1. Probabilités.Exercices type évaluation fin d’année

Sommaire

Exercice n°1 

Une agence  propose deux formules pour se rendre en Grèce :  train ou avion.
De plus, s’ils le souhaitent, ils peuvent compléter leur formule par l’option « location de voiture sur place».
 75 % des clients optent pour l’avion ;
 parmi les clients ayant choisi le train, 50 % choisissent aussi l’option « location de voiture sur place » ;
 12 % des clients ont choisi à la fois l’avion et l’option « location de voiture sur place ».
On interroge au hasard un client de l’agence .
On considère les évènements suivants :
A : « le client a choisi l’avion » ;
V : « le client a choisi l’option location de voiture sur place ».
1) Déterminer p_A(V) .

2) Démontrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option
« location de voiture sur place » est égale à 0.245

3) Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il
n’a pas choisi l’option « location de voiture sur place ». Arrondir le résultat au centième.

4) On interroge au hasard deux clients de manière aléatoire et indépendante.
Quelle est la probabilité qu’aucun des deux ne prennent l’option « location de voiture sur place » ?

Exercice n°2 

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au dix millième.
On étudie un test antigénique pour dépister la COVID 19.

On sait que 6% de la population est atteint de la maladie. Des études ont montré que si une
personne est malade, alors le test se révèle positif dans 60% des cas et si une personne n’est
pas malade, le test est négatif dans 93% des cas.
Pour une personne à qui on fait passer le test de dépistage on associe les événements :
V : la personne a contracté le virus,
T : le test est positif.
1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de
l’exercice.

2. Justifier que p(V ∩ 𝑇) =0.036 .

3. Montrer que p( 𝑇) =0.1018

4. Calculer p_T(V) .

5. Une personne dont le test se révèle positif est-elle nécessairement atteinte par cette maladie ?

Exercice n°3

Un modèle de puce informatique nécessaire à la fabrication d’un smarphone d’une grande entreprise est produit par deux fabriquants A et B.
Chez le sous-traitant A, qui assure  25%  de la production totale, 8 % des téléphones sont défectueux.
Le sous-traitant B assure le reste de la production.
On constate que la probabilité qu’un téléphone pris au hasard dans les stocks de l’entreprise soit défectueux est de 0.05 .
1) Quel pourcentage de la production totale le sous-traitant B assure-t-il ?

2) Quelle est la probabilité qu’un téléphone proviennent du sous-traitant B sachant
qu’il est défectueux ? 

Exercice n°4

Une étude statistique menée lors des entraînements de tir à l’arc montre que Michel
plante la flèche dans la cible avec une probabilité de 0,8.
Michel effectue une série de 3 tirs . Les deux issues possibles après chaque tir sont les
événements :
 T : « Michel touche la cible » ;
 M : « Michel manque la cible ».
On admet que les tirs de Michel sont indépendants.
1. On note 𝑋 la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de fois que Michel touche la cible.
a. Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.

b. Déterminer la loi de probabilité de 𝑋.

c. Calculer l’espérance 𝐸(𝑋) de la variable aléatoire 𝑋.

2. On imagine le jeu suivant : on mise 10 € avant la série de tirs  de Michel .

Chaque fois qu’il touche la cible Michel reçoit 5 euros, et chaque fois que Michel ne touche pas la cible, il ne reçoit rien.
On note 𝑌 la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c’està-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
a. Exprimer 𝑌 en fonction de 𝑋.

b. En déduire l’espérance 𝐸(𝑌) de la variable aléatoire 𝑌. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

Exercice n°5

Un restaurant propose à sa carte deux desserts différents :
 -le premier dessert est un fondant au chocolat, et est choisi par 50 % des
clients,
 -le second dessert est une île flottante, et est choisie par 25 % des clients.
Les autres clients ne prennent pas de dessert. Aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que parmi les clients ayant pris comme dessert le fondant au chocolat, 75 % prennent un café, que parmi les clients ayant pris comme dessert une
île flottante, 25 % prennent un café et que parmi les clients n’ayant pas pris de dessert,
80 % prennent un café. On interroge au hasard un client.
On note :

F l’évènement : « Le client prend fondant au chocolat. »
I l’évènement : « Le client prend une île flottante. »
R l’évènement : « Le client ne prend pas de dessert. »
C l’évènement : « Le client prend un café. »
1. Construire un arbre de probabilités décrivant la situation.

2. Définir par une phrase les probabilités p(I\cap C) et  p_C( F)(on ne demande pas de les calculer).

3. Calculer p(I\cap C) puis p( C).

4. On rencontre un client ayant pris un café. Quelle est la probabilité qu’il ait pris une île flottante ? 

Exercice n°6 

Alain participe à un jeu télévisé.
Les questions portent sur la musique et se répartissent en trois catégories : Rock, Variérés et Classique.
Alain sait qu’il a

3 chances sur 4 de donner la bonne réponse sachant qu’il est interrogé sur le Rock ;
4 chances sur 5 de donner la bonne réponse sachant qu’il est interrogé sur les
Variétés ;
1 chance sur 8 de donner la bonne réponse sachant qu’il est interrogé sur la musique 
classique.
On note :
R l’événement : « Alain est interrogé sur le Rock » ;
V l’événement : « Alain est interrogé sur les Variétés »
C l’événement : « Alain est interrogé sur la musique classique  »
B l’événement : « Alain donne la bonne réponse »
Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. On admet donc que
p(R)=p(V)=p(C)=\frac{1}{3} 
1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Alain tire au hasard une question. Montrer que p(B)=\frac{67}{120} .

3. Pour participer à ce jeu, Alain doit payer 10 € de droit d’inscription. Il recevra :
 12 € s’il est interrogé en Rock et que sa réponse est bonne ;
 10 € s’il est interrogé en Variétés et que sa réponse est bonne ;
 50 € s’il est interrogé en Classique et que sa réponse est bonne ;
 rien si la réponse qu’il donne est fausse.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée par Alain associe son gain
algébrique, c’est-à-dire la différence en euros entre ce qu’il reçoit et les 10 € de
droit d’inscription.
a. Montrer que p(X=40)=\frac{1}{24}

b. Déterminer la loi de probabilité de 𝑋.

c. Calculer l’espérance mathématique de 𝑋. Alain a-t-il intérêt à jouer ?

Exercice n°7

Un commerçant dispose dans sa boutique d’un terminal qui permet à ses clients, s’ils souhaitent
régler leurs achats par carte bancaire, d’utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
la transaction est inférieur ou égal à 50 euros ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :
• 80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50 euros. Parmi eux :
— 40 % paient en espèces;
— 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact;
— les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
• 20 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 50 euros. Parmi eux :
— 70 % paient avec une carte bancaire en mode code secret
— les autres paient en espèces.
On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les évènements suivants :
V: « pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 50 euros »
E : « pour son achat, le client a réglé en espèces »
S: « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact »

C: « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret »;
1. a. Donner la probabilité de l’évènement V , notée p(V) , ainsi que la probabilité de S sachant V notée p_V(S) .

b. Traduire la situation de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal
à 50 euros et qu’il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.

b. Montrer que la probabilité de l’évènement : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte
bancaire en utilisant l’un des deux modes » est égale à 0,62.

3. Sachant que le client a payé par carte bancaire en mode secret, montrer que la probabilité de l’évènement : le montant est inférieur ou égal à 50 euros est égale à 0.53

Exercice n°8

Un restaurant propose deux types de plats à emporter : le plat du jour et des pizzas.
Le restaurant propose également plusieurs desserts.
Le propriétaire constate que 60% des clients choisissent le plat du jour et que parmi ceux-ci  80% prennent également un dessert.
Elle constate aussi que 75 % des clients qui ont choisi une pizza  ne prennent pas de dessert.
On choisit au hasard un client .
On considère les évènements suivants :
J : « Le client interrogé a choisi le plat du jour ».
D : « Le client interrogé a choisi un dessert ».
1. Recopier puis compléter l’arbre pondéré suivant :

2. Calculer la probabilité que le client ait choisi un plat du jour et un dessert.

3. Démontrer que p(D)=0.58 .

4. Sachant que le client a acheté un dessert, quelle est la probabilité, arrondie à 0, 01 près, qu’il
ait acheté une pizza ?

5. Les événements J et D sont-ils indépendants ?

Exercice n°9

Pendant la semaine du blanc, une grande surface a mis en vente un lit à 499 euros et une parure de draps à 49 euros.

On a constaté que
40% des clients du magasin ont acheté un lit .
 Parmi les clients ayant acheté un lit, 70 % ont acheté une parure de draps
 Parmi les clients du magasin n’ayant pas acheté de lit, 25 % ont tout de même acheté une parure de draps.
On choisit au hasard un client. On admet qu’un client achète au plus un lit et au plus une parure de draps.
On note les événements suivants :
L « le client achète un lit »
D « le client achète une parure de draps ».
1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité que le client achète un lit et une parure de draps.

3. Montrer que la probabilité de l’événement D est égale à 0.43

.

4. Calculer la probabilité que le client achète un lit sachant qu’il a acheté une parure de draps.

5. On appelle S la variable aléatoire donnant la somme  dépensée par un client au rayon literie.
Calculer l’espérance mathématique de 𝐷 et donner une interprétation de ce nombre dans le contexte de l’exercice.

Dans l’énoncé, on ne demande pas de faire un arbre donc on n’est pas obligé de le faire. On va appliquer la formule du cours :

p_A(V)=\frac{p(A\cap V)}{p(A)}

Il faut donc préciser p(A) et p(A\cap V) à l’aide de l’énoncé.

75 % des clients optent pour l’avion donc

p(A)=\frac{75}{100}=0.75
12 % des clients ont choisi à la fois l’avion et l’option « location de voiture sur place » donc

p(A\cap V)=\frac{12}{100}=0.12.

On calcule
p_A(V)=\frac{0.12}{0.75}
\hspace{1cm}=0.16

 

On va calculer p(V) en utilisant la formule des probabilités totales :

p(V)=p(A\cap V)+p(T\cap V)

  1. On a vu dans la question précédente que  p(A\cap V)=0.12

2. Pour calculer p(T\cap V) on applique la formule p(T\cap V)=p_T(V) \times p(T)

Le contraire de prendre l’avion c’est prendre le train donc

p(T)=1-p(A) \\p(T)=1-0.75 \\p(T)=0.25

Parmi les clients ayant choisi le train, 50 % choisissent aussi l’option « location de voiture sur place » donc p_T(V) =\frac{50}{100}=0.5

On calcule

p(T\cap V)=p_T(V) \times p(T)

p(T\cap V)=0.5 \times 0.25\\p(T\cap V)=0.125

3. On applique la formule des probabilités totales

p(V)=p(A\cap V)+p(T\cap V)\\p(V)=0.12+0.125\\p(V)=0.245

Dans l’énoncé, on ne demande pas de faire un arbre donc on n’est pas obligé de le faire. On va appliquer la formule du cours :

p_{\bar V}(A)=\frac{p(A\cap \bar V)}{p(\bar V)}

Il faut donc préciser p(\bar V) et p(A\cap \bar V) à l’aide des questions précédentes.

On utilise d’abord la probabilité de l’évènement contraire pour déterminer   p(\bar V):

p(\bar V)=1-p(V)\\p(\bar V)=1-0.245\\p(\bar V)=0.755

On utilise d’abord la formule des probabilités totales  pour déterminer   p(A\cap\bar V).

p(A\cap V)+p(A\cap \bar V)=p(A)\\0.12+p(A\cap \bar V)=0.75\\p(A\cap \bar V)=0.75-0.12\\p(A\cap \bar V)=0.75-0.12\\p(A\cap \bar V)=0.63

On calcule 

p_{\bar V}(A)=\frac{0.63}{0.755}\\p_{\bar V}(A)=0.834

Donc  la probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il
n’a pas choisi l’option « location de voiture sur place » arrondie au centième est 0.83.

Calculer la probabilité qu’aucun des deux ne prennent l’option « location de voiture sur place » revient à calculer p(\bar V\cap\bar V).

Comme on interroge les deux clients de façon indépendante

p(\bar V\cap\bar V)=p(\bar V)\times p(\bar V)\\p(\bar V\cap\bar V)=(1-p(V))\times (1-p( V))\\p(\bar V\cap\bar V)=(1-0.245)\times (1-0.245)\\p(\bar V\cap\bar V)=0.755\times 0.755\\p(\bar V\cap\bar V)=0.57

Donc la probabilité qu’aucun des deux ne prennent l’option « location de voiture sur place » est égale à 0.57

On sait que 6% de la population est atteint de la maladie donc p(V)=\frac{6}{100}=0.06.

Si une personne est malade, alors le test se révèle positif dans 60% des cas.

On peut reformuler

Sachant qu’une personne est malade, alors le test se révèle positif dans 60% des cas. Ici la condition est V et l’évènement est T.

p_V(T)=\frac{60}{100}=0.6

Si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans 93% des cas.

On peut reformuler

Sachant qu’une personne n’est pas malade, alors le test se révèle négatif dans 93% des cas. Ici la condition est \bar V et l’évènement est \bar T.

p_{\bar V}(\bar T)=\frac{93}{100}=0.93

Pour achever de compléter les probabilités sur les branches, on utilise : la somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est toujours égale à 1.

Pour calculer p(V\cap T), on calcule la probabilité du chemin qui passe pas V et T en faisant le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule du cours p(V\cap T)=p(V)\times p_V(T).

p(V\cap T)=p(V)\times p_V(T).

p(V\cap T)=0.06 \times 0.6.

p(V\cap T)=0.036.

Pour calculer p( T), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  T. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(T)=p(V\cap T)+p(\bar V\cap T).

p(T)=p(V\cap T)+p(\bar V\cap T)

p(T)=0.036+p(\bar V)\times p_{\bar V}(T).

p(T)=0.036+0.94\times 0.07.

p(T)=0.036+0.0658.

p(T)=0.1018.

Pour calculer p_T( V), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est V ou \bar V. On applique donc la formule du cours.

p_T(V)=\frac{p(V\cap T)}{p(T)}

p_T(V)=\frac{p(V\cap T)}{p(T)}\\p_T(V)=\frac{0.036}{0.1018}\\p_T(V)=0.3536

Une personne dont le test se révèle positif est-elle nécessairement atteinte par cette maladie.

On va calculer la probabilité de cet évènement et comparer le résultat à un. Si on trouve 1, c’est l’évènement certain et la réponse est oui.

On reformule 

Sachant qu’une personne a un test  positif , quelle est la probabilité qu’elle soit atteinte par cette maladie.

La condition est T et l’évènement est V

On a calculé p_T(V) et on a trouvé 0.3536. Ce n’est pas un donc si le test est positif, la personne n’est pas forcément atteinte par la maladie. 

Le sous-traitant A assure  25%  de la production totale donc le sous-traitant B assure  75%  de la production totale.

 Quelle est la probabilité qu’un téléphone proviennent du sous-traitant B sachant qu’il est défectueux ? 

Si on note A l’évènement : la pièce vient du sous-traitant A , B l’évènement : la pièce vient du sous-traitant B et D l’évènement : la pièce est défectueuse.

On cherche à calculer p_D(B).

On n’a pas construit d’arbre, on applique la formule du cours :

p_D(B)= \frac{p(B\cap D)}{p(D)}

d’après l’énoncé p(D)=0.05 

de plus il y a deux chemins qui mènent à D : B\cap D et A\cap D, donc 

p(D)=p(B\cap D)+p(A\cap D)

D’après l’énoncé p(A\cap D)=p(A)\times p_A(D)=0.25\times 0.08=0.02 

On remplace p(A\cap D) par 0.02 et p(D) par 0.05 dans p(D)=p(B\cap D)+p(A\cap D) 

0.05=p(B\cap D)+0.02\\p(B\cap D)+0.02=0.05\\p(B\cap D)=0.05-0.02\\p(B\cap D)=0.03

On remplace p(B\cap D) par 0.03 et p(D) par 0.05 dans p_D(B)= \frac{p(B\cap D)}{p(D)}

p_D(B)= \frac{0.03}{0.05}\\p_D(B)= 0.6

 

 

Michel effectue une série de 3 tirs . Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements :
 T : « Michel touche la cible » ;
 M : « Michel manque la cible ».
On admet que les tirs de Michel sont indépendants.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de fois que Michel touche la cible.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont

0 , 1 , 2  et 3.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i0123
p(X=a_i)    

Je matérialise l’univers à l’aide d’un arbre. Les branches primaires correspondent aux résultats possibles pour le premier tir, les branches secondaires correspondent aux résultats possibles pour le second tir et les branches tertiaires correspondent aux résultats possibles pour le troisième tir.

L’évènement Michel touche la cible 0 fois est composée de l’issue : M\cap M\cap M.

p(X=0)=p(M\cap M\cap M)

Comme les trois tirs sont indépendants :

p(X=0)=p(M)\times p(M) \times p(M)\\p(X=0)=0.2\times 0.2 \times 0.2\\p(X=0)=0.008

L’évènement Michel touche la cible 1 fois est composée des issues :

T\cap M\cap M, M\cap T\cap M et M\cap M\cap T.

p(X=1)=p(T\cap M\cap M)+p(M\cap T\cap M)+p(M\cap M\cap T)

Comme les trois tirs sont indépendants :

p(X=1)=p(T)\times p(M) \times p(M)+p(M)\times p(T) \times p(M)+p(M)\times p(M) \times p(T)\\p(X=1)=0.8\times 0.2 \times 0.2+0.2\times 0.8 \times 0.2+0.2\times 0.2 \times 0.8\\p(X=1)=0.032+0.032+0.032\\p(X=1)=0.096

L’évènement Michel touche la cible 2 fois est composée des issues :

T\cap T\cap M, T\cap M\cap T et M\cap T\cap T.

p(X=2)=p(T\cap T\cap M)+p(T\cap M\cap T)+p(M\cap T\cap T)

Comme les trois tirs sont indépendants :

p(X=2)=p(T)\times p(T) \times p(M)+p(T)\times p(M) \times p(T)+p(M)\times p(T) \times p(T)\\p(X=2)=0.8\times 0.8 \times 0.2+0.8\times 0.2 \times 0.8+0.2\times 0.8 \times 0.8\\p(X=2)=0.128+0.128+0.128\\p(X=2)=0.384

L’évènement Michel touche la cible 3 fois est composée de l’issue : T\cap T\cap T.

p(X=3)=p(T\cap T\cap T)

Comme les trois tirs sont indépendants :

p(X=3)=p(T)\times p(T) \times p(T)\\p(X=3)=0.8\times 0.8 \times 0.8\\p(X=3)=0.512
a_i0123
p(X=a_i)p(X=0)=0.008p(X=1)=0.096p(X=2)=0.384p(X=3)=0.512

 

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i0123
p(X=a_i)p(X=0)=0.008p(X=1)=0.096p(X=2)=0.384p(X=3)=0.512

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=0.008\times 0+0.096\times 1+0.384\times 2+0.512\times 3\\\hspace{1cm}=0+0.096+0.768+1.536\\\hspace{1cm}=2.4

 

 

Le gain algébrique correspond à ce qu’on gagne : 5 euros à chaque fois qu’on touche la cible moins la mise 10 euros.

Ainsi Y=5\times X-10

 D’après la linéarité de la moyenne,

E(Y)=5\times E(X)-10\\E(Y)=5\times 2.4-10\\E(Y)=12-10\\E(Y)=2

Sur un grand nombre de parties, le joueur peut espérer gagner deux euros. Le jeu est favorable au joueur.

le premier dessert est un fondant au chocolat, et est choisi par 50 % des clients donc p(F)=\frac{50}{100}=0.5.
le second dessert est une île flottante, et est choisie par 25 % des clients donc p(I)=\frac{25}{100}=0.25.

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p(R)=1-0.5-0.25=0.25.

Le restaurateur a remarqué que parmi les clients ayant pris comme dessert le fondant au chocolat, 75 % prennent un café donc p_F(C)=\frac{75}{100}=0.75.

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_F(\bar C)=1-0.75=0.25.

Parmi les clients ayant pris comme dessert une île flottante, 25 % prennent un café

p_I(C)=\frac{25}{100}=0.25.

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_I(\bar C)=1-0.25=0.75.

Parmi les clients n’ayant pas pris de dessert,80 % prennent un café

p_R(C)=\frac{80}{100}=0.8.

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_R(\bar C)=1-0.8=0.2.

 

 

 p(I\cap C) est la probabilité de choisir un client qui a choisi une île flottante et pris un café.

p_C( F) est la probabilité que le client ait choisi un fondant au chocolat sachant qu’il a pris un café.

Remarque : la condition est C car C est écrit sous la ligne. 

 

Pour calculer p(I\cap C), on calcule la probabilité du chemin qui passe pas I et C en faisant le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule du cours p(I\cap C)=p(I)\times p_I(C).

p(I\cap C)=p(I)\times p_I(C)

p(I\cap C)=0.25 \times 0.25

p(I\cap C)=0.0625

Pour calculer p( C), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  C. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(C)=p(F\cap C)+p( I\cap C)+p(R\cap C).

p(C)=p(F\cap C)+p( I\cap C)+p(R\cap C)

p(C)=p(F)\times p_F(C)+0.0625+p(R)\times p_R(C)

p(C)=0.5\times 0.75+0.0625+0.25\times 0.8

p(C)=0.375+0.0625+0.2

p(C)=0.6375

 

Pour calculer p_C( I), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est F, I ou \bar R. On applique donc la formule du cours.

p_C(I)=\frac{p(I\cap C)}{p(C)}

p_C(I)=\frac{p(I\cap C)}{p(C)}\\p_C(I)=\frac{0.0625}{0.6375}\\p_C(I)=0.098

Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. On admet donc que
p(R)=p(V)=p(C)=\frac{1}{3}, on peut donc compléter les probabilités sur les branches primaires.  


Alain  a 3 chances sur 4 de donner la bonne réponse sachant qu’il est interrogé sur le Rock donc 

p_R(B)=\frac{3}{4}

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_R(\bar B)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}


Alain a 4 chances sur 5 de donner la bonne réponse sachant qu’il est interrogé sur les
Variétés donc

p_V(B)=\frac{4}{5}

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_V(\bar B)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}

Alain a 1 chance sur 8 de donner la bonne réponse sachant qu’il est interrogé sur la musique classique donc :

p_C(B)=\frac{1}{8}

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_C(\bar B)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

 

Pour calculer p(B), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  B. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(B)=p(R\cap B)+p( V\cap B)+p(C\cap B)

p(B)=p(R\cap B)+p( V\cap B)+p(C\cap B)

p(B)=p(R)\times p_R(B)+p(V)\times p_V(B)+p(C)\times p_C(B)

p(B)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}

p(B)=\frac{1}{4}+\frac{4}{15}+\frac{1}{24}

On met au même dénominateur, ici 120.

p(B)=\frac{1}{4}\times \frac{30}{30}+\frac{4}{15}\times \frac{8}{8}+\frac{1}{24}\times \frac{5}{5}

p(B)=\frac{30}{120}+\frac{32}{120}+\frac{5}{120}

p(B)=\frac{67}{120}

 

 

Pour participer à ce jeu, Alain doit payer 10 € de droit d’inscription. Il recevra :
 12 € s’il est interrogé en Rock et que sa réponse est bonne ;
 10 € s’il est interrogé en Variétés et que sa réponse est bonne ;
 50 € s’il est interrogé en Classique et que sa réponse est bonne ;
 rien si la réponse qu’elle donne est fausse.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée par Alain associe son gain
algébrique, c’est-à-dire la différence en euros entre ce qu’il reçoit et les 10 € de
droit d’inscription.
Le gain algébrique vaut 40 euros quand Alain a misé 10 euros  et qu’il a gagné 50 euros , c’est-à-dire qu’il a bien répondu à la question musique classique.

On calcule p(C\cap B)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{8} =\frac{1}{24}.

 

 

Pour participer à ce jeu, Alain doit payer 10 € de droit d’inscription. Il recevra :
 12 € s’il est interrogé en Rock et que sa réponse est bonne ;
 10 € s’il est interrogé en Variétés et que sa réponse est bonne ;
 50 € s’il est interrogé en Classique et que sa réponse est bonne ;
 rien si la réponse qu’il donne est fausse.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée par Alain associe son gain
algébrique, c’est-à-dire la différence en euros entre ce qu’il reçoit et les 10 € de
droit d’inscription.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont

-10 , 0 , 2  et 40.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i-100240
p(X=a_i)    

On va utiliser l’arbre. 

L’évènement le gain est -10 est composée des issues : R\cap \bar B, V\cap \bar B et C\cap \bar B.

p(X=-10)=p(R\cap \bar B)+p(V\cap \bar B)+p(C\cap \bar B)\\p(X=-10)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{3}\times \frac{7}{8}\\p(X=-10)=\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{7}{24}

On met au même dénominateur, ici 120.

p(X=-10)=\frac{1}{12}\times \frac{10}{10}+\frac{1}{15}\times \frac{8}{8}+\frac{7}{24}\times \frac{5}{5}\\p(X=-10)=\frac{10}{120}+\frac{8}{120}+\frac{35}{120}\\p(X=-10)=\frac{53}{120}

L’évènement le gain est 0 est composée de l’issue : V\cap B

p(X=0)=p(V\cap B)

p(X=0)=\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}

p(X=0)=\frac{4}{15}

L’évènement le gain est 2 est composée de l’issue : R\cap B

p(X=2)=p(R\cap B)

p(X=2)=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}

p(X=2)=\frac{1}{4}

Dans la question précédente, on a trouvé :

p(X=40)=\frac{1}{24}

a_i-100240
p(X=a_i)p(X=-10)=\frac{53}{120}p(X=0)=\frac{4}{15}p(X=2)=\frac{1}{4}p(X=40)=\frac{1}{24}

 

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i-100240
p(X=a_i)p(X=-10)=\frac{53}{120}p(X=0)=\frac{4}{15}p(X=2)=\frac{1}{4}p(X=40)=\frac{1}{24}

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=\frac{53}{120}\times (-10)+\frac{4}{15}\times 0+\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{24}\times 40\\\hspace{1cm}=-2.25

Sur un grand nombre de parties, Alain peut espérer perdre en moyenne 2.25 euros. Non, il n’a pas intérêt à jouer.

 

 80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50 euros donc p(V)=\frac{80}{100}=0.8

80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50 euros. Parmi eux : 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact.

On reformule

Sachant que le client a réglé une somme inférieure ou égale à 50 euros, la probabilité qu’il ait payé par carte en mode sans contact est \frac{40}{100}

p_V(S)=\frac{40}{100}=0.4

On a vu dans la question précédente que p(V)=0.8 et que p_V(S)=0.4

Il remarque que : 80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50 euros. Parmi eux : 40 % paient en espèces.

On reformule

Sachant que le client a réglé un montant inférieur ou égal à 50 euros, la probabilité qu’il ait payé en espèces est \frac{40}{100}.

p_V(E)=\frac{40}{100}=0.4.

Il remarque que : 80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 50 euros. Parmi eux : les autres paient avec une carte bancaire en mode secret.

On reformule

Sachant que le client a réglé un montant inférieur ou égal à 50 euros, la probabilité qu’il ait payé par carte en mode secret  est \frac{20}{100}.

p_V(C)=\frac{100-40-40}{100}=0.2.

 20 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 50 euros. Parmi eux :
 70 % paient avec une carte bancaire en mode code secret

On reformule

Sachant que le client a réglé un montant stictement supérieur à 50 euros, la probabilité qu’il ait payé par carte en mode secret  est \frac{70}{100}.

p_{\bar V}(C)=\frac{70}{100}=0.7.
20 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 50 euros. Parmi eux, les autres paient en espèces.

On reformule

Sachant que le client a réglé un montant stictement supérieur à 50 euros, la probabilité qu’il ait payé en espèces est \frac{100-70}{100}.

p_{\bar V}(E)=\frac{100-70}{100}=0.3.

 

Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal
à 50 euros et qu’il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact revient à calculer p(V\cap S).

Pour calculer p(V\cap S), on calcule la probabilité du chemin qui passe pas V et S en faisant le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule du cours p(V\cap S)=p(V)\times p_V(S).

p(V\cap S)=p(V)\times p_V(S).

p(V\cap S)=0.8 \times 0.4.

p(V\cap S)=0.32.

Pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l’un des deux modes, est
l’événement C\cup S ; les événements C et S étant incompatibles, p(C\cup S)=p(C)+p(S) .

D’après la formule des probabilités totales :
p(C)=p(V\cap C)+p(\bar V\cap C)\\p(C)=0.8\times 0.2+0.2\times 0.7\\p(C)=0.16+0.14\\p(C)=0.3\\p(S)=p(V\cap S)\\p(S)=0.32

Donc :

p(C\cup S)=p(C)+p(S)\\p(C\cup S)=0.3+0.32\\p(C\cup S)=0.62

La probabilité de l’évènement : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l’un des deux modes » est bien égale à 0,62.

 

 

Pour calculer p_C( V), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est V ou \bar V. On applique donc la formule du cours.

p_C(V)=\frac{p(V\cap C)}{p(C)}

p_C(V)=\frac{p(V\cap C)}{p(C)}

On a montré précédemment que p(V\cap C)=0.16 et p(C)=0.3\\p_C(V)=\frac{0.16}{0.3}\\p_C(V)=0.53

 

Le propriétaire constate que 60% des clients choisissent le plat du jour donc p(J)=\frac{60}{100}=0.6.

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p(\bar J)=1-0.6=0.4.

Le propriétaire constate que 60% des clients choisissent le plat du jour et que parmi ceux-ci  80% prennent également un dessert.

On reformule

Sachant que le client a choisi le plat du jour la probabilité qu’il choississe un dessert est \frac{80}{100}.

p_J(D)=\frac{80}{100}=0.8.

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_J(\bar D)=1-0.8=0.2.

Il constate aussi que 75 % des clients qui ont choisi une pizza  ne prennent pas de dessert.

On reformule

Sachant que le client a choisi la pizza la probabilité qu’il choississe pas de dessert est \frac{75}{100}.

p_{\bar J}(\bar D)=\frac{75}{100}=0.75.

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

p_{\bar J}(D)=1-p_{\bar J}(\bar D).

p_{\bar J}(D)=1-\frac{75}{100}.

p_{\bar J}(D)=1-0.75.

p_{\bar J}(D)=0.25.

 

 

Calculer la probabilité que le client ait choisi un plat du jour et un dessert.

Pour calculer p(J\cap D), on calcule la probabilité du chemin qui passe pas J et D en faisant le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule du cours p(J\cap D)=p(J)\times p_J(D).

p(J\cap D)=p(J)\times p_J(D)

p(J\cap D)=0.6 \times 0.8.

p(J\cap D)=0.48.

Pour calculer p( D), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  D. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(D)=p(J\cap D)+p(\bar J\cap D).

p(D)=p(J\cap D)+p(\bar J\cap D)

p(D)=0.48+p(\bar J)\times p_{\bar J}(D).

p(D)=0.48+0.4\times 0.25.

p(D)=0.48+0.1.

p(D)=0.58.

Sachant que le client a acheté un dessert, quelle est la probabilité, arrondie à 0, 01 près, qu’il
ait acheté une pizza ?

Pour calculer p_D( \bar J), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est J ou \bar J. On applique donc la formule du cours.

p_D(\bar J)=\frac{p( \bar J\cap D)}{p(D)}

p_D(\bar J)=\frac{p(\bar J\cap D)}{p(D)}\\p_D(\bar J)=\frac{0.1}{0.58}\\p_D(\bar J)=0.17

Dans les questions précédentes, on a établi que 

p(J)=0.6\\p(D)=0.58\\p(J\cap D)=0.48.

Calculons p(J)\times p(D) et comparons le résultat à p(J\cap D)

p(J)\times p(D)=0.6\times 0.58

p(J)\times p(D)=0.348

Donc p(J)\times p(D) \ne p(J\cap D)

Donc les évènements J et D ne sont pas indépendants.

 

 

40% des clients du magasin ont acheté un lit donc p(L)=\frac{40}{100}=0.4

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est toujours égale à 1.

p(\bar L)=1-p(L)=1-0.4=0.6
Parmi les clients ayant acheté un lit, 70 % ont acheté une parure de draps

On peut reformuler

Sachant que la personne a acheté un lit, la probabilité qu’elle achète une parure de draps est \frac{70}{100}

p_L(D)=\frac{70}{100}=0.7

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est toujours égale à 1.

p_L(\bar D)=1-0.7=0.3
 Parmi les clients du magasin n’ayant pas acheté de lit, 25 % ont tout de même acheté une parure de draps.

On peut reformuler

Sachant que la personne n’a pas acheté de lit, la probabilité qu’elle achète une parure de draps est \frac{25}{100}

p_{\bar L}(D)=\frac{25}{100}=0.25

La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est toujours égale à 1.

p_{\bar L}(\bar D)=1-0.25=0.75

 

 

Pour calculer p(L\cap D), on calcule la probabilité du chemin qui passe pas L et D en faisant le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule du cours p(L\cap D)=p(L)\times p_L(D).

p(L\cap D)=p(L)\times p_L(D).

p(L\cap D)=0.4\times 0.7.

p(L\cap D)=0.28.

Pour calculer p( D), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  D. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(D)=p(L\cap D)+p(\bar L\cap D).

p(D)=p(L\cap D)+p(\bar L\cap D)

p(D)=0.28+p(\bar L)\times p_{\bar L}(D).

p(D)=0.28+0.6\times 0.25.

p(D)=0.28+0.15.

p(D)=0.43.

Il faut calculer la probabilité que le client achète un lit sachant qu’il a acheté une parure de draps.

Pour calculer p_D( L), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est L ou \bar L. On applique donc la formule du cours.

p_D(L)=\frac{p(L\cap D)}{p(D)}

p_D(L)=\frac{p(L\cap D)}{p(D)}\\p_D(L)=\frac{0.28}{0.43}\\p_D(L)=0.65

Pendant la semaine du blanc, une grande surface a mis en vente un lit à 499 euros et une parure de draps à 49 euros.

On appelle S la variable aléatoire donnant la somme  dépensée par un client au rayon literie.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire S. Les valeurs sont

0 , 49 , 499  et 548.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i049499548
p(S=a_i)    

On va utiliser l’arbre. 

L’évènement la somme dépensée est  0 est composée de l’issue \bar L\cap \bar D

p(S=0)=p(\bar L\cap \bar D)\\p(S=0)=0.6\times 0.75=0.45

L’évènement la somme dépensée est  49 est composée de l’issue \bar L\cap D

p(S=49)=p(\bar L\cap D)\\p(S=49)=0.6\times 0.25=0.15

L’évènement la somme dépensée est  499 est composée de l’issue L\cap \bar D

p(S=499)=p(L\cap \bar D)\\p(S=499)=0.4\times 0.3=0.12

L’évènement la somme dépensée est  548 est composée de l’issue L\cap D

p(S=548)=p(L\cap  D)\\p(S=548)=0.4\times 0.7=0.28
a_i049499548
p(S=a_i)p(S=0)=0.45p(S=49)=0.15p(S=499)=0.12p(S=548)=0.28

On calcule l’espérance 

E(x)=0\times0.45+49\times0.15+499\times0.12+548\times0.28\\E(x)=220.67.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.