logo

1.Fonctions.Exercices type évaluation de fin d’année.

Sommaire

Une page graphique de Géogébra pour conjecturer ou valider l’équation réduite de la tangente, tracer des courbes…

Pour déterminer l’équation réduite d’une tangente à, par exemple, la courbe de la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2-2x+6 au point d’abscisse 2.

Saisir dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran : f(x)=x^2-2x+6.

Créer le point de la courbe d’abscisse 2 en cliquant sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Point sur Objet et cliquer dans le repère sur le point de la courbe d’abscisse 2.

Tracer la tangente  au point d’abscisse 2 en cliquant sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Tangentes et cliquer dans le repère sur le point de la courbe d’abscisse 2 et puis sur la courbe. La tangente apparaît et dans la colonne Algèbre apparaît : 

g : Tangente (A,f)

f(x)=2x+2.

Une page Calcul formel de Géogébra pour conjecturer ou valider un calcul de dérivée, le signe d’une quantité…

Exercice 1

On considère la fonction définie sur [0;+\infty[ par f(x)=x^3-3x^2-9x-1.

  1. On note f’ la fonction dérivée de f.

a. Montrer que pour  x \in [0;+\infty[, f'(x)=3(x+1)(x-3).

correction

b. En déduire le tableau de variation de f sur [0;+\infty[

correction

c. Déterminer l’abscisse du point de la courbe représentative de f pour lequel le
coefficient directeur de la tangente vaut 36.

correction

2. On note x_0 l’unique solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 0. On admet que x_0\in[4;5].
On considère la fonction suivante définie en langage Python.

On applique cette fonction pour n=3. Reproduire sur la copie et compléter le
tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.

 x=\frac{a+b}{2}f(x)<0?abAmplitude [a;b]
k=04.5oui4.550.5
k=1     
k=2     
correction

b. En déduire un encadrement de x_0 , d’amplitude latex]0.125[/latex], par deux nombres
décimaux.

correction

Exercice n°2 

Dans la figure ci-dessous, on a tracé C_f, la courbe représentative d’une fonction f définie et
dérivable sur \mathbf{R} ainsi que les tangentes à C_f aux points A d’abscisse 0 et B d’abscisse 1.

  1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous à l’aide de la courbe ci-dessus.
x01
f(x)  
f'(x)  
correction f(0)
correction f(1)
correction f'(0)
correction f'(1)

On admet que la fonction 𝑓 est définie sur \mathbf{R} par :
f(x)=x^3-x+1.
2. a. Calculer f'(x).

correction

b. Résoudre dans \mathbf{R} l’équation :f'(x) \geq 0.

correction

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur \mathbf{R} .

correction

4. Le point C(1;5) appartient-il à la tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point
d’abscisse -1 ?

correction

Exercice n°3

On s’intéresse à la consommation d’un véhicule roulant aux biocarburants en fonction de la vitesse de ce véhicule.
Cette consommation est modélisée par la fonction f définie sur [30;130] par :f(x)=\frac{8x^2-800x+30000}{x^2}
où x est exprimé en km/h et f (x) est exprimé en litres pour 100 km.

  1. Quelle est la consommation du véhicule s’il se déplace à 40 km.h^{-1}?
correction

2. Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il 4 litres pour 100 km ?

correction

3. Pour quelle vitesse la consommation est-elle minimale ? Déterminer cette consommation minimale.

correction

Exercice n°4 

Dans la figure ci-dessous, on a tracé C_f, la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur \mathbf{R} ainsi que les tangentes à C_f aux points A d’abscisse 0 et B d’abscisse 1.

  1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous à l’aide de la courbe ci-dessus.
x01
f(x)  
f'(x)  
correction

On admet que la fonction 𝑓 est définie sur \mathbf{R} et peut s’écrire sous la forme 
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
2. a. Exprimer f'(x) en fonction de a, b, c, d.

correction

b. Déterminer les valeurs des réels c et d.

correction

c. Déterminer deux équations que vérifient les réels a et b

correction

d. En déduire que f(x)=x^3-3x+4.

correction

Exercice n°5 

Le club de théâtre du Lycée Louis XIV a loué une grande salle de spectacle et organise une représentation de « Ubu Roi » d’Alfred Jarry.
Le prix de location de la salle est 4 500 euros.
Il espère avoir un maximum de spectateurs parmi la population des environs, aussi il décide de faire
passer des messages publicitaires sur la radio locale.
Soit x le nombre de jours de publicité. Pour x compris entre 0 et 20, la recette prévue est donnée par
f(x)=-2x^3+60x^2+2000.
Chaque jour de publicité est facturé 150 euros.

1. On fait un calcul sur 20 jours de publicité.
a. Quelle est la recette prévisible ?

correction

b. Calculer les frais engagés : publicité et location

correction

c. Calculer le bénéfice dans le cas où la recette est conforme à la prévision

correction

2. Établir la formule donnant, en fonction du nombre x de jours de publicité, le montant total des
frais engagés qu’on notera C(x).

correction

3. Combien de jours de publicité au minimum faut-il envisager pour que le bénéfice prévisible
soit positif ou nul ? On calculera le bénéfice réalisé pour 10 jours de publicité. 

correction

Exercice n°6 

Partie A
On considère la fonction polynôme du second degré g définie sur \mathbf{R} par :
g(x)=x^2-5x+4
1) Résoudre l’équation g(x)=0.

correction

2) Étudier le signe de g  sur \mathbf{R}.

correction

Partie B
On considère la fonction polynôme du troisième degré f définie sur \mathbf{R}par :
f(x)=2x^3-15x^2+24x
1) Calculer la dérivée f’ de f et vérifier que f'(x)=6g(x).

correction calcul de f'(x)
correction de f'(x)=6g(x)

2) Etudier les variations de la fonction f.

correction

3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point B d’abscisse 3.

correction

Exercice n°7 

La fonction fest définie sur ]-2;+\infty[ par :
f(x)=\frac{x^2+1}{2x+4}
1) Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]-2;+\infty[:
f'(x)=\frac{2x^2+8x-2}{(2x+4)^2}.

correction

2) Déterminer le sens de variation de la fonction f sur ]-2;+\infty[.

correction

3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0.

correction

4) Etudier la position relative de la courbe représentative de f et de la
droite d’équation y=x-2.

correction

Exercice n°8  

Une entreprise produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une
longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros  est donné en fonction de la longueur x
par la formule C(x)=15x^3-120x^2+500x+750.

1. a. Calculer le coût total de fabrication de 5 km de tissu.

correction

b. Déterminer le coût moyen de fabrication d’un kilomètre de tissu lorsqu’on fabrique
5 km de tissu.

correction

2. On rappelle que le coût moyen de production  C_{M}(x) mesure le coût par unité produite.

On considère la fonction C_{M}  définie sur l’intervalle ]0;10] par C_{M}(x)=\frac{C(x)}{x}=15x^2-120x+500+\frac{750}{x} .

a. Montrer que C_{M}'(x)=\frac{30(x-5)(x^2+x+5)}{x^2} 

correction calcul de C_M'(x)
correction C_{M}'(x)=\frac{30(x-5)(x^2+x+5)}{x^2} 

b. Étudier le signe de C_{M}'(x) et dresser le tableau de variation de la fonction C_{M} sur
l’intervalle ]0;10] .

correction

c. Quel est le coût moyen minimal et pour combien de kilomètres de tissu est-il obtenu est-il obtenu ?

correction

Exercice n°9

On considère la fonction définie sur [0;+\infty[ par f(x)=x^3+3x^2+3x+2.

  1. a. Montrer que pour  x \in [0;+\infty[, f(x)=(x+2)(x^2+2x+1).
correction

b. En déduire que C la courbe de f coupe l’axe des abscisses en un seul point.

correction

2.a. Calculer f'(x) et montrer que f'(x)=3(x+1)^2.

correction

2.b. Dresser le tableau de variations de f sur [0;+\infty[.

correction

3. Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe de f au point d’abscisse 0. Le point de coordonnées (-3;-7) appartient-il à T?

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Etape n°1 : Calculer f'(x)

f(x)= x^3-3x^2-9x-1 pour x\in [0;+\infty

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de quatre termes :

x^3 , -3x^2, -9x et -1.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

de la forme e^{ax+b}

 a\times e^{ax+b}

Il faut donc calculer les dérivées des quatre termes x^3 , -3x^2, -9x et -1. en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de x^3 

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.

(x^3)’=3x^2

Je calcule la dérivée de -3x^2 .

C’est le produit de la constante -3 par la fonction carré x^2. J’utilise la deuxième   ligne du premier tableau.

(-3x^2)’=-3\times (x^2)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.

\hspace{0.9cm}=-3\times 2x

\hspace{0.9cm}=-6x

Je calcule la dérivée de -9x .

C’est le produit de la constante -9 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(-9x)’=-9\times (x)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.

\hspace{0.9cm}=-9\times 1

\hspace{0.9cm}=-9

Je calcule la dérivée de -1 .

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.

(-1)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

exponentielle 

f(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (x^3-3x^2-9x-1)’\\\hspace{0.9cm}= (x^3)’-(3x^2)’-(9x)’-(1)’\\\hspace{0.9cm}= 3x^2-3(x^2)’-9(x)’-0\\\hspace{0.9cm}= 3x^2-3\times2x-9\times1\\\hspace{0.9cm}= 3x^2-6x-9

Etape n°2 : Montrer que f'(x)=3(x+1)(x-3).

Voici les méthodes disponibles 

Pour montrer que deux quantités A et B sont égales :

On peut partir de A , le transformer et arriver à B .

A=…\\\hspace{0.35cm}=…\\\hspace{0.35cm}=B

ou

On peut partir de B , le transformer et arriver à A .

B=…\\\hspace{0.35cm}=…\\\hspace{0.35cm}=A

On montre que la différence est nulle.

On calculeA-B , on le transforme et on arrive à 0.

A-B=…\\\hspace{1.1cm}=…\\\hspace{1.1cm}=0

 

On montre que les deux quantités A et B égales à une même troisième quantité C

On part de A , on le transforme et on arrive à C\\A=…\\\hspace{0.35cm}=…\\\hspace{0.35cm}=C

Puis

On part de B , on le transforme et on arrive à C\\B=…\\\hspace{0.35cm}=…\\\hspace{0.35cm}=C

On montre que leur rapport est égal à 1 si ces quantités sont non nulles.

On calcule\frac{A}{B} , on le transforme et on arrive à 1.

\frac{A}{B}=…\\\hspace{0.35cm}=…\\\hspace{0.35cm}=1

On choisit la première méthode on part du 2nd membre, on le développe puis on arrive au premier membre.

3(x+1)(x-3)=3(x^2-3x+x-3)

\hspace{2cm}=3(x^2-2x-3)

\hspace{2cm}=3x^2-6x-9

\hspace{2cm}=f'(x)

On veut étudier le signe de f'(x)=3(x+1)(x-3)

On utilise la sixième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un produit.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On étudie le signe des facteurs et on conclut avec la règle des signes. Si on ne peut pas conclure directement on fait un tableau de signes comme en seconde .

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. On conclut avec la règle des signes. Si on ne peut pas conclure directement on fait un tableau de signes comme en seconde .

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

3   est positif.

Donc le signe de f'(x) est celui du produit (x+1)(x-3) .

On prépare un tableau de signes.

D’après la méthode : la quantité est de la forme ax+b , le premier facteur (x+1) s’annule pour x=-1 . Il est négatif avant -1 et positif après -1 .

D’après la méthode : la quantité est de la forme ax+b , le second facteur (x-3) s’annule pour x=3 . Il est négatif avant 3 et positif après 3 .

Voici le tableau de signes :

Donc f'(x) est négatif sur [0;3] et f'(x) est positif sur [2;+\infty[.

Voici le tableau de variations de f sur [0;+\infty[.

On a calculé f(0) et f(3) pour que le tableau de variations soit complet.

 

 Il faut résoudre l’équation f'(x)=36.

3x^2-6x-9=36\\3x^2-6x-9-36=0\\3x^2-6x-45=0

L’équation 3x^2-6x-45=0 est de la forme ax^2+bx+c=0.

J’identifie les coefficients de l’équation a=3, b=-6 et c=-45.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 3, (-6),(-45).

\Delta=(-6)²-4\times{3}\times{(-45)} 

On effectue la puissance

\Delta=36-4\times{3}\times{(-45)} 

On effectue le produit.

\Delta=36+540 

\Delta=576 

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3,(-6) ,576.

x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{576}}{2\times{3}}

x_1=\frac{6-24}{6}

x_1=\frac{-18}{6}

x_1=-3

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, (-6) ,576.

x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{576}}{2\times{3}}

x_2=\frac{6+24}{6}

x_2=\frac{30}{6}

x_2=5

Comme la fonction f est définie sur [0;+\infty[, seule la solution 5 convient.

Je conclus S=\{5\}.

Donc  5 est l’abscisse du point de la courbe représentative de f pour lequel le
coefficient directeur de la tangente vaut 36.

 

On fait tourner l’algorithme et voici ce qu’on obtient.

 x=\frac{a+b}{2}f(x)<0?abAmplitude [a;b]
k=04.5oui4.550.5
k=14.75oui4.7550.25
k=24.875oui4.87550.125

Voici ce qu’on obtient, avec Python : 

 

 

 

 

D’après la question précédente, l’encadrement est le suivant : 4.857\leq x_0\leq 5

Pour déterminer graphiquement l’image de 0, je place 0 sur l’axe des abscisses puis je trace la parallèle à l’axe des ordonnées jusqu’à la courbe. Je lis l’image de 0, c’est 1.

f(0)=1.

Donc f'(x) est négatif sur [0;3] et f'(x) est positif sur [2;+\infty[.

Voici le tableau de variations de f sur [0;+\infty[.

Pour déterminer graphiquement l’image de 1, je place 1 sur l’axe des abscisses puis je trace la parallèle à l’axe des ordonnées jusqu’à la courbe. A partir du point de la courbe trouvé, je trace la parallèle à l’axe des abscisses jusqu’à l’axe des ordonnées. J’y lis l’image de 1, c’est 1.

f(1)=1.

Donc f'(x) est négatif sur [0;3] et f'(x) est positif sur [2;+\infty[.

Voici le tableau de variations de f sur [0;+\infty[.

Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur de la tangente en A le point de la courbe d’abscisse 0, je pars de A, j’avance horizontalement d’une graduation vers la droite puis je descends d’une graduation verticalement pour arriver sur la droite.

Le coefficient directeur de la tangente en A est -1.

Donc f'(0)=-1.

 

 

Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur de la tangente en B le point de la courbe d’abscisse 1, je pars de B, j’avance horizontalement d’une graduation vers la droite puis je monte de deux graduations verticalement pour arriver sur la droite.

Le coefficient directeur de la tangente en B est 2.

Donc f'(1)=2.

 

 

f(x)= x^3-x+1 pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

x^3 , -x et 1.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , -x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de x^3 

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.

(x^3)’=3x^2

Je calcule la dérivée de -x .

C’est le produit de la constante -1 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(-x)’=-1\times (x)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.

\hspace{0.9cm}=-1\times 1

\hspace{0.9cm}=-1

Je calcule la dérivée de 1 .

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.

(1)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (x^3-x+1)’\\f'(x)= (x^3)’-(x)’+(1)’\\f'(x)= 3x^2-1+0\\f'(x)= 3x^2-1

 

On veut résoudre f'(x)\geq 0.

C’est-à-dire 3x^2-1\geq 0.

On clique sur le + de  la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax^2+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients du polynôme. a=3, b=0 et c=-1.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 3, 0 ,(-1)  .

\Delta=0²-4\times{3}\times{(-1)}\\\Delta=0+12\\\Delta=12

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 0, 12.

x_1=\frac{-0-\sqrt{12}}{2\times{3}}\\x_1=\frac{-2\sqrt{3}}{6}\\x_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 0  , 12.

x_2=\frac{-0+\sqrt{12}}{2\times{3}}\\x_2=\frac{2\sqrt{3}}{6}\\x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=3 le signe de a est positif.

On a résolu  f'(x)\geq 0.

C’est-à-dire qu’on a trouvé pour quelles valeurs de x  , f'(x) est de signe plus ou nul.

C’est pour la première et la troisième colonnes.

S=]-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}]\cup[\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty[

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(-\frac{\sqrt{3}}{3}) et f(\frac{\sqrt{3}}{3}) pour compléter la troisième ligne.

f(-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{-\sqrt{3}+3\sqrt{3}+9}{9}

\hspace{1.3cm}=(-\frac{\sqrt{3}}{3})^3-(-\frac{\sqrt{3}}{3})+1

\hspace{1.3cm}=-\frac{\sqrt{3}^3}{3^3}+\frac{\sqrt{3}}{3}+1

\hspace{1.3cm}=-\frac{3\sqrt{3}}{3^3}+\frac{\sqrt{3}}{3}+1

\hspace{1.3cm}=-\frac{\sqrt{3}}{3^2}+\frac{\sqrt{3}}{3}+1

\hspace{1.3cm}=-\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}+1

On met au même dénominateur.

\hspace{1.3cm}=-\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{3}{3}+1\times\frac{9}{9}

\hspace{1.3cm}=-\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{3\sqrt{3}}{9}+\frac{9}{9}

\hspace{1.3cm}=\frac{-\sqrt{3}+3\sqrt{3}+9}{9}

\hspace{1.3cm}=\frac{2\sqrt{3}+9}{9}

Après calculs, on obtient :

f(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{-2\sqrt{3}+9}{9}

On peut aussi utiliser la TI-83 Premium CE

On dresse le tableau de variations :

 

 

On détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de f définie par f(x)=x^3-x+1 au point d’abscisse -1.

Je calcule f(-1) en remplaçant tous les x par -1 dans f(x)=x^3-x+1

f(-1)=(-1)^3-(-1)+1

f(-1)=-1+1+1

f(-1)=1

Je calcule f'(-1) en remplaçant tous les x par -1 dans f'(x)=3x^2-1

f'(-1)=3\times(-1)^2-1

f'(-1)=3\times1-1

f'(-1)=3-1

f'(-1)=2

Je remplace a,f(a),f'(a) par (-1),1,2 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=2(x-(-1))+1

y=2(x+1)+1

y=2x+2\times1+1

y=2x+2+1

y=2x+3

L’équation de la tangente est y=2x+3.

Pour dire si le point C(1;5) est sur la tangente, on remplace x par 1 et on remplace y par 5 dans l’équation y=2x+3.

Si l’égalité est vérifiée, le point C(1;5) est sur la tangente. Sinon, non.

Comme 5 est égal à 2\times1+3, le point C(1;5) est sur la tangente d’équation y=2x+3.

 

 

Déterminer la consommation du véhicule s’il se déplace à 40 km.h^{-1} revient à calculer f(40) .

Pour calculer f(40) , on remplace tous les x par  40 dans  f(x) =\frac{8x^2-800x+30000}{x^2}.

f(40) =\frac{8\times40^2-800\times40+30000}{40^2}.

\hspace{0.95cm} =\frac{8\times1600-32000+30000}{1600}.

\hspace{0.95cm} =\frac{12800-32000+30000}{1600}.

\hspace{0.95cm} =\frac{10800}{1600}\\\hspace{0.95cm} =6.75

Si le véhicule se déplace à 40 km.h^{-1} il consomme 6.75 l aux 100 km. .

 

Pour déterminer pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il 4 litres pour 100 km , il faut résoudre l’équation f(x)=4 sur l’intervalle [30;130].

\frac{8x^2-800x+30000}{x^2}=4

Le plus simple est de faire le produit en croix.

8x^2-800x+30000=4x^2

Puis de tout faire passer à gauche pour obtenir une équation du second degré.

8x^2-800x+30000-4x^2=0\\4x^2-800x+30000=0

J’identifie les coefficients du polynôme. a=4, b=-800 et c=30000.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 4, (-800) ,30000  .

\Delta=(-800)²-4\times{4}\times{30000}\\\Delta=640000-480000\\\Delta=160000

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 4, (-800), 160000.

x_1=\frac{-(-800)-\sqrt{160000}}{2\times{4}}\\x_1=\frac{800-400}{8}\\x_1=\frac{400}{8}\\x_1=50

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 4, (-800)  , 160000.

x_2=\frac{-(-800)+\sqrt{160000}}{2\times{4}}\\x_2=\frac{800+400}{8}\\x_2=\frac{1200}{8}\\x_2=150

Comme la fonction f est définie sur l’intervalle [30;130], seule la solution 50 convient.

C’est à la vitesse de 50 km.h^{-1} que le véhicule consomme 4 litres pour 100 km.

 

On veut répondre à la question : pour quelle vitesse la consommation est-elle minimale ? Déterminer cette consommation minimale.

On va dresser le tableau de variations de la fonction f définie par

f(x)= \frac{8x^2-800x+30000}{x^2} pour x\in [30;130]

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=8x^2-800x+30000 et v(x)=x^2.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=8x^2-800x+30000 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(8x^2-800x+30000)’

u'(x)=(8x^2)’-(800x)’+(30000)’

On utilise la ligne 2 du tableau 1

u'(x)=8(x^2)’-800(x)’+(30000)’

On utilise les lignes 1, 2 et 3 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=8\times 2x-800\times1+0

u'(x)=16x-800

 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x^2 est une fonction de référence, on utilise la ligne carré du tableau n°2 

v'(x)=(x^2)’

v'(x)=2x

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  8x^2-800x+30000,  v par x^2, u’ par  16x-800 et v’ par 2x dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

 Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{8x^2-800x+30000}{x^2})’\\f'(x)=\frac{(8x^2-800x+30000)’\times{x^2}-{(8x^2-800x+30000)}\times{(x^2)’}}{(x^2)^2}\\f'(x)=\frac{(16x-800)\times{(x^2)}-{(8x^2-800x+30000)}\times{2x}}{x^4}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

f'(x)=\frac{(16x\times x^2-800\times x^2)-(8x^2\times2x-800x\times2x+30000\times2x)}{x^4}\\f'(x)=\frac{(16x^3-800x^2)-(16x^3-1600x^2+60000x)}{x^4}

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

f'(x)=\frac{16x^3-800x^2-16x^3+1600x^2-60000x}{x^4}

On réduit au numérateur

f'(x)=\frac{800x^2-60000x}{x^4} 

On peut simplifier par x en haut et en bas.

f'(x)=\frac{800x-60000}{x^3}

4. On étudie le signe de f'(x)

On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{800x-60000}{x^3}.

On clique sur le + de la septième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Comme x est positif d’après l’énoncé, le dénominateur x^3 est positif.

Le quotient est donc du signe du numérateur : 800x-60000.

On étudie le signe de 800x-60000, en cliquant dans le tableau sur le + de la 2ème ligne : la quantité est de la forme ax+b.

a=800 il est donc positif.

-\frac{b}{a}=-\frac{-60000}{800}=75.

Voici le tableau de signes du numérateur: 

Maintenant  je dresse le tableau de signes de f'(x)=\frac{800x-60000}{x^3} sur [30;130].

5. On dresse le tableau de variations de f sur [30;130]

On détermine les images à l’aide de la calculatrice comme ci-dessous :

On peut maintenant dresser le tableau de variations

D’après le tableau de variations la consommation est minimale si on circule à 75 km^.h^{-1}.

Cette consommation minimale est environ 2.7 litres aux 100 km.

 

 

Le point A est situé sur la courbe et ses coordonnées sont (0;4).

Donc f(0)=4.

La tangente à la courbe au point A a pour coefficient directeur -3.

Donc f'(0)=-3.

Le point B est situé sur la courbe et ses coordonnées sont (1;2).

Donc f(1)=2.

La tangente à la courbe au point B est horizontale donc son coefficient directeur est nul.

Donc f'(1)=0.

f(x)= ax^3+bx^2+cx+d pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de quatre termes :

ax^3 , bx^2 , cx et d.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Il faut donc calculer les dérivées des quatre termes ax^3 , bx^2 , cx et d. en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de ax^3 

C’est le produit de la constante a par la fonction cube x^3. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(ax^3)’=a(x^3)’ 

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.

(ax^3)’=a(x^3)’ 

(ax^3)’=a\times3x^2 (ax^3)’=3ax^2

Je calcule la dérivée de bx^2 

C’est le produit de la constante b par la fonction cube x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(bx^2)’=b(x^2)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.

(bx^2)’=b\times2x

(bx^2)’=2bx

Je calcule la dérivée de cx 

C’est le produit de la constante c par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(cx)’=c(x)’ 

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.

(cx)’=c\times 1 

(cx)’=c 

Je calcule la dérivée de d .

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.

(d)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (ax^3+bx^2+cx+d)’\\f'(x)= (ax^3)’+(bx^2)’+(cx)’+(d)’\\f'(x)=a (x^3)’+b(x^2)’+c(x)’+0\\f'(x)=a \times {3x^2}+b\times {2x}+c\times {1}\\f'(x)= 3ax^2+2bx+c

 

Dans la question 1, on a établi graphiquement que 

f(0)=4

Pour déterminer  f(0), je remplace tous les x par 0 dans l’écriture f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

a\times0^3+b\times0^2+c\times0+d=4

d=4

Dans la question 1, on a établi graphiquement que 

f'(0)=-3

Pour déterminer  f'(0), je remplace tous les x par 0 dans l’écriture f'(x)=3ax^2+2bx+c.

3a\times0^2+2b\times0+c=-3

c=-3

Dans la question précédente, on a trouvé que  c=-3 et que d=4.

L’écriture de  f(x) devient f(x)=ax^3+bx^2-3x+4 .

L’écriture de  f'(x) devient f'(x)=3ax^2+2bx-3 .

Dans la question 1, on a établi graphiquement que 

f(1)=2

Pour déterminer  f(1), je remplace tous les x par 1 dans l’écriture f(x)=ax^3+bx^2-3x+4.

a\times1^3+b\times1^2-3\times1+4=2

a+b-3+4=2

a+b+1=2

a+b+1-2=0

a+b-1=0, voici la première équation.

Dans la question 1, on a établi graphiquement que 

f'(1)=0

Pour déterminer  f'(1), je remplace tous les x par 1 dans l’écriture f'(x)=3ax^2+2bx-3.

3a\times1^2+2b\times1-3=0

3a+2b-3=0, voici la deuxième équation.

 

Il s’agit de résoudre par le calcul et par combinaison linéaire, le système suivant :

Je décide d’éliminer les b , pour cela je dois multiplier la première équation par -2.

Ainsi on aura -2b dans la nouvelle première équation et son opposé 2b  dans la  deuxième équation.

ATTENTION : quand on dit que je dois multiplier la première équation par -2 , je multiplie tout par -2                         

J’ajoute membre à membre ces deux égalités (les b disparaissent, ce qui était le but recherché)

-2a+3a+2-3=0\\a-1=0\\a=1

Pour déterminer la valeur de b  je remplace a par 1  dans par exemple la première équation.

1+b-1=0

b=0

Le couple solution est (1;0).

Voici comment vérifier le résultat avec la TI-83 Premium CE :

Il faut d’abord faire passer les constantes à gauche :

Puis on procède ainsi 

On remplace a par 1, b par 0, c par -3 et d par 4 dans f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f(x)=1x^3+0x^2-3x+4

f(x)=x^3-3x+4.

 

 

Pour déterminer la recette lorsqu’on fait de la publicité pendant 20 jours, on calcule f(20).

Pour calculer  f(20), je remplace tous les x par 20 dans f(x)=-2x^3+60x^2+2000.

f(20)=-2\times20^3+60\times20^2+2000

f(20)=-2\times8000+60\times400+2000

f(20)=-16000+24000+2000

f(20)=10000

 

Pour les frais engagés, on compte les 4500 euros pour la location de la salle et les 3000 euros pour les 20 jours de publicité (20\times 150 = 3000).

4500+3000=7500.

Les frais engagés sont d’un montant de 7500 euros.

Pour déterminer le bénéfice, on calcule la différence entre la recette et les frais engagés.

10000-7500=2500

Le bénéfice pour 20 jours de publicité est 2500 euros.

 

La location de la salle coûte 4500 euros quel que soit le nombre de jours de publicité.

Pour x jours de publicité, les frais s’élèveront à 150 x  euros.

Voici la formule donnant, en fonction du nombre x de jours de publicité, le montant total des
frais engagés :

C(x)=4500+150x.

 

Le bénéfice sera positif ou nul lorsque la recette sera supérieure ou égale aux frais engagés.

On doit donc résoudre f(x)\geq C(x).

Ou chercher pour quelles valeurs de x, la différence f(x)- C(x) est nulle ou de signe plus.

f(x)- C(x)=-2x^3+60x^2+2000-150x-4500\\\hspace{1.95cm}=-2x^3+60x^2-150x-2500

Pour étudier son signe, on clique sur le + de la quantité est une fonction de x .

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On note B(x) le bénéfice réalisé, ainsi :

B(x)=-2x^3+60x^2-150x-2500

On va dresser le tableau de variations de la fonction B définie sur [0;20] et observer le signe de B(x) sur la dernière ligne.

1.On veut calculer B'(x).

On répond à la question suivante : B(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de quatre termes : -2x^3, 60x^2, -150x et -2500.

On utilise la ligne 1 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Je calcule la dérivée de -2x^3 

C’est le produit de la constante -2 par la fonction cube x^3. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(-2x^3)’=-2(x^3)’ 

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.

(-2x^3)’=-2(x^3)’ 

(-2x^3)’=-2\times3x^2 (-2x^3)’=-6x^2

Je calcule la dérivée de 60x^2 

C’est le produit de la constante 60 par la fonction cube x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(60x^2)’=60(x^2)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.

(60x^2)’=60\times2x

(60x^2)’=120x

Je calcule la dérivée de -150x 

C’est le produit de la constante -150 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(-150x)’=-150(x)’ 

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.

(-150x)’=-150\times 1 

(-150x)’=-150 

Je calcule la dérivée de -2500 .

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.

(-2500)’=0

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

 Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

B'(x)= (-2x^3+60x^2-150x-2500)’\\B'(x)= (-2x^3)’+(60x^2)’-(150x)’-(2500)’\\B'(x)= -2(x^3)’+60(x^2)’-150(x)’-0\\B'(x)= -2\times3x^2+60\times2x-150\times1\\B'(x)= -6x^2+120x-150

2. On étudie le signe de B'(x)

On veut étudier le signe de B'(x)= -6x^2+120x-150

On clique sur le + de la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax²+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients a=-6, b=120 et c=-150.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par (-6), 120,(-150).

\Delta=120²-4\times{(-6)}\times{(-150)}\\\Delta=14400-3600\\\Delta=10800

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-6), 120 , 10800.

x_1=\frac{-120-\sqrt{10800}}{2\times{(-6)}}

Comme 10800=3\times 3600, on peut écrire \sqrt{10800}=\sqrt{3600}\sqrt{3}=60\sqrt{3}

x_1=\frac{-120-60\sqrt{3}}{-12}

On peut simplifier par -12 en haut et en bas, mieux vaut mettre -12 en facteur au numérateur pour éviter les erreurs de calcul.

x_1=\frac{-12\times{(10+5\sqrt{3})}}{-12}

x_1=10+5\sqrt{3}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-6), 120 , 10800.

x_2=\frac{-120+\sqrt{10800}}{2\times{(-6)}}

Comme 10800=3\times 3600, on peut écrire \sqrt{10800}=\sqrt{3600}\sqrt{3}=60\sqrt{3}

x_2=\frac{-120+60\sqrt{3}}{-12}

On peut simplifier par -12 en haut et en bas, mieux vaut mettre -12 en facteur au numérateur pour éviter les erreurs de calcul.

x_2=\frac{-12\times{(10-5\sqrt{3})}}{-12}

x_2=10-5\sqrt{3}

Je construis le tableau de signe du trinôme. Comme a=-6, le signe de a est négatif.

Puis on s’intéresse au signe de B'(x) sur [0;20].

5. On dresse le tableau de variations de B sur [0;20]

On détermine les images à l’aide de la calculatrice comme ci-dessous :

On peut maintenant dresser le tableau de variations. On rajoute 10 et son image 0 (dans la question de l’énoncé, il était conseillé de calculer  l’image de 10).

D’après le tableau de variations le bénéfice  est positif lorsque  x \in [10;20].

 

  L’équation g(x)=0 c’est-à-dire x^2-5x+4=0 est de la forme ax^2+bx+c=0

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-5 et c=4.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, (-5),4.

\Delta=(-5)²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=25-16\\\Delta=9

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-5)  , 9.

x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{5-3}{2}\\x_1=\frac{2}{2}\\x_1=1

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, (-5)  , 9.

x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{5+3}{2}\\x_2=\frac{8}{2}\\x_2=4

Je conclus S=\{1;4\}

 

Pour déterminer le signe de g(x) qui est une fonction polynôme, on utilise ce qui a été fait précédemment.

On a vu que \Delta= 9 donc il est positif et g(x) est donc du signe de a à l’extérieur des racines 1 et 4 et du signe de -a à l’intérieur.

Comme a=1, il est positif et voici le tableau de signes

f(x)= 2x^3-15x^2+24x pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

2x^3 , -15x^2 et 24x.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 2x^3 , -15x^2 et 24x en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de 2x^3 

C’est le produit de la constante 2 par la fonction cube x^3. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(2x^3)’=2(x^3)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.

(2x^3)’=2\times3x^2

(2x^3)’=6x^2

Je calcule la dérivée de -15x^2 .

C’est le produit de la constante -15 par la fonction carré x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(-15x^2)’=-15\times (x^2)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.

\hspace{0.9cm}=-15\times 2x

\hspace{0.9cm}=-30x

Je calcule la dérivée de 24x .

C’est le produit de la constante 24 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(24x)’=24(x)’

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne identité du tableau ci-dessous.

(24x)’=24\times 1

(24x)’=24

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

f'(x)= (2x^3-15x^2+24x)’\\f'(x)= (2x^3)’-(15x^2)’+(24x)’\\f'(x)= 2(x^3)’-15(x^2)’+24(x)’\\f'(x)=2\times3x^2-15\times2x+24\times1\\f'(x)= 6x^2-30x+24

 

Pour montrer que f'(x)=6g(x), on part du membre de gauche, on développe et on arrive au membre de droite. 

6g(x)=6(x^2-5x+4)

\hspace{0.9cm}=6\times x^2-6\times5x+6\times4)

\hspace{0.9cm}=6x^2-30x+24)

\hspace{0.9cm}=f'(x)

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x) qui est du signe de g(x).

On calcule f(1) et f(4) pour compléter la troisième ligne.

f(1)=2\times1^3-15\times1^2+24\times1

\hspace{0.8cm}=2\times1-15\times1+24

\hspace{0.8cm}=2-15+24

\hspace{0.8cm}=11

f(1)=2\times4^3-15\times4^2+24\times4

\hspace{0.8cm}=2\times64-15\times16+96

\hspace{0.8cm}=128-240+96

\hspace{0.8cm}=-16

On peut aussi utiliser la TI-83 Premium CE

On dresse le tableau de variations :

 

 

On détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de f  au point d’abscisse 3.

Je calcule f(3) en remplaçant tous les x par 3 dans f(x)=2x^3-15x^2+24x

f(3)=2\times3^3-15\times3^2+24\times3\\f(3)=2\times27-15\times9+72\\f(3)=54-135+72

f(3)=-9

Pour vérifier avec la TI 83 Premium CE

Je calcule f'(3) en remplaçant tous les x par 3 dans f'(x)=6x^2-30x+24

f'(3)=6\times3^2-30\times3+24\\ f'(3)=6\times9-90+24\\ f'(3)=54-90+24\\ f'(3)=-12

Pour vérifier avec la TI 83 Premium CE

Je remplace a,f(a),f'(a) par 3,(-9),(-12) dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=-12(x-3)+(-9)

y=-12\times x-12\times(-3)-9

y=-12x+36-9

y=-12x+27

L’équation de la tangente est y=-12x+27.

 

f(x)= \frac{x^2+1}{2x+4} pour x\in ]-2;+\infty[.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=x^2+1 et v(x)=2x+4.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x^2+1 est une  somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(x^2+1)’

u'(x)=(x^2)’+(1)’

On utilise les lignes 1 (constante) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=2x+0

u'(x)=2x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=2x+4 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

v'(x)=(2x+4)’

v'(x)=(2x)’+(4)’

On utilise la 2ième  ligne du tableau n°1 

v'(x)=2(x)’+(4)’

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

v'(x)=2\times1+0

v'(x)=2

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x^2+1,  v par 2x+4, u’ par  2x et v’ par 2 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{x^2+1}{2x+4})’\\f'(x)=\frac{(x^2+1)’\times{(2x+4)}-{(x^2+1)}\times{(2x+4)’}}{(2x+4)^2}\\f'(x)=\frac{2x\times{(2x+4)}-{(x^2+1)}\times{2}}{(2x+4)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

 f'(x)=\frac{4x^2+8x-(2x^2+2)}{(2x+4)^2} 

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

 f'(x)=\frac{4x^2+8x-2x^2-2}{(2x+4)^2} 

On réduit au numérateur

 f'(x)=\frac{2x^2+8x-2}{(2x+4)^2} 

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{2x^2+8x-2}{(2x+4)^2} sur ]-2;+\infty [.

On clique sur le + de la septième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Comme le dénominateur (2x+4)^2 est un carré, il est positif.

Le quotient est donc du signe du numérateur : 2x^2+8x-2

On étudie le signe de 2x^2+8x-2, on utilise dans le tableau la 3ème ligne : la quantité est de la forme ax²+bx+c

J’identifie les coefficients du polynôme. a=2, b=8 et c=-2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 2, 8 ,(-2)  .

\Delta=8²-4\times{2}\times{(-2)}\\\Delta=64+16\\\Delta=80

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, 8, 80.

x_1=\frac{-8-\sqrt{80}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{-8-\sqrt{16\times5}}{4}\\x_1=\frac{-8-\sqrt{16}\times{\sqrt{5}}}{4}\\x_1=\frac{-8-4\sqrt{5}}{4}\\x_1=\frac{4(-2-\sqrt{5})}{4}\\x_1=-2-\sqrt{5}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, 8 , 80.

x_2=\frac{-8+\sqrt{80}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{-8+\sqrt{16\times5}}{4}\\x_2=\frac{-8+\sqrt{16}\times{\sqrt{5}}}{4}\\x_2=\frac{-8+4\sqrt{5}}{4}\\x_2=\frac{4(-2+\sqrt{5})}{4}\\x_2=-2+\sqrt{5}

Je dresse le tableau de signes du numérateur 2x^2-8x+2 

Comme a=2 le signe de a est positif.

Pour déterminer le signe de f'(x) , il faut se placer sur l’intervalle ]-2;+\infty[.

Sur ]-2;-2+\sqrt{5}],  f'(x) est négatif donc la fonction f est décroissante.

Sur [-2+\sqrt{5};+\infty[,  f'(x) est positif donc la fonction f est croissante.

 

 

 

On détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de f  au point d’abscisse 0.

Je calcule f(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f(x)=\frac{x^2+1}{2x+4}

f(0)=\frac{0^2+1}{2\times0+4}

f(0)=\frac{0+1}{0+4}

f(0)=\frac{1}{4}

Pour vérifier avec la TI 83 Premium CE

Je calcule f'(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f'(x)=\frac{2x^2+8x-2}{(2x+4)^2}

f'(0)=\frac{2\times 0^2+8\times 0-2}{(2\times 0+4)^2}\\ f'(0)=\frac{2\times 0+0-2}{(0+4)^2}\\ f'(0)=\frac{0-2}{(4)^2}\\ f'(0)=\frac{-2}{16}\\ f'(0)=-\frac{1}{8}

Pour vérifier avec la TI 83 Premium CE

Je remplace a,f(a),f'(a) par 0,\frac{1}{4},-\frac{1}{8} dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=-\frac{1}{8}(x-0)+\frac{1}{4}\\y=-\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}

L’équation de la tangente est y=-\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}.

 

Lorsqu’on demande d’étudier la position de la courbe de la fonction f par rapport à la droite d’équation

y=x-2. On attend comme réponse : la courbe de la fonction f est au-dessus de la droite d’équation

y=x-2 pour telles valeurs de  x ou la courbe de la fonction f est en-dessous de la droite d’équation

y=x-2 pour telles valeurs de  x.

Pour savoir quand la courbe de la fonction f est au-dessus ou en-dessous de la droite d’équation

y=x-2

On compare f(x) et x-2.

Pour cela, on étudie le signe de  f(x) -(x-2).

On met tout au même dénominateur, ici 2x+4.

f(x)-_(x-2)=\frac{x^2+1}{2x+4} -( x-2)\times\frac{2x+4}{2x+4}

\hspace{2.3cm}=\frac{(x^2+1)-(x-2)\times(2x+4)}{2x+4}

On développe les produits. Pour le développement du deuxième produit, on le laisse entre parenthèses pour limiter les erreurs de signes.

\hspace{2.3cm}=\frac{(x^2+1)-(2x^2+4x-4x-8)}{2x+4}

\hspace{2.3cm}=\frac{x^2+1-2x^2-4x+4x+8)}{2x+4}

\hspace{2.3cm}=\frac{-x^2+9}{2x+4}

Pour étudier le signe de \frac{-x^2+9}{2x+4} , je clique sur le + de la quantité est un quotient :

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On étudie le signe des facteurs et on conclut avec la règle des signes. Si on ne peut pas conclure directement on fait un tableau de signes comme en seconde .

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. On conclut avec la règle des signes. Si on ne peut pas conclure directement on fait un tableau de signes comme en seconde .

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Sur l’intervalle ]-2;+\infty[, 2x+4 est positif donc le dénominateur est positif.

Le signe de \frac{-x^2+9}{2x+4} est celui du numérateur -x^2+9.

On clique sur le + de la quantité est de la forme ax²+bx+c

J’identifie les coefficients l’équation a=-1, b=0 et c=9.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par (-1), 0,9.

\Delta=0²-4\times{(-1)}\times{9}\\\Delta=0+36\\\Delta=36

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-1), 0  , 36.

x_1=\frac{-0-\sqrt{36}}{2\times{(-1)}}\\x_1=\frac{-6}{-2}\\x_1=3

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par (-1), 0  , 36.

x_2=\frac{-0+\sqrt{36}}{2\times{(-1)}}\\x_2=\frac{6}{-2}\\x_2=-3

Le polynôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.

Comme  a=-1, on obtient le tableau suivant 

On en déduit le tableau de signes de \frac{-x^2+9}{2x+4} sur l’intervalle ]-2;+\infty[

Sur l’intervalle ]-2;3[, f(x)-(x-2) est positif donc f(x)\geq (x-2) donc la courbe de la fonction f est au-dessus de la droite d’équation y=x-2.

Sur l’intervalle [3;+\infty[, f(x)-(x-2) est négatif donc f(x)\leq (x-2) donc la courbe de la fonction f est en-dessous  de la droite d’équation y=x-2.

 

Pour calculer le coût de fabrication pour 5 km de tissu, il faut calculer C(5) .

Pour calculer C(5) , il faut remplacer tous les  x par 5 dans C(x)=15x^3-120x^2+500x+750.

C(5)=15\times5^3-120\times5^2+500\times5+750

C(5)=15\times125-120\times25+2500+750

C(5)=1875-3000+2500+750

C(5)=2125

Quand on fabrique 5 km de tissu, le coût total de production est 2125 euros.

Dans ce cas, le coût moyen pour  1 km de tissu est \frac{2125}{5} euros, soit 425 euros.

C_M(x)= 15x^2-120x+500+\frac{750}{x} pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de quatre termes :

15x^2 , -120x , 500 et \frac{750}{x}.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

Il faut donc calculer les dérivées des quatre termes 15x^2 , -120x , 500 et \frac{750}{x} en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.

Je calcule la dérivée de 15x^2 .

C’est le produit de la constante 15 par la fonction carré x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(15x^2)’=15\times (x^2)’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.

\hspace{0.9cm}=15\times 2x

\hspace{0.9cm}=30x

Je calcule la dérivée de 120x .

C’est le produit de la constante 120 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(120x)’=120(x)’

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne identité du tableau ci-dessous.

(120x)’=120\times 1

(120x)’=120

Je calcule la dérivée de 500 .

C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.

(500)’=0

 

Je calcule la dérivée de \frac{750}{x} .

C’est le produit de la constante 750 par la fonction inverse \frac{1}{x}. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.

(\frac{750}{x})’=750\times (\frac{1}{x})’

C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne inverse du deuxième tableau.

\hspace{0.9cm}=750\times(- \frac{1}{x^2})

\hspace{0.9cm}=-\frac{750}{x^2}

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)

C_M'(x)= (15x^2-120x+500+\frac{750}{x})’\\C_M'(x)= (15x^2)’-(120x)’+(500)’+(\frac{750}{x})’\\C_M'(x)= 15(x^2)’-120(x)’+0+750(\frac{1}{x})’\\C_M'(x)=15\times2x-120\times1+750(-\frac{1}{x^2})\\C_M'(x)= 30x-120-\frac{750}{x^2}

 

On a obtenu par le calcul C_M'(x)= 30x-120-\frac{750}{x^2}.

On veut montrer que C_M'(x)= \frac{30(x-5)(x^2+x+5}{x^2}.

Mieux vaut partir du membre de gauche : \frac{30(x-5)(x^2+x+5)}{x^2} , le développer pour arriver à 30x-120-\frac{750}{x^2} c’est-à-dire C_M'(x).

\frac{30(x-5)(x^2+x+5)}{x^2}=\frac{(30x-150)(x^2+x+5)}{x^2}\\\hspace{2.1cm}=\frac{(30x-150)(x^2+x+5)}{x^2}\\\hspace{2.1cm}=\frac{30x^3+30x^2+150x-150x^2-150x-750}{x^2}\\\hspace{2.1cm}=\frac{30x^3-120x^2-750}{x^2}\\\hspace{2.1cm}=\frac{30x^3}{x^2}-\frac{120x^2}{x^2}-\frac{750}{x^2}\\\hspace{2.1cm}=30x-120-\frac{750}{x^2}\\\hspace{2.1cm}=C_M'(x).

On veut étudier le signe de C_M'(x)=\frac{30(x-5)(x^2+x+5)}{x^2} sur ]0;10].

On clique sur le + de la septième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Comme le dénominateur x^2 est un carré, il est positif.

Le quotient est donc du signe du numérateur : 30(x-5)(x^2+x+5).

On étudie le signe de 30(x-5)(x^2+x+5), on utilise dans le tableau la 3ème ligne : la quantité est un produit de trois facteurs. Comme 30 est positif, on étudie le signe de (x-5)(x^2+x+5).

J’étudie le signe de (x-5), c’est de la forme ax+b

J’identifie les coefficients a=1, b=-5 et -\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5. De plus a=1 donc il est positif.

Je fais le tableau de signe sur ]0;10]

J’étudie le signe de (x^2+x+5), c’est de la forme ax²+bx+c

J’identifie les coefficients du polynôme. a=1, b=1 et c=5.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, 1 ,5  .

\Delta=1²-4\times{1}\times{5}\\\Delta=1-20\\\Delta=-19

Comme \Delta<0 , l’équation n’admet pas de solution et le trinôme est toujours du signe de a . Comme a=1, (x^2+x+5) est toujours positif

 

Comme C_M'(x) est du signe de (x-5), voici le tableau de signe pour C_M'(x).

On en déduit le tableau de variation de  C_M 

 

 

 

D’après le tableau de variation suivant :

Le coût moyen minimal est 425 euros, il est obtenu pour 5 kilomètres de tissu.

Pour justifier l’égalité f(x)=(x+2)(x^2+x+1), on peut :

Partir du membre de gauche, le transformer pour arriver au membre de droite.

ou

Partir du membre de droite, le transformer pour arriver au membre de gauche.

Calculer la différence des deux membres et trouver zéro.

Montrer que les deux membres sont tous les deux égaux à une même troisième quantité.

Ici, le plus facile est de partir du membre de droite, le développer et arriver au membre de gauche.

(x+2)(x^2+x+1)=x\times {x^2}+x\times x+x\times 1+2\times {x^2}+2 \times x+2 \times 1\\\hspace{3.2cm}=x^3+x^2+x+2x^2+2 x+2\\\hspace{3.2cm}=x^3+3x^2+3x+2\\\hspace{3.2cm}=f(x)

 

Pour montrer que la courbe C coupe l’axe des abscisses en un seul point, il faut montrer que l’équation f(x)=0 n’admet qu’une seule solution.

Résolvons f(x)=0.

Comme il y a deux écritures de f(x), mieux vaut prendre la forme factorisée pour utiliser la règle du produit nul.

(x+2)(x^2+x+1)=0

x+2=0                                               ou

C’est une équation du premier degré, on met à leur place les membres qui ne sont pas à leur place, ici 2.

On enlève 2 de chaque côté.

x=-2

x^2+x+1=0

C’est une équation du second degré, on calcule le discriminant.

On identifie le coefficients a=1,b=1,c=1 puis on remplace a par 1 , b par 1 et c par 1 dans \Delta=b^2-4ac 

\Delta=1^2-4\times1\times 1 

\Delta=1-4 

\Delta=-3 

\Delta est négatif donc cette équation du second degré n’a pas de solution.

Donc l’équation f(x)=0 n’admet qu’une seule solution et la courbe C coupe l’axe des abscisses en un seul point A d’abscisse -2 .

Comme A est sur l’axe des abscisses, son ordonnée vaut 0 , donc A(-2;0) 

 

f(x)=x^3+3x^2+3x+2

C’est une somme, on dérive chaque terme de la somme.

(x^3)’=3x^2

(3x^2)’=3(x^2)’

(3x^2)’=3\times 2x

(3x^2)’=6x

(3x)’=3(x)’

(3x)’=3\times 1

(3x)’=3

(2)’=0

Voilà le calcul qu’on présente sur la copie :

f'(x)=3x^2+3\times2x+3\times1+0\\f'(x)=3x^2+6x+3

Pour justifier l’égalité f'(x)=3(x+1)^2, on peut :

Partir du membre de gauche, le transformer pour arriver au membre de droite.

ou

Partir du membre de droite, le transformer pour arriver au membre de gauche.

Calculer la différence des deux membres et trouver zéro.

Montrer que les deux membres sont tous les deux égaux à une même troisième quantité.

Ici, le plus facile est de partir du membre de droite, le développer et arriver au membre de gauche.

On calcule en priorité la puissance, pour cela on développe (x+1)^2 en utilisant l’identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)

On effectue ensuite la multiplication par 3.

\hspace{1.4cm}=3\times {x^2}+3\times 2x+3\times 1\\\hspace{1.4cm}=3x^2+6x+3\\\hspace{1.4cm}=f'(x)

Donc f'(x)=3(x+1)^2

 

On a montré que f'(x)=3(x+1)^2.

Comme 3 est positif et comme (x+1)^2 est positif, f'(x) est positif donc  f est croissante sur \mathbf{R}.

Voici le tableau de variations.

Remarque : sur la dernière ligne on écrit 2 sous la borne 0 car f(0)=2.

Sous +\infty on n’écrit rien car il faudra attendre la terminale pour savoir calculer des limites.

 Pour répondre à la question : Le point I(-3;-7) est-il sur  la tangente à la courbe C au point B d’abscisse 0, il va falloir déterminer l’équation réduite de la tangente.

1.on détermine l’équation de la tangente

Pour calculer f(0), je remplace tous les x par (0) dans f(x)=x^3+3x^2+3x+2.

f(0)=0^3+3\times0^2+3\times0+2\\f(0)=2

Pour calculer f'(0), je remplace tous les x par (0) dans f'(x)=3(x+1)^2.

f'(0)=3(0+1)^2\\f'(0)=3\times1\\f'(0)=3

On remplace a, f(a),f'(a) par leurs résultats 0, 2,3 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=3(x-0)+2\\y=3x+2

2.on teste si le point de coordonnées (-3;-7) est situé sur la tangente.

On remplace x par (-3) et y par (-7) dans l’égalité y=3x+2.

(-7)=3\times(-3)+2 est vraie car 3\times(-3)+2=-9+2=-7.

Donc le point de coordonnées (-3;-7) est situé sur la tangente.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.