1. Dérivation, sécantes et tangente.

Sommaire

Aspect algébrique du nombre dérivé : la limite du taux de variation.

Activité d’approche avec la fonction carré

Le but de cette question est d’ exprimer en fonction de h, le coefficient de la droite (AM).

  1. Lire graphiquement les coordonnées du point A puis déterminer les coordonnées du point M en fonction de h. Aide : l’abscisse de M est 1+h .

2. Montrer que le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à 2+h. On appelle aussi taux de variation la quantité obtenue.

3. Vers quelle valeur se rapproche le coefficient directeur de la droite (AM) quand les valeurs de  h se rapprochent de 0 sans être égales à zéro ? On verra plus tard que cette valeur est notée f'(1).

Définition 1

Le taux de variation de f entre a et a+h est le nombre

t(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Ce nombre est la pente de la droite (AM) sécante à la courbe passant par  A et M.

Définition 2

Si le taux de variation t(h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a. Ce nombre est appelé nombre dérivé en a et est noté f'(a). On écrit 

f'(a)=lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Remarque : Nous avons établi , dans l’activité d’approche que le nombre  dérivé en 1 pour la fonction carré est égal à 2

Exercice n°1 (démonstration au programme)

On se propose de déterminer le nombre f'(a) pour la fonction carré.

  1. Montrer que \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a +h

2. Vers quelle valeur se rapproche 2a +h quand  h se rapproche de 0 ? En déduire f'(a).

Synthèse de l’exercice n°1

La fonction carré définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2 admet pour fonction dérivée f'(x)=2x définie sur \mathbf{R}.

Exercice n°2 (démonstration au programme)

On se propose de déterminer le nombre f'(a) pour la fonction inverse.

  1. Montrer que \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=-\frac{1}{a(a+h)}

2. Vers quelle valeur se rapproche -\frac{1}{a(a+h)} quand  h se rapproche de 0 ? En déduire f'(a).

Synthèse de l’exercice n°2

La fonction inverse définie sur \mathbf{R}^* par f(x)=\frac{1}{x} admet pour fonction dérivée f'(x)=-\frac{1}{x^2} définie sur \mathbf{R}^* .

Exercice n°3 (démonstration hors programme)

On se propose de déterminer le nombre f'(a) pour la fonction cube.

  1. Montrer que (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

2. Montrer que \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=3a^2+3ah+h^2

3. Vers quelle valeur se rapproche 3a^2+3ah+h^2 quand  h se rapproche de 0 ? En déduire f'(a).

Synthèse de l’exercice n°3

La fonction cube définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^3 admet pour fonction dérivée f'(x)=3x^2 définie sur \mathbf{R}.

Aspect graphique du nombre dérivé : le coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point. 

Activité d’approche avec la fonction carré

De façon naïve la droite (AM) coupe la courbe en deux points A et M , on dit que c’est une sécante.

Toujours de façon naïve, quand la droite touche la courbe en seul point, on dit que c’est une tangente ( penser à la tangente à un cercle).

En utilisant la figure Géogébra ci-dessous, où est représentée la courbe de la fonction carré, déplacer le point M en le faisant se rapprocher de A. Observer les valeurs du coefficient directeur de la droite (AM) dans la colonne de gauche.

Lorsque M se déplace vers A, vers quelle valeur se rapprochent les valeurs du coefficient directeur de la droite (AM)?

Remarque : quand M est presque confondu avec A, la droite (AM) se rapproche de la tangente.

Définition 2

La tangente à la courbe de la fonction f au point A d’abscisse a est la droite passant par A et de pente f'(a).

Propriété

Si une fonction f est dérivable en  a alors la tangente à la courbe en A(a;f(a)) a pour équation 

y=f'(a)(x-a)+f(a).

Pour déterminer  l’image d’un nombre  avec la calculatrice TI-83 Premium CE 

Par exemple, déterminer f(2) avec la calculatrice TI-83 Premium CE quand  f(x)=x^2-2x+6.

Pour déterminer  un nombre dérivé  avec la calculatrice TI-83 Premium CE 

Par exemple, déterminer f'(2) avec la calculatrice TI-83 Premium CE quand  f(x)=x^2-2x+6.

Exercice n°4 

On se propose de déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction carré  au point d’abscisse 

  1. Calculer f(1) 

2. Calculer f'(1). Dans la synthèse de l’exercice n°1, on a établi que la fonction carré définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2 admet pour fonction dérivée f'(x)=2x définie sur \mathbf{R}.

3. En remplaçant f(1) et f'(1) par les valeurs trouvées dans les questions précédentes dans l’équation y=f'(a)(x-a)+f(a) , déterminer l’équation réduite de la tangente.

Exercice n°5

On se propose de déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point d’abscisse 2 

  1. Calculer f(2) 

2. Calculer f'(2). Dans la synthèse de l’exercice n°2, on a établi que la fonction inverse définie sur \mathbf{R}^* par f(x)=\frac{1}{x} admet pour fonction dérivée f'(x)=-\frac{1}{x^2} définie sur \mathbf{R}^* .

3. En remplaçant f(2) et f'(2) par les valeurs trouvées dans les questions précédentes dans l’équation y=f'(a)(x-a)+f(a) , déterminer l’équation réduite de la tangente.

Exercice n°6

On se propose de déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction cube au point d’abscisse -1 

  1. Calculer f(-1) 

2. Calculer f'(-1). Dans la synthèse de l’exercice n°2, on a établi que la fonction cube définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^3 admet pour fonction dérivée f'(x)=3x^2 définie sur \mathbf{R}.

3. En remplaçant f(-1) et f'(-1) par les valeurs trouvées dans les questions précédentes dans l’équation y=f'(a)(x-a)+f(a) , déterminer l’équation réduite de la tangente.

Valider avec Géogébra les résultats des exercices 4, 5 et 6. 

Dans la colonne Algèbre située à gauche, saisir par exemple f(x)=x^2, la courbe apparaît dans le repère.

Placer le point A de la courbe d’abscisse 1. Pour cela cliquer sur le deuxième onglet en partant de la gauche et sélectionner Point sur Objet dans le menu déroulant. Cliquer ensuite au bon endroit sur la courbe pour obtenir le point A.

Pour tracer la tangente, cliquer sur le quatrième onglet en partant de la gauche et sélectionner Tangentes dans le menu déroulant. Cliquer ensuite sur le point A et sur la courbe. La tangente apparaît et son équation aussi dans la colonne de gauche.

Les deux points sont sur la courbe de la fonction carré.

Donc A(1;1^2) ou A(1;1)

et M(1+h;(1+h)^2).

La droite (AM) passe par A(1;1) et M(1+h;(1+h)^2)

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi

\hspace{0.7cm} x_{A} y_{A} \hspace{1.1cm} x_{M} y_{M}

\hspace{0.4cm} A(1;1) \hspace{0.4cm} M(1+h;(1+h)^2)

Je compare x_{A} et x_{M}

\hspace{0.4cm} x_{A} \neq x_{M} car \hspace{0.4cm} 1 \neq 1+h

Je peux donc calculer le coefficient directeur , en utilisant la formule suivante:

\hspace{2cm} a=\frac{y_{M}-y_{A}} {x_{M}-x_{A}}

On prend soin ensuite de remplacer les lettres par les bons nombres ou les bonnes lettres. Si le nombre est négatif, je prends l’habitude de l’écrire entre parenthèses.

a=\frac{(1+h)^2-1} {1+h-1} \\ \hspace{0.3cm}=\frac{(1+h)^2-1} {h}

On développe (1+h)^2 en utilisant l’identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

\hspace{0.3cm}=\frac{1+2h+h^2-1} {h} \\ \hspace{0.3cm}=\frac{2h+h^2} {h}

On simplifie par h , pour faciliter les calculs, mieux vaut mettre h en facteur au numérateur.

\hspace{0.3cm}=\frac{h(2+h)} {h} \\ \hspace{0.3cm}=2+h

 

 

Dans le tableur ci-dessous, on constate que quand les valeurs de h se rapprochent de 0, les valeurs de 2+h se rapprochent de 2.

Ainsi le coefficient directeur de la droite (AM) se rapproche de 2.

Il faut montrer que \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a +h\\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}

On utilise l’identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

\hspace{1.7cm}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}

On réduit le numérateur

\hspace{1.7cm}=\frac{2ah+h^2}{h}

On simplifie la fraction par h, pour ne pas se tromper mieux vaut mettre h en facteur au numérateur d’abord.

\hspace{1.7cm}=\frac{h(2a+h)}{h}

On simplifie

\hspace{1.7cm}=2a+h

Lorsque les valeurs de h se rapprochent de 0, les valeurs de 2a+h se rapprochent de 2a.

Donc \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a.

Donc f'(a)=2a

Il faut montrer que \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=-\frac{1}{a(a+h)}\\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}

Pour ajouter \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}, on met au même dénominateur, ici (a+h)\times{a}

\hspace{1.7cm}=\frac{{\frac{1}{a+h}}\times { \frac{a}{a}}-{\frac{1}{a}}\times {\frac{a+h}{a+h}}}{h}\\\hspace{1.7cm}=\frac{\frac{a}{(a+h)a}-\frac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\\hspace{1.7cm}=\frac{\frac{a-a-h}{(a+h)a}}{h}\\\hspace{1.7cm}=\frac{\frac{-h}{(a+h)a}}{h}

Diviser par h revient à multiplier par son inverse \frac{1}{h}

\hspace{1.7cm}=\frac{-h}{(a+h)a}\times \frac{1}{h}

On simplifie par h

\hspace{1.7cm}=\frac{-1}{(a+h)a}

On peut remplacer (a+h)a par a(a+h) car dans une multiplication l’ordre des facteurs ne compte pas 2\times3=3\times2=6

\hspace{1.7cm}=\frac{-1}{a(a+h)}

 

 

Vers quelle valeur se rapproche -\frac{1}{a(a+h)} quand  h se rapproche de 0 ?

Lorsque les valeurs de h se rapprochent de 0, les valeurs de -\frac{1}{a(a+h)} se rapprochent de -\frac{1}{a(a+0)} c’est-à-dire -\frac{1}{a^2} .

Donc \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=-\frac{1}{a^2}.

Donc f'(a)=-\frac{1}{a^2}

(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2

On utilise l’identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=(a+b)(a^2+2ab+b^2)

Pour plus de facilité, on peut développer en utilisant les flèches ci-dessous.

\hspace{1.2cm}=a\times a^2+a\times2ab+a\times b^2+b\times a^2+b\times2ab+b\times b^2

On effectue les produits

\hspace{1.2cm}=a^3+2a^2b+a b^2+b a^2+2ab^2+b^3

On réduit la somme 

\hspace{1.2cm}=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

 

Il faut montrer que \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=3a^2+3ah+h^2\\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^3-a^3}{h}

On utilise le résultat de la question 1 : (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

\hspace{1.7cm}=\frac{a^3+3a^2h+3ah^2+h^3-a^3}{h}

On réduit le numérateur

\hspace{1.7cm}=\frac{3a^2h+3ah^2+h^3}{h}

On simplifie la fraction par h, pour ne pas se tromper mieux vaut mettre h en facteur au numérateur d’abord.

\hspace{1.7cm}=\frac{h(3a^2+3ah+h^2)}{h}

On simplifie

\hspace{1.7cm}=3a^2+3ah+h^2

Vers quelle valeur se rapproche 3a^2+3ah+h^2 quand  h se rapproche de 0 ?

Lorsque les valeurs de h se rapprochent de 0, les valeurs de 3a^2+3ah+h^2 se rapprochent de 3a^2+3a\times 0+0^2 c’est-à-dire 3a^2 .

Donc \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=3a^2.

Donc f'(a)=3a^2

 

 

Lorsque le point M se rapproche du point A  les valeurs du coefficient directeur de la droite (AM) se rapprochent de la valeur 2. Ce qui correspond au  f'(1) trouvé avant dans la question n°3 de l’activité précédente.

Pour calculer f(1), je remplace tous les x par 1 dans f(x)=x^2.

f(1)=1^2\\\hspace{0.75cm}=1

Pour calculer f'(1), je remplace tous les x par 1 dans f'(x)=2x.

f'(1)=2\times 1\\\hspace{0.75cm}=2

On remplace a, f(a),f'(a) par leurs résultats 1, 1,2 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=2(x-1)+1

On développe le produit  2(x-1)

y=2x-2+1

On réduit

y=2x-1

 

Pour calculer f(2), je remplace tous les x par 2 dans f(x)=\frac{1}{x}.

f(2)=\frac{1}{2}

 

Pour calculer f'(2), je remplace tous les x par 2 dans f'(x)=-\frac{1}{x^2}.

f'(2)=-\frac{1}{2^2}

\hspace{0.75cm}=-\frac{1}{4}

On remplace a, f(a),f'(a) par leurs résultats 2, \frac{1}{2},-\frac{1}{4} dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{2}

On développe le produit  -\frac{1}{4}(x-2)

y={-\frac{1}{4}}\times {x}+{\frac{1}{4}}\times {2}+\frac{1}{2}\\y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}

On réduit

y=-\frac{1}{4}x+\frac{2}{2}\\y=-\frac{1}{4}x+1

Pour calculer f(-1), je remplace tous les x par (-1) entre parenthèses car c’est un nombre négatif dans f(x)=x^3.

f(-1)=(-1)^3\\\hspace{0.75cm}=-1

Pour calculer f'(-1), je remplace tous les x par (-1) entre parenthèses car c’est un nombre négatif dans f'(x)=3x^2.

f'(-1)=3\times (-1)^2\\\hspace{0.75cm}=3\times 1\\\hspace{0.75cm}=3

On remplace a, f(a),f'(a) par leurs résultats (-1), (-1),3 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=3(x-(-1))+(-1)\\y=3(x+1)-1

On développe le produit  3(x+1)

y=3x+3-1

On réduit

y=3x+2

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.