1. Dérivée d’une somme : exercices à corriger avec Géogébra.

Page de calcul formel de Géogébra pour conjecturer ou valider le résultat de votre calcul.

Saisir par exemple f(x)=x^3+2x-2 sur la ligne 1 puis cliquer sur le neuvième onglet f’. A l’écran s’affiche alors : Dérivée f'(x)=3x^2+2.

Exercice résolu : 

f(x)= x^2+2x+1 pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

x^2 , 2x et 1.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , 2x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de x^2 

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.

(x^2)’=2x

Je calcule la dérivée de 2x .

C’est le produit de la constante 2 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(2x)’=2\times (x)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.

\hspace{0.9cm}=2\times 1

\hspace{0.9cm}=2

Je calcule la dérivée de 1 .

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.

(1)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (x^2+2x+1)’\\f'(x)= (x^2)’+(2x)’+(1)’\\f'(x)= 2x+2(x)’+0\\f'(x)= 2x+2\times 1\\f'(x)= 2x+2

Exercice (exceptionnellement, il n’y a pas la correction. Utiliser la page Géogébra pour vérifier votre calcul )

Calculer f'(x) dans chaque cas. Ne pas hésiter à utiliser la page géogébra située au début de la fiche.

f(x)=2 x^3-5x^2+x+3\\f(x)= x^2+x+3\\f(x)= 0.25x^2-x\\f(x)= \frac{1}{2}x^3-x^2+3x+1000\\f(x)= 7x-10\\f(x)= -6x+3\\f(x)= \frac{1}{2}x^2-9x+1\\f(x)= 7x^3+9x^2- \frac{3}{5}x+13\\f(x)= -2x^2- \frac{x}{5}-103\\f(x)=2x^3-  \frac{x^2}{5}- \frac{x}{6}+11\\f(x)= – \frac{x}{7}+11\\f(x)= \frac{x^2}{3}+ \frac{2x}{7}\\f(x)= – \frac{x}{7}+11\\f(x)= \frac{x^3}{5}- \frac{5x^2}{7}+11x-3\\f(x)= \frac{2x^3}{7}- \frac{3x^2}{5}+11x-3\\f(x)= -\frac{5x^3}{7}- 7x-300

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.