemple, pour vérifier le résultat de l’exo 1.1, taper

$f(x)=x^2+2x+1$ sur la ligne 1 puis cliquer sur l’onglet $f’$ ( le 9ème en partant de la gauche).

S’affiche alors Dérivée: $f'(x)=2x+2$

$f(x)= x^2\sqrt{x}$ pour $x\in ]0;+\infty[$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=\sqrt{x}$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=x^2$ est une fonction de référence, on utilise la ligne carré du tableau n°2 ci-dessous

$u'(x)=2x$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=\sqrt{x}$ est une fonction de référence, on utilise la ligne racine carrée du tableau n°2 ci-dessous

$v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $x^2$ , $v$ par $\sqrt{x}$ , $u’$ par $2x$ et $v’$ par $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

$f'(x)=2x\times{\sqrt{x}}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (x^2\sqrt{x})’\\f'(x)=(x^2)’\times{\sqrt{x}}+x^2\times{\sqrt{x}’} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}

On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !

On peut simplifier le deuxième terme de la somme par $\sqrt{x}$

f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}}\times{\frac{1}{2}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{2}

On peut mettre au même dénominateur, ici 2

f'(x)={2x\sqrt{x}}\times{\frac{2}{2}}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{{2x\sqrt{x}}\times 2}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{4x\sqrt{x}}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}

$f(x)= (\sqrt{x}-1)(x^3+2)$ pour $x\in ]0;+\infty[$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=\sqrt{x}-1$ et $v(x)=x^3+2$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=\sqrt{x}-1$ est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau

$u'(x)=(\sqrt{x}-1)’$

$\hspace{0.9cm}=(\sqrt{x})’-(1)’$

$\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-0$

$\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x^3+2$ est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau

$v'(x)=(x^3+2)’$

$\hspace{0.9cm}=(x^3)’+(2)’$

$\hspace{0.9cm}=3x^2+0$

$\hspace{0.9cm}=3x^2$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $\sqrt{x}-1$ , $v$ par $x^3+2$ , $u’$ par $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v’$ par $3x^2$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^3+2)}+{(\sqrt{x}-1)}\times{3x^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= ((\sqrt{x}-1)(x^3+2))’\\f'(x)=(\sqrt{x}-1)’\times{(x^3+2)}+(\sqrt{x}-1)\times{(x^3+2)’} \\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^3+2)}+(\sqrt{x}-1)\times{3x^2}

On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !

f'(x)=\frac{x^3}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{2\sqrt{x}}+3x^2\sqrt{x}-3x^2

On simplifie la première fraction en haut et en bas par $\sqrt{x}$ et la deuxième par $2$

f'(x)=\frac{x^2\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^2\sqrt{x}-3x^2\\f'(x)=\frac{7x^2\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-3x^2

$f(x)= \frac{1}{-5x+10}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $2$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’inverse d’une fonction $\frac{1}{ u}$ avec $u(x)=-5x+10$ .

On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=-5x+10$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(-5x+10)’$

$u'(x)=(-5x)’+(10)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(-5x)’$ par $-5(x)’$

$u'(x)=-5(x)’+(10)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=-5\times1+0$

$u'(x)=-5$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $-5x+10$ , $u’$ par $-5$ dans la formule $-\frac{u’}{u^2}$

$f'(x)=-\frac{-5}{(-5x+10)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{1}{-5x+10})’\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-5x+10)’}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-5x)’+(10)’}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-5(x)’+0}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{{-5}\times{1}}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-5}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{5}{(-5x+10)^2}

$f(x)= \frac{1}{x^2-2x+4}$ pour $x\in \mathbf{R}$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’inverse d’une fonction $\frac{1}{ u}$ avec $u(x)=x^2-2x+4$ .

On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=x^2-2x+4$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(x^2-2x+4)’$

$u'(x)=(x^2)’-(2x)’+(4)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(2x)’$ par $2(x)’$

$u'(x)=(x^2)’-2(x)’+(4)’$

On utilise les lignes 1 (constante) ,2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=2x-2\times 1+0$

$u'(x)=2x-2$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $x^2-2x+4$ , $u’$ par $2x-2$ dans la formule $-\frac{u’}{u^2}$

$f'(x)=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+4)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{1}{x^2-2x+4})’\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2-2x+4)’}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2)’-(2x)’+(4)’}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2x-2(x)’+0}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2x-{2}\times{1}}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+4)^2}

$f(x)= \frac{5}{x^3+1}$ pour $x\in \mathbf{R}$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

La tentation de répondre quotient est grande, cependant le numérateur ne dépend pas de $x$ donc on va plutôt dire que c’est le produit d’un réel par une fonction.

Avec $k=5$ et $u(x)= \frac{1}{x^3+1}$

On va utiliser la ligne n°2 ( produit d’une constante par une fonction) du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)= \frac{1}{x^3+1}$ est l’inverse d’une fonction , on utilise la 4ème ligne du tableau n°1

$u'(x)= (\frac{1}{x^3+1})’$

$\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^3+1)’}{(x^3+1)^2}$

$\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^3)’+(1)’}{(x^3+1)^2}$

$\hspace{0.8cm}=-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $k$ par $5$ , $u’$ par $-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}$ dans la formule $ku’$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{5}{x^3+1})’\\\hspace{0.8cm}=5(\frac{1}{x^3+1})’\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^3+1)’}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^3)’+(1)’}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{3x^2+0}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=-\frac{15x^2}{(x^3+1)^2}

$f(x)= \frac{2x-1}{x-2}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $2$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions $\frac{u}{ v}$ avec $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x-2$ .

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=2x-1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(2x-1)’$

$u'(x)=(2x)’-(1)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(2x)’$ par $2(x)’$

$u'(x)=2(x)’-(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=2\times1+0$

$u'(x)=2$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x-2$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$v'(x)=(x-2)’$

$v'(x)=(x)’-(2)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$v'(x)=1-0$

$v'(x)=1$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $2x-1$ , $v$ par $x-2$ , $u’$ par $2$ et $v’$ par $1$ dans la formule $\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

$f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{2x-1}{x-2})’\\f'(x)=\frac{(2x-1)’\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{(x-2)’}}{(x-2)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{2x-4-(2x-1)}{(x-2)^2}$

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{2x-4-2x+1}{(x-2)^2}$

On réduit au numérateur

$f'(x)=-\frac{3}{(x-2)^2}$

$f(x)= \frac{3x+2}{x+3}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $-3$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions $\frac{u}{ v}$ avec $u(x)=3x+2$ et $v(x)=x+3$ .

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=3x+2$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(3x+2)’$

$u'(x)=(3x)’+(2)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(3x)’$ par $3(x)’$

$u'(x)=3(x)’+(2)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=3\times1+0$

$u'(x)=3$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x+3$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$v'(x)=(x+3)’$

$v'(x)=(x)’+(3)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$v'(x)=1+0$

$v'(x)=1$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $3x+2$ , $v$ par $x+3$ , $u’$ par $3$ et $v’$ par $1$ dans la formule $\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

$f'(x)=\frac{3\times{(x+3)}-{(3x+2)}\times{1}}{(x+3)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{3x+2}{x+3})’\\f'(x)=\frac{(3x+2)’\times{(x+3)}-{(3x+2)}\times{(x+3)’}}{(x+3)^2}\\f'(x)=\frac{3\times{(x+3)}-{(3x+2)}\times{1}}{(x+3)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{3x+9-(3x+2)}{(x+3)^2}$

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{3x+9-3x-2}{(x+3)^2}$

On réduit au numérateur

$f'(x)=\frac{7}{(x+3)^2}$

$f(x)= \frac{2x-1}{x^2+x}$ pour $x\in ]0;+\infty[$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions $\frac{u}{ v}$ avec $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x^2+x$ .

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=2x-1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(2x-1)’$

$u'(x)=(2x)’-(1)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(2x)’$ par $2(x)’$

$u'(x)=2(x)’-(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=2\times1-0$

$u'(x)=2$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x^2+x$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$v'(x)=(x^2+x)’$

$v'(x)=(x^2)’+(x)’$

On utilise les lignes 2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$v'(x)=2x+1$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $2x-1$ , $v$ par $x^2+x$ , $u’$ par $2$ et $v’$ par $2x+1$ dans la formule $\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

$f'(x)=\frac{2\times{(x^2+x)}-{(2x-1)}\times{(2x+1)}}{(x^2+x)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{2x-1}{x^2+x})’\\f'(x)=\frac{(2x-1)’\times{(x^2+x)}-{(2x-1)}\times{(x^2+x)’}}{(x^2+x)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x^2+x)}-{(2x-1)}\times{(2x+1)}}{(x^2+x)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Le deuxième produit est une identité remarquable. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{2x^2+2x-(4x^2-1)}{(x^2+x)^2}$

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{2x^2+2x-4x^2+1}{(x^2+x)^2}$

On réduit au numérateur

$f'(x)=\frac{-2x^2+2x+1}{(x^2+x)^2}$

1. Dérivation et opérations

Sommaire

Propriétés

Exercice n°1 (dérivée d’une somme)

Exercice n°2 (dérivée d’un produit)

Exercice n°3 (dérivée de l’inverse)

Exercice n°4 (dérivée d’un quotient)

Valider avec l’application Calcul Formel de géogébra