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1. Variables aléatoires. Exercices

Exercice n°1

On vous propose le jeu suivant:
Pour jouer, il faut payer 2€. Ensuite, on lance 3 fois de suite une pièce bien équilibrée. Chaque pile rapporte 3€ et chaque face fait perdre 2€.
On considère la variable aléatoire G égale au gain algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de G et son espérance.

correction loi de probabilité de G
correction espérance de G
vérification avec la calculatrice ti-83 premium

Exercice n°2

On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note X la variable aléatoire égale à la somme des deux nombres sortis.
1) Déterminer la loi de probabilité de X.

correction

2) Déterminer l’espérance de X. 

correction
vérification avec la calculatrice ti-83 premium

Exercice n°3

Deux vendeurs de bulbes de tulipes proposent des lots à la vente :
Dans les lots proposés par le premier vendeur  75 % des bulbes donnent des tulipes rouges  et 25 % donnent des tulipes  jaunes.

Dans les lots proposés par le second vendeur  30 % des bulbes donnent des tulipes rouges  et 70 % donnent des tulipes  jaunes.

Un fleuriste se fournit auprès de ces deux vendeurs. Il achète 40 % de ses bulbes de tulipes au premier vendeur et 60 % au deuxième.
On choisit au hasard un bulbe chez le fleuriste.
On note 𝐴 l’événement « Le bulbe provient du premier vendeur » et R l’événement « Le
bulbe donne des tulipes de couleur rouge ».
1.a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

correction

b. Calculer p(A\cap R) et interpréter ce résultat.

correction

c. Montrer que la probabilité que le bulbe soit de couleur rouge est 0.48.

correction

d. Sachant que le bulbe choisi est rouge, quelle
est la probabilité qu’il ait été vendu par le deuxième vendeur ? 

correction

2. Le fleuriste fixe à 2 € le prix de vente d’un bulbe rouge et à 3 € le prix d’un bulbe jaune.
On choisit au hasard un bulbe chez le fleuriste et on désigne par 𝑋 la variable aléatoire égale
au prix en euros du bulbe acheté. Déterminer la loi de probabilité de 𝑋 puis son espérance.

correction
vérification avec la calculatrice ti-83 premium

Exercice n°4

Un jeu se déroule en deux parties :
 La probabilité que le joueur gagne la première partie est de 0,25
 S’il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de 0,75
 S’il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de 0,5
On note :
G_1 l’événement « le joueur gagne la première partie »
G_2 l’événement « le joueur gagne la seconde partie »
1.a. Préciser p(G_1), p_{G_1}(G_2) et  p_{\bar {G_1}}(\bar {G_2}) . 

correction

1.b.Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

correction

2. Calculer la probabilité que le joueur gagne les deux parties du jeu.

correction

3. Montrer que la probabilité que le joueur gagne la deuxième partie du jeu est 0.5625 .

correction

4. On sait de plus que :
 à chaque partie gagnée, le joueur gagne 1,5 €.
 à chaque partie perdue, il perd 1 €.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros de Maxime
à l’issue des deux parties.
a. Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de
probabilité de la variable aléatoire 𝑋.

a_i   
p(X=a_i)   
correction

b. Déterminer si ce jeu est équitable. Justifier

correction
vérification avec la calculatrice ti-83 premium

©2020 – Math’O karé SAS

Pour jouer, il faut payer 2€. Ensuite, on lance 3 fois de suite une pièce bien équilibrée. Chaque pile rapporte 3€ et chaque face fait perdre 2€.
On considère la variable aléatoire G égale au gain algébrique du joueur.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire G. Les valeurs sont :

pour trois piles, le gain algébrique est (3+3+3)-2=7

pour deux piles et un face, le gain algébrique est (3+3-2)-2=2

pour un pile et deux faces, le gain algébrique est (3-2-2)-2=-3

pour trois faces, le gain algébrique est (-2-2-2)-2=-8.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i-8-327
p(G=a_i)    

Je matérialise l’univers à l’aide d’un arbre. Les branches primaires correspondent aux résultats possibles pour le premier lancer, les branches secondaires correspondent aux résultats possibles pour le second lancer et les branches tertiaires correspondent aux résultats possibles pour le troisième lancer.

On utilise P pour pile et F pour face.

On perd 8 euros pour l’issue F\cap F\cap F. Les résultats des trois tirages sont indépendants donc

p(F\cap F\cap F)=p(F)\times p(F)\times p(F)\\p(F\cap F\cap F)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\\p(F\cap F\cap F)=\frac{1}{8}

donc p(G=-8)=\frac{1}{8}

On perd 3 euros pour les issues P\cap F\cap F, F\cap P\cap F et F\cap F\cap P qui ont toutes une probabilité \frac{1}{8} de se produire (voir au-dessus) donc

p(G=-3)=\frac{3}{8}

On gagne 2 euros pour les issues P\cap P\cap F, P\cap F\cap P et F\cap P\cap P qui ont toutes une probabilité \frac{1}{8} de se produire (voir au-dessus) donc

p(G=2)=\frac{3}{8}

On gagne 7 euros pour l’issue P\cap P\cap P qui a une probabilité \frac{1}{8} de se produire  donc

p(G=7)=\frac{1}{8}
a_i-8-327
p(G=a_i)p(G=-8)=\frac{1}{8}p(G=-3)=\frac{3}{8}p(G=2)=\frac{3}{8}p(G=7)=\frac{1}{8}

 

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire G :

a_i-8-327
p(G=a_i)p(G=-8)=\frac{1}{8}p(G=-3)=\frac{3}{8}p(G=2)=\frac{3}{8}p(G=7)=\frac{1}{8}

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=\frac{1}{8}\times (-8)+\frac{3}{8}\times (-3)+\frac{3}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 7\\E(X)=-\frac{8}{8}-\frac{9}{8}+\frac{6}{8}+\frac{7}{8}\\\hspace{1cm}=-\frac{4}{8}\\\hspace{1cm}=-0.5

Remarque : le jeu est défavorable au joueur sur un grand nombre de parties il peut espérer perdre en moyenne 0.50 euro par partie.

 

On lance deux dés cubiques bien équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note X la variable aléatoire égale à la somme des deux nombres sortis.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont : tous les nombres entiers de 2 à 12.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i 23456789101112
p(X=a_i)            

Je matérialise l’univers à l’aide du tableau ci-dessous en se ramenant à une situation d’équiprobabilité. 

 

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

p(X=2)=\frac{1}{36} car il n’y a qu’une issue pour laquelle la somme vaut 2.

p(X=3)=\frac{2}{36} car il y a deux issues pour lesquelles la somme vaut 3.

p(X=4)=\frac{3}{36} car il y a trois issues pour lesquelles la somme vaut 4.

Et on obtient de la même façon toutes les autres probabilités.

a_i 23456789101112
p(X=a_i) \frac{1}{36}\frac{2}{36}\frac{3}{36}\frac{4}{36}\frac{5}{36}\frac{6}{36}\frac{5}{36}\frac{4}{36}\frac{3}{36}\frac{2}{36}\frac{1}{36}

 

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire G :

a_i 23456789101112
p(X=a_i) \frac{1}{36}\frac{2}{36}\frac{3}{36}\frac{4}{36}\frac{5}{36}\frac{6}{36}\frac{5}{36}\frac{4}{36}\frac{3}{36}\frac{2}{36}\frac{1}{36}

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=\frac{1}{36}\times 2+\frac{2}{36}\times 3+\frac{3}{36}\times 4+\frac{4}{36}\times 5+\frac{5}{36}\times 6+\frac{6}{36}\times 7+\frac{5}{36}\times 8+\frac{4}{36}\times 9+\frac{3}{36}\times 10+\frac{2}{36}\times 11+\frac{1}{36}\times 12\\E(X)=\frac{2}{36}+\frac{6}{36}+\frac{12}{36}+\frac{20}{36}+\frac{30}{36}+\frac{42}{36}+\frac{40}{36}+\frac{36}{36}+\frac{30}{36}+\frac{22}{36}+\frac{12}{36}\\E(X)=-\frac{8}{8}-\frac{9}{8}+\frac{6}{8}+\frac{7}{8}\\E(X)=\frac{252}{36}\\E(X)=7

 

Un fleuriste se fournit auprès de ces deux vendeurs. Il achète 40 % de ses bulbes de tulipes au premier vendeur  donc

p(A)=0.4

Et 60 % au deuxième donc

p(\bar A)=0.6

Dans les lots proposés par le premier vendeur  75 % des bulbes donnent des tulipes rouges donc

p_A(R)=0.75

et 25 % donnent des tulipes  jaunes donc

p_A(\bar R)=0.25

Dans les lots proposés par le second vendeur  30 % des bulbes donnent des tulipes rouges donc

p_{\bar A}(R)=0.3

   et 70 % donnent des tulipes  jaunes donc

p_{\bar A}(\bar R)=0.7

 

 

Pour calculer p(A\cap R), on calcule la probabilité du chemin qui passe pas A et R en faisant le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule du cours p(A\cap R)=p(A)\times p_A(R).

p(A\cap R)=p(A)\times p_A(R)\\p(A\cap R)=0.4\times 0.75\\p(A\cap R)=0.3

On va montrer que la probabilité que le bulbe soit de couleur rouge est 0.48.

Pour calculer p( R), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  R. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(R)=p(A\cap R)+p(\bar A\cap R).

p(R)=p(A\cap R)+p(\bar A\cap R)

\hspace{0.85cm}=0.3+p(\bar A)\times p_{\bar A}(R).

\hspace{0.85cm}=0.3+0.6\times 0.3.

\hspace{0.85cm}=0.3+0.18.

\hspace{0.85cm}=0.48.

On veut calculer la probabilité de l’évènement :sachant que le bulbe choisi est rouge, quelle est la probabilité qu’il ait été vendu par le deuxième vendeur. La condition est R et l’évènement est \bar A.

Pour calculer p_R( \bar A), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est A ou \bar A. On applique donc la formule du cours.

p_R(\bar A)=\frac{p(\bar A\cap R)}{p(R)}

p_R(\bar A)=\frac{p(\bar A\cap R)}{p(R)}\\p_R(\bar A)=\frac{0.18}{0.48}\\p_R(\bar A)=0.375

Le fleuriste fixe à 2 € le prix de vente d’un bulbe rouge et à 3 € le prix d’un bulbe jaune.
On choisit au hasard un bulbe chez le fleuriste et on désigne par 𝑋 la variable aléatoire égale
au prix en euros du bulbe acheté. 

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont :  2  et 3.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i23
p(X=a_i)  
p(X=2)=p(R)\\\hspace{1.5cm}=0.48\\p(X=3)=p(\bar R)\\\hspace{1.5cm}=1-0.48\\\hspace{1.5cm}=0.52\\\hspace{1.5cm}=0.52
a_i23
p(X=a_i)0.480.52

On calcule l’espérance :

E(X)=0.48\times2+0.52\times3\\\hspace{1cm}=0.96+1.56\\\hspace{1cm}=2.52

 

 

La probabilité que le joueur gagne la première partie est de 0,25 donc

p(G_1)=0.25

S’il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de 0,75

Sachant que la personne a gagné la première partie, la probabilité qu’elle gagne la seconde partie est 0.75

p_{G_1}(G_2)=0.75


 S’il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de 0,5

On peut reformuler

Sachant que la personne a perdu la première partie, la probabilité qu’elle perde la seconde partie est 0.5

p_{\bar {G_1}}(\bar {G_2})=0.5

Pour préparer l’arbre, il faut identifier la condition et l’évènement.

Dans le texte de l’énoncé ce qui vient avant c’est le résultat de la partie 1( la condition) , avec les issues  G_1 et \bar G_1. Ce sont les issues que l’on trouvera sur les branches primaires.

Dans le texte de l’énoncé ce qui vient après c’est le résultat de la partie 2 (l’évènement), avec les issues  G_2 et \bar G_2. Ce sont les issues que l’on trouvera sur les branches secondaires.

Pour compléter les probabilités sur les branches, on utilise les probabilités de la question précédente : p(G_1)=0.25, p_{G_1}(G_2)=0.75 et p_{\bar {G_1}}(\bar {G_2})=0.5. On utilise aussi la propriété : la somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1.

Calculer la probabilité que le joueur gagne les deux parties du jeu

Pour calculer p(G_1\cap G_2), on calcule la probabilité du chemin qui passe pas G_1 et G_2 en faisant le produit des probabilités sur les branches. Ce qui revient à appliquer la formule du cours p(G_1\cap G_2)=p(G_1)\times p_{G_1}(G_2).

p(G_1\cap G_2)=p(G_1)\times  p_{G_1}(G_2)

p(G_1\cap G_2)=0.25 \times 0.75.

p(G_1\cap G_2)=0.1875.

On veut montrer que la probabilité que le joueur gagne la deuxième partie du jeu est 0.5625 .

Pour calculer p( G_2), on ajoute les  probabilités de tous les chemins qui mènent à  G_2. Ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales

p(G_2)=p(G_1\cap G_2)+p(\bar G_1\cap G_2).

p(G_2)=p(G_1\cap G_2)+p(\bar G_1\cap G_2).

p(G_2)=0.1875+p(\bar G_1)\times p_{\bar G_1}(G_2).

p(G_2)=0.1875+0.75\times 0.5

p(G_2)=0.1875+0.375

p(G_2)=0.5625

 

 

 à chaque partie gagnée, le joueur gagne 1,5 €.
 à chaque partie perdue, il perd 1 €.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros du joueur
à l’issue des deux parties.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont +3 ( on gagne deux fois), +0.5 (on gagne une fois et on perd une fois) et -2 (on perd deux fois) .

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i+3+0.5-2
p(X=a_i)   

On gagne 3 euros pour l’issue G_1\cap G_2. 

p(X=+3)=p(G_1\cap G_2)\\p(X=+3)=0.1875

On gagne 0.5 euro pour les issues G_1\cap \bar G_2  ou  \bar G_1\cap G_2. 

p(X=+0.5)=p(G_1\cap \bar G_2)+p(\bar G_1\cap G_2)\\p(X=+0.5)=0.25 \times 0.25+0.75 \times 0.5\\p(X=+0.5)=0.4375

On perd 2 euros pour l’issue \bar G_1\cap\bar G_2

p(X=-2)=p(\bar G_1\cap\bar G_2)\\p(X=-2)=0.75 \times 0.5\\p(X=-2)=0.375

On peut achever le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

+3+0.5-2

p(X=a_i)

p(X=+3)=0.1875p(X=+0.5)=0.4375

p(X=-2)=0.375

On a déterminé le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

+3+0.5-2

p(X=a_i)

p(X=+3)=0.1875p(X=+0.5)=0.4375

p(X=-2)=0.375

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=0.1875\times 3+0.4375\times 0.5+0.375\times (-2)\\\hspace{1cm}=0.03125

Remarque : le jeu est favorable au joueur sur un grand nombre de parties il peut espérer gagner en moyenne 3 centimes d’euro par partie, ce qui n’est pas beaucoup.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.