1. Succession de deux épreuves indépendantes

Sommaire

Vocabulaire 

Dans une succession de deux épreuves lorsque l’issue de la première n’influe pas sur le résultat de la seconde , on dit que ces épreuves sont indépendantes.

Exemple n°1 

On jette une pièce de monnaie deux fois de suite et on note les résultats obtenus.

Ces deux épreuves sont bien indépendantes.

  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre ( on notera F le résultat est face et  P le résultat est pile ) 

2. Calculer p(PP)

Exemple n°2

 On jette un dé équilibré deux fois de suite. 

Ces deux épreuves sont bien indépendantes.

  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre incomplet ( utiliser les chiffres de 1 à 6 et des pointillés) 

2. Calculer p(66)

Propriété admise 

Dans une répétition d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités des branches qui constituent le chemin qui mène à cette issue.

Exemple n°1 (suite)

On jette une pièce de monnaie deux fois de suite et on note les résultats obtenus.

Calculer p(PP) en utilisant la propriété ci-dessus. 

Exemple n°2 (suite)

On jette un dé équilibré deux fois de suite et on note les résultats obtenus.

Calculer p(66) en utilisant la propriété ci-dessus. 

Exemple n°3

 On tire une boule dans une urne qui en contient 3 rouges et une bleue, on note sa couleur , on la remet dans l’urne et on en tite une seconde.

Ces deux épreuves sont bien indépendantes.

  1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre ( utiliser les lettres R et B) 

2. Calculer p(RB)

Pour aller plus loin avec les exercices vus dans le cours Probabilités conditionnelles.

Exercice n°7

En voici un exemple, reprenons l’exercice n°7 et rajoutons la question n°5.

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent
emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :
 S l’évènement « le voyageur fait sonner le portique »;
 M l’évènement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.
1. On admet que :
 Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le
portique sonne est égale à 0,98;
 Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
 À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de p(M), p_M(S)et p_{\bar{M}}(\bar{S})

2. Recopier et indiquer les probabilités sur les  branches de l’arbre pondéré ci-dessous illustrant la  situation.

3. Montrer que : p(S)=0.02192.

4. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait
sonner le portique.

5. On décide que la personne passe deux fois sous le portique et on admet que ces deux passages sont indépendants. Quelle est la probabilité que le portique sonne lors des deux passages ?

Exercice n°8

En voici un exemple, reprenons l’exercice n°8 et rajoutons la question n°3.

Un club de remise en forme propose, outre l’accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l’inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d’abonnement : avec ou sans cours collectif.
Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que :
40 % des membres sont des hommes.
65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs.
Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs.
On choisit une fiche au hasard et on considère les évènements suivants :
H : « la fiche est celle d’un homme »,
F : « la fiche est celle d’une femme »,
C : « la fiche est celle d’un membre inscrit à des cours collectifs ».
Rappel de notation : Si A et B sont deux évènements donnés, p(A) désigne la probabilité de A et
p_B(A) désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B.
1. Préciser les probabilités suivantes : p(H) , p_F(\bar{C}) et  p_F(C) puis les reporter sur l’arbre pondéré ci-dessous qu’on complètera au fur et à mesure.

2. a. Déterminer p(F ∩C).

b. Montrer que p(H ∩C) = 0,08.

c. On tire la fiche d’un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours
collectifs ?

d. Compléter l’arbre pondéré de la question 1.

3. On tire au hasard une fiche d’un membre du club puis on la remet dans la boîte; on tire ensuite une seconde fiche d’un membre du club et on admet que ces deux tirages sont indépendants. Quelle est la probabilité que les deux fiches tirées soient des fiches de membres inscrits aux cours collectifs ?

Les branches primaires correspondent aux issues possibles pour le premier jet de la pièce, les branches secondaires correspondent aux issues possibles pour le second jet de la pièce.

L’univers est \Omega =\{PP;PF;FP;FF\} .

L’univers est \Omega =\{PP;PF;FP;FF\}.

Chaque issue a une probabilité \frac{1}{4} de se produire, donc :

p(PP)=\frac{1}{4}

 

Les branches primaires correspondent aux issues du premier lancer du dé, les branches secondaires correspondent aux issues du second lancer du dé.

\Omega=\{11;12;13;…66\}

\Omega=\{11;12;13;…66\}.

Il y a 36 issues pour l’expérience et chaque issue a une probabilité \frac{1}{36} de se produire.

p(66)=\frac{1}{36}

Pour calculer p(PP), on utilise la propriété du cours :

Dans une répétition d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités des branches qui constituent le chemin qui mène à cette issue.

p(PP)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

 

L’arbre est incomplet mais suffisamment parlant pour calculer p(66) en utilisant la propriété du cours :

Dans une répétition d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités des branches qui constituent le chemin qui mène à cette issue.

p(66)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.

 

 On tire une boule dans une urne qui en contient 3 rouges et une bleue, on note sa couleur , on la remet dans l’urne et on en tite une seconde.

Ces deux épreuves sont bien indépendantes.

Pour le premier tirage, il y a 4 boules dans l’urne, chacune d’elles a \frac{1}{4} d’être choisie.

Dans l’évènement R, il y a trois issues donc

p(R)=\frac{3}{4}

Dans l’évènement B, il y a une issue donc

p(B)=\frac{1}{4}

On porte ces valeurs sur les branches primaires.

Pour le second tirage, il y a 4 boules dans l’urne, chacune d’elles a \frac{1}{4} d’être choisie.

Donc c’est la même chose.

p(R)=\frac{3}{4} et p(B)=\frac{1}{4} 

On porte ces valeurs sur les branches secondaires.

Pour calculer p(RB), on utilise la propriété du cours :

Dans une répétition d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités des branches qui constituent le chemin qui mène à cette issue.

p(RB)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{16}.

On considère qu’un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique donc p(M)=\frac{1}{500}

 Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un  objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98.

On réécrit la phrase  sachant qu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98.

p_M(S)=0.98

Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.

On réécrit la phrase sachant que le voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98

p_{\bar{M}}(\bar{S})=0.98.

 

On utilise les résultats de la question précédente pour indiquer les probabilités sur les branches.

Remarque la somme des probabilités sur les branches provenant d’un même noeud est égale à 1.

On veut calculer p(S).

On ajoute les probabilités de tous les chemins qui mènent à l’évènement S ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales du cours.

p(S)=p(M\cap S)+p(\bar M\cap S)\\\hspace{0.85cm}=\frac{1}{500}\times 0.98+\frac{499}{500}\times 0.02\\\hspace{0.85cm}=0.00196+0.01996\\\hspace{0.85cm}=0.02192

 

 

Calculer la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait
sonner le portique.

Ici la condition est il a fait sonner le portique, c’est-à-dire l’évènement S et l’évènement est le voyageur porte un objet métallique c’est-à-dire l’évènement M.

On applique la formule

p_S(M)=\frac{p(S\cap M)}{p(S)}\\p_S(M)=\frac{0.00196}{0.02192}\\p_S(M)=0.0894

Les branches primaires correspondent aux issues possibles pour le premier passage sous le portique, les branches secondaires correspondent aux issues possibles pour le second passage sous le portique.

Pour calculer p(SS), on utilise la propriété du cours :

Dans une répétition d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités des branches qui constituent le chemin qui mène à cette issue.

p(SS)=0.02192\times 0.02192=0.00048.

 

« 40 % des membres sont des hommes » donc p(H)=\frac{40}{100}=0.4.

« Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs. »

On reformule sachant que c’est une femme, la probabilité qu’elle ne soit pas inscrite aux cours collectifs est de 5% »

p_F(\bar{C})=\frac{5}{100}=0.05

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud ( ici F ) est égale à 1.

p_F(\bar{C})+p_F(C)=1\\p_F(C)=1-p_F(\bar{C})\\p_F(C)=1-0.05\\p_F(C)=0.95

Calculer p(F\cap C) revient à calculer la probabilité du chemin qui passe par F et C en multipliant les probabilités sur les branches, ce qui revient à appliquer la formule du cours p(F\cap C)=p(F)\times p_F(C).

p(F\cap C)=0.6\times 0.95=0.57

Pour calculer p(H\cap C) on ne peut pas calculer la probabilité du chemin qui passe par H et C .

On utilise les probabilités totales

p(F\cap C)+p(H\cap C)=p(C)

Comme  » 65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs » p(C)=\frac{65}{100}=0.65.

On a montré dans la question précédente que p(F\cap C)=0.57

0.57+p(H\cap C)=0.65

p(H\cap C)=0.65-0.57

p(H\cap C)=0.08

On tire la fiche d’un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours
collectifs

On reformule : calculer la probabilité que la personne soit inscrite aux cours
collectifs sachant que c’est un homme.

Ici la condition est H,  et l’évènement  C.

On applique la formule

p_H(C)=\frac{p(H\cap C)}{p(H)}\\p_H(C)=\frac{0.08}{0.4}\\p_H(C)=0.2

Les branches primaires correspondent aux issues possibles pour le tirage de la première carte, les branches secondaires correspondent aux issues possibles pour le tirage de la seconde carte.

Pour calculer p(CC), on utilise la propriété du cours :

Dans une répétition d’épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités des branches qui constituent le chemin qui mène à cette issue.

p(CC)=0.65\times 0.65=0.4225.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.