Sommaire
Généralités
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue ( représentée par la lettre y) est une fonction.
L’égalité peut comporter comme toute équation, le signe égal, la fonction inconnue notée y, éventuellement des dérivées successives y’, y^{ »}, …d’autres fonctions, des nombres et des opérations.
Exemple n°1 : y’=2x est une équation différentielle.
Exemple n°2 : y’=3x^2 est une équation différentielle.
Exemple n°3 : soit y’-y=0 est une équation différentielle.
Exemple n°4 : y’=2y est une équation différentielle.
Exemple n°5 : soit y’=3y+1 est une équation différentielle.
Equation de la forme y’=f
Définition : primitives d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f toute fonction dérivable sur I solution de l’équation y’=f.
Remarque : on a coutume d’appeler F la primitive de f et on a alors F'(x)=f(x).
Exercice n°1
Vérifier que la fonction F est une primitive de f dans chaque cas, ce qui revient à montrer que F est solution de l’équation différentielle y’=f.
a) f(x)=2x-5 et F(x)=x^2-5x+6 définies sur \mathbf{R}
b) f(x)=3x^2-3x et F(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+9 définies sur \mathbf{R}
c) f(x)=\frac{2x}{x^2+1} et F(x)=ln(x^2+1) définies sur \mathbf{R}
d) f(x)=(x+1)e^x et F(x)=xe^x définies sur \mathbf{R}
e) f(x)=12x(3x^2-1) et F(x)=(3x^2-1)^2 définies sur \mathbf{R}
Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra
Pour calculer, par exemple, la dérivée de F(x)=x^2-5x+6
Saisir x^2-5x+6 sur la ligne 1, cliquer sur le neuvième onglet :f’. Apparaît alors : Dérivée 2x-5
Existence et calcul de primitives
Théorème : (existence des primitives )
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Théorème : (ensemble des primitives et conditions initiales)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et admettant une primitive F. Alors toutes les primitives de f sont de la forme F+k où k est une constante réelle.
Quelque soient x_0 et y_0 , il existe une unique primitive qui vérifie F(x_0)=y_0 .
Théorème : (primitive de f+g et primitive de k.f)
Soient f et g deux fonctions admettant les primitives F et G sur un intervalle I.
La fonction F+G est une primitive de f+g sur I .
Soit k un réel, la fonction kF est une primitive de kf sur I.
Propriétés :
1.Tableau des primitives des fonctions usuelles
| La fonction f(x) | a pour primitive F(x) | sur l’intervalle |
| f(x)=k | F(x)=kx | \mathbf{R} |
| f(x)=x | F(x)=\frac{x^2}{2} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^2 | F(x)=\frac{x^3}{3} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n>0 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n<-1 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=-\frac{1}{x^2} | F(x)=\frac{1}{x} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{x} | F(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} | F(x)=2\sqrt{x} | ]0;+\infty[ |
| f(x)=e^x | F(x)=e^x | \mathbf{R} |
2. Primitives et opérations
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
Exercice n°2: Déterminer une primitive quand la fonction est une somme
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=3x^2+2x pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=5x^2-3x+2 pour x \in \mathbf{R}.
c. f(x)=x^3+2x+1 pour x \in \mathbf{R}.
d. f(x)=3x^3-3x^2+x pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°3: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme 2u’u
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=6x^2(x^3+5) pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=e^x(e^x+1) pour x \in \mathbf{R}.
c. f(x)=e^{2x}(e^{2x}-1) pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°4 : Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’.e^u
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=4xe^{2x^2+1} pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=e^{2x+1} pour x \in \mathbf{R}.
c. f(x)=(2x+4) e^{x^2+4x+1} pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°5: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’/u
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=\frac{2x}{(x^2+1)} pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=\frac{5}{2x+1} pour x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[.
c. f(x)=\frac{e^x}{e^x+2} pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°6: Déterminer une primitive vérifiant une condition initiale
Dans chaque cas, déterminer la primitive F vérifiant F(x_0)=y_0.
a. f(x)=2x^3+x^2-1 pour x \in \mathbf{R} et x_0=0 et y_0=-1
b. f(x)=(2x+1)(x^2+x+3) pour x \in \mathbf{R} et x_0=1 et y_0=\frac{1}{2}.
c. f(x)=2xe^{3x^2} pour x \in \mathbf{R} et x_0=0 et y_0=\frac{4}{3}.
d. f(x)=\frac{3}{3x+1} pour x \in ]-\frac{1}{3};+\infty[ et x_0=2 et y_0=ln(2) .
Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra
Pour trouver l’ensemble des primitives de f(x)=x^2-5x+1
Saisir x^2-5x+1 sur la ligne 1, cliquer sur le dixième onglet :\int. Apparaît alors : Intégrale \frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+x+c_1 qui est une primitive de f(x).
Remarque c_1 représente une constante réelle. Lorsqu’on fait varier c_1 , on obtient toutes les primitives de f .
Résolution des équations différentielles
Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay)
Les équations différentielles de la forme y’=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
Pour tous x_0 et y_0 deux réels donnés, il existe une unique solution f vérifiant f(x_0)=y_0.
Exercice n°7: résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay sans condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle
a. y’=2y.
b. 3y’=-12y.
c. 4y’+3y=0 pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°8 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay avec condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle puis trouver la solution qui vérifie la condition intiale.
a. Déterminer la solution f de l’équation y’=y telle que f(1)=e.
b. Déterminer la solution f de l’équation y’=-10y qui prend la valeur \frac{2}{e} en -0.1.
c. Déterminer la solution f de l’équation 2y’+5y=0 qui prend la valeur 1 en 2.
Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay+b)
Les équations différentielles de la forme y’=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
Pour tous x_0 et y_0 deux réels donnés, il existe une unique solution f vérifiant f(x_0)=y_0.
Exercice n°9 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b sans condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle
a. y’=-y+2.
b. 3y’-6y=12.
c. 4y’+3y-4=0 pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°10 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b avec condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle puis trouver la solution qui vérifie la condition intiale.
a. Déterminer la solution f de l’équation y’=2y-5 telle que f(1)=e.
b. Déterminer la solution f de l’équation 3y’-12y=6 qui prend la valeur \frac{2}{e} en -0.25.
c. Déterminer la solution f de l’équation 2y’+y-1=0 qui prend la valeur 1 en 2.
