1. Signe de la dérivée et variations de la fonction.

Sommaire

Variations d’une fonction sur un intervalle

Activité d’approche

On a tracé la courbe d’une fonction définie sur l’intervalle [-2.5;2.5] dans le repère ci-dessous et on a créé un point A sur cette courbe.

Déplacer le point A de la gauche vers la droite en cliquant sur le premier onglet en partant de la gauche et en sélectionnant Déplacer dans le menu déroulant.

  1. Dresser ensuite le tableau de variations sur l’intervalle [-2.5;2.5] à l’aide du graphique. 

Vous pourrez visionner la vidéo ci-dessous si besoin est.

Tracer la tangente à la courbe au point A  en cliquant sur le quatrième onglet en partant de la gauche et en sélectionnant Tangentes dans le menu déroulant. Puis dans le repère cliquer sur la courbe et sur le point A. L’équation réduite de la tangente apparaît dans la colonne de gauche.

Déplacer le point A de la gauche vers la droite en cliquant sur le premier onglet en partant de la gauche et en sélectionnant Déplacer dans le menu déroulant. Et observer le signe du coefficient directeur de la tangente qui est le nombre dérivé.

2. Compléter alors le tableau de signes ci-dessous

Théorème 1 

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle  I et f’ sa dérivée sur I.

Si f est croissante sur I alors pour tout réel x de l’intervalle I , on a f'(x)\geq 0 .

Si f est décroissante sur I alors pour tout réel x de l’intervalle I , on a f'(x)\leq 0 .

Théorème 2 

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle  I et f’ sa dérivée sur I.

Si pour tout réel x de l’intervalle I , on a f'(x)\geq 0 alors f est croissante sur I .

Si  pour tout réel x de l’intervalle I , on a f'(x)\leq 0 alors f est décroissante sur I .

Exercice n°1 

AIDE : Dans cet exercice et les suivants, il faudra calculer f'(x) vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.

De plus il faudra étudier le signe de f'(x) vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.

Soit la fonction f définie sur [0;4] par f(x)=3x^2-12x+4.

  1. Calculer f'(x).

2. Etudier le signe de f'(x) sur [0;4].

3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [0;4].

Exercice n°2 

Soit la fonction f définie sur [-4;4] par f(x)=x^3-12x.

  1. Calculer f'(x).

2. Etudier le signe de f'(x) sur [-4;4].

3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [-4;4].

Valider les variations avec Géogébra

On saisit par exemple

f(x)=3x^2-12x+4 dans la colonne de gauche et on lit graphiquement les variations de f  sur [0;4] puis on compare avec le tableau de variations obtenu.

Si vous ne voyez pas la courbe dans son ensemble, utilisez le 11ème onglet pour déplacer le graphique, agrandir ou réduire.

Extremums d’une fonction ( c’est-à-dire maximum ou minimum)

Activité d’approche

On a tracé la courbe d’une fonction définie sur l’intervalle [-4;7] dans le repère ci-dessous .

  1. Y’a-t-il un point situé plus bas que tous les autres ? Si oui compléter l’inégalité suivante f(x)\geq

On peut déplacer le point A sur la figure ci-dessus et lire dans la colonne de gauche les coordonnées du point situé le plus bas. On peut aussi regarder les ordonnées du point A pour compléter les pointillés.

2. Y’a-t-il un point situé plus haut que tous les autres ? Si oui compléter l’inégalité suivante f(x)\leq

On peut déplacer le point A sur la figure ci-dessus et lire dans la colonne de gauche les coordonnées du point situé le plus haut. On peut aussi regarder les ordonnées du point A pour compléter les pointillés.

Définitions

On considère une fonction f définie sur un intervalle I et \alpha et \beta deux réels de I.

f admet un maximum en \alpha signifie que pour tout x de I, f(x)\leq f(\alpha).

f admet un minimum en \beta signifie que pour tout x de I, f(x)\geq f(\beta).

Interprétation graphique : le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées (\alpha;f(\alpha)) et le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées (\beta;f(\beta))

Extremum local d’une fonction

Activité d’approche

On reprend la courbe de l’activité précédente

  1. a. Quelle est la valeur du maximum sur l’intervalle ouvert  ]-3.5;-2.5[

     b. Déterminer graphiquement la valeur de f'(-3).

Tracer la tangente à la courbe au point A  en cliquant sur le quatrième onglet en partant de la gauche et en sélectionnant Tangentes dans le menu déroulant. Puis dans le repère cliquer sur la courbe et sur le point A. L’équation réduite de la tangente apparaît dans la colonne de gauche.

Déplacer le point A de la gauche vers la droite en cliquant sur le premier onglet en partant de la gauche et en sélectionnant Déplacer dans le menu déroulant. Et observer la valeur du coefficient directeur de la tangente qui est le nombre dérivé au point de la courbe d’abscisse -3.

     c. Quel est le signe de la dérivée pour les valeurs de x inférieures à -3 ? Quel est le signe de la dérivée pour les valeurs de x supérieures  à -3?

2. a. Quelle est la valeur du minimum sur l’intervalle ouvert  ]2;4[

     b. Déterminer graphiquement la valeur de f'(3).

     c. Quel est le signe de la dérivée pour les valeurs de x inférieures à 3 ? Quel est le signe de la dérivée pour les valeurs de x supérieures  à 3?

Définition

On considère une fonction f définie sur un intervalle I .

On dit que la fonction f admet un extrémum local en \alpha  s’il existe un intervalle ouvert J inclus dans I tel que f admette un extremum sur J en \alpha .

exemple : dans l’activité , 2 est un extremum local car c’est un maximum sur l’intervalle ouvert ]-3.5;-2.5[ et -2 est un extremum local car c’est un minimum sur l’intervalle ouvert  ]2;4[

Théorème

On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I et  a un réel de I .

Si f’ s’annule en changeant de signe en a alors  f admet un extremum local en a.

Exemple : Dans l’activité 2, f’ s’annule en -3  en changeant de signe donc f admet un extremum local en -3 , la valeur de cet extremum qui est un maximum est 2.

                  Dans l’activité 2, f’ s’annule en 3  en changeant de signe donc f admet un extremum local en 3 , la valeur de cet extremum qui est un minimum est -2.

Théorème

On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I et un réel  a de I.

Si f admet un extremum local en a  alors f'(a)=0 et la tangente à la courbe au point d’abscisse a est parallèle à l’axe des abscisses.

Vérification du calcul de la dérivée f'(x) avec Géogébra.

Sur la ligne 1, saisir l’expression de la fonction f(x)=

Ensuite cliquer sur l’onglet f’.

Apparaît ensuite dans la fenêtre Dérivée: f'(x)= le résultat.

Vérification du signe de la dérivée f'(x) avec Géogébra.

Un exemple : soit f(x)=x^3-3x.

On calcule f'(x)=3x^2-3

Sur la ligne 1, saisir l’inégalité obtenue en écrivant l’expression de f'(x) suivie de par exemple, >0 c’est-à-dire

3x^2-3>0

En écrivant cette inégalité, on cherche pour quelles valeurs de x   , la dérivée f'(x) est positive.

Ensuite cliquer sur l’onglet X=.

Apparaît ensuite dans la fenêtre Résoudre:  le résultat ( c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles la dérivée est positive).

Pour l’exemple, on obtient

Résoudre {x<-1,x>1}

Soit la fonction f définie sur [0;4] par f(x)=3x^2-12x+4

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

3x^2 , -12x et 4.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 3x^2 , -12x et 4 en utilisant le tableau n°2 ci-dessous

(3x^2)’=3(x^2)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x^2)’=2x d’après la 3ème formule du tableau n°2.

Donc (3x^2)’=3\times 2x=6x

(-12x)’=-12(x)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x)’=1 d’après la 2ème formule du tableau n°2.

Donc (-12x)’=-12\times 1=-12

4’=0 d’après la 1ème formule du tableau n°2.

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (3x^2-12x+4)’\\f'(x)= (3x^2)’-(12x)’+(4)’\\f'(x)= 3(x^2)’-12(x)’+(4)’\\f'(x)= 3\times 2x-12\times 1+0\\f'(x)= 6x-12

On veut étudier le signe de f'(x)=6x-12.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes .

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes .

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On résout l’inéquation quantité > 0 et on détermine pour quelles valeurs de x la quantité est positive. On déduit ensuite les valeurs de x pour lesquelles la quantité est négative

a=6  donc le signe de a est positif .

b=-12\\-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{6}=2

On en déduit le tableau de signes suivant

 

 

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(0), f(2) et f(4) pour compléter la troisième ligne.

f(0)=3\times 0^2-12\times 0+4=4

f(2)=3\times 2^2-12\times 2+4=-8

f(4)=3\times 4^2-12\times 4+4=4

 

 

Soit la fonction f définie sur [-4;4] par f(x)=x^3-12x.

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux termes :

x^3 et -12x

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

Il faut donc calculer les dérivées des deux termes x^3 et -12x en utilisant le tableau n°2 ci-dessous

(x^3)’=3x^2 d’après la 4ème formule du tableau n°2 avec n=3

(-12x)’=-12(x)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x)’=1 d’après la 2ème formule du tableau n°2.

Donc (-12x)’=-12\times 1=-12

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (x^3-12x)’\\f'(x)= (x^3)’-(12x)’\\f'(x)= 3x^2-12(x)’\\f'(x)= 3x^2-12\times 1\\f'(x)= 3x^2-12

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=3x^2-12.

On utilise la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax^2+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients du polynôme. a=3, b=0 et c=-12.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 3, 0 ,(-12)  .

\Delta=0²-4\times{3}\times{(-12)}\\\Delta=0+144\\\Delta=144

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 0, 144.

x_1=\frac{-0-\sqrt{144}}{2\times{3}}\\x_1=\frac{0-12}{6}\\x_1=-2

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 0  , 144.

x_2=\frac{-0+\sqrt{144}}{2\times{3}}\\x_2=\frac{0+12}{6}\\x_2=2

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=3 le signe de a est positif.

 

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(-4)f(-2) , f(2) et f(4) pour compléter la troisième ligne.

f(-4)=(-4)^3-12\times (-4)=-16

f(-2)=(-2)^3-12\times (-2)=16

f(2)=2^3-12\times 2=-16

f(4)=4^3-12\times 4=16

 

 

Le point le plus bas de la courbe a pour coordonnées (3;-2)

On peut en déduire l’inégalité suivante f(x)\geq -2

Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées (7;5.7)

On peut en déduire l’inégalité suivante f(x)\leq 5.7

Sur l’intervalle ouvert ]-3.5;-2.5[ il y a un maximum, c’est 2 il est atteint pour x=-3 .

Dans la colonne de gauche, il y a l’équation de la tangente : y=2.

C’est de la forme y=ax+b avec a=0 et b=2.

Le coefficient directeur de la tangente pour x=-3 vaut 0 donc f'(-3)=0.

Si x\leq – 3 la tangente correspondante monte donc son coefficient directeur est positif, donc f'(x)\geq 0.

Si x\geq – 3 la tangente correspondante descend donc son coefficient directeur est négatif, donc f'(x)\leq 0.

Sur l’intervalle ouvert ]2;4[ il y a un minimum, c’est -2 il est atteint pour x=3 .

Dans la colonne de gauche, il y a l’équation de la tangente : y=-2.

C’est de la forme y=ax+b avec a=0 et b=-2.

Le coefficient directeur de la tangente pour x=3 vaut 0 donc f'(3)=0.

Si x\leq  3 la tangente correspondante descend donc son coefficient directeur est négatif, donc f'(x)\leq 0.

Si x\geq  3 la tangente correspondante monte donc son coefficient directeur est positif, donc f'(x)\geq 0.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.