Page de calcul formel de Géogébra pour conjecturer ou valider le résultat de votre calcul.
Saisir par exemple f(x)=x^3+2x-2 sur la ligne 1 puis cliquer sur le neuvième onglet f’. A l’écran s’affiche alors : Dérivée f'(x)=3x^2+2.
Exercice résolu :
f(x)= x^2+2x+1 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^2 , 2x et 1.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u’+v’ |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u’ |
un produit de deux fonctions u\times v | u’\times v+u\times v’ |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u’}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , 2x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^2
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
(x^2)’=2x
Je calcule la dérivée de 2x .
C’est le produit de la constante 2 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(2x)’=2\times (x)’
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\times 1
\hspace{0.9cm}=2
Je calcule la dérivée de 1 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(1)’=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^2+2x+1)’\\f'(x)= (x^2)’+(2x)’+(1)’\\f'(x)= 2x+2(x)’+0\\f'(x)= 2x+2\times 1\\f'(x)= 2x+2Exercice (exceptionnellement, il n’y a pas la correction. Utiliser la page Géogébra pour vérifier votre calcul )
Calculer f'(x) dans chaque cas. Ne pas hésiter à utiliser la page géogébra située au début de la fiche.
f(x)=2 x^3-5x^2+x+3\\f(x)= x^2+x+3\\f(x)= 0.25x^2-x\\f(x)= \frac{1}{2}x^3-x^2+3x+1000\\f(x)= 7x-10\\f(x)= -6x+3\\f(x)= \frac{1}{2}x^2-9x+1\\f(x)= 7x^3+9x^2- \frac{3}{5}x+13\\f(x)= -2x^2- \frac{x}{5}-103\\f(x)=2x^3- \frac{x^2}{5}- \frac{x}{6}+11\\f(x)= – \frac{x}{7}+11\\f(x)= \frac{x^2}{3}+ \frac{2x}{7}\\f(x)= – \frac{x}{7}+11\\f(x)= \frac{x^3}{5}- \frac{5x^2}{7}+11x-3\\f(x)= \frac{2x^3}{7}- \frac{3x^2}{5}+11x-3\\f(x)= -\frac{5x^3}{7}- 7x-300
