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TC. Loi uniforme sur {1;2;3…;n}

Définition

  Soit X la variable aléatoire définie sur un univers \Omega et à valeurs dans \{1;2;3;…n\}.

  On dit que X suit la loi uniforme sur \{1;2;3;…n\} si p(X=k)=\frac{1}{n} pour tout k \in \{1;2;3;…n\}

Remarque : ici les valeurs prises par X sont des valeurs isolées ( ici des nombres entiers) , on dit que X suit une loi discrète.

Propriété

  Soit X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \{1;2;3;…n\}.

  L’ espérance de  X vérifie E(x)=\frac{n+1}{2}.

Démonstration de la propriété

Exercice n°1 :

Dans un bar, le serveur a remarqué qu’un de ses clients boit de façon équiprobable entre 1 et 5 cafés par jour.

  1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire  X donnant le nombre de cafés bus par jour par le client.
correction

2. Calculer l’espérance de X. Interpréter le résultat.

correction

Exercice n°2 

Dans une urne, il y a 9 boules. 

  • Trois sont vertes et portent le n°2
  • Deux sont rouges et portent le n°1
  • Quatre sont bleues : trois sont numérotées 3 et une porte le numéro 1.

On considère la variable aléatoire X qui associe à la boule tirée le numéro lu sur la boule.

  1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire  X. Quelle est la nature de cette loi ?
correction

2. Calculer l’espérance de X. 

correction

Exercice n°3 :

Une roue de loterie bien équilibrée est partagée en 6 parties égales. Chaque secteur est numéroté.

On fait tourner la roue.

 Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur indiquée sur le secteur angulaire quand la roue s’arrête.

  1. Donner la loi suivie par la variable aléatoire  X.
correction

2. Combien de points un joueur peut-il espérer gagner en moyenne au cours d’une partie.

correction

3. Pour pouvoir jouer, on doit miser 1 euro. Chaque point rapporte 40 centimes. le jeu est-il équitable ?

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Dans un bar, le serveur a remarqué qu’un de ses clients boit de façon équiprobable entre 1 et 5 cafés par jour.

Soit la variable aléatoire  X donnant le nombre de cafés bus par jour par le client.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont

1 , 2 , 3 ,4  et 5.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i12345
p(X=a_i)     

D’après l’énoncé  le client boit de façon équiprobable entre 1 et 5 cafés, donc

p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=p(X=4)=p(X=5)

Comme

p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4)+p(X=5)=1

Alors 

p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=p(X=4)=p(X=5)=\frac{1}{5}

La variable X suit donc une loi uniforme sur \{1;2;3;4,5\}.

On complète le tableau de la loi de probabilité.

a_i12345
p(X=a_i)p(X=1)=\frac{1}{5}p(X=2)=\frac{1}{5}p(X=3)=\frac{1}{5}p(X=4)=\frac{1}{5}p(X=5)=\frac{1}{5}

 

 

On a remarqué précédemment que  la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur \{1;2;3;4;5\}.

D’après le cours :

Propriété

  Soit X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \{1;2;3;…n\}.

  L’ espérance de  X vérifie E(x)=\frac{n+1}{2}.

On remplace n par 5 dans E(x)=\frac{n+1}{2}

E(x)=\frac{5+1}{2}

E(x)=\frac{6}{2}

E(x)=3

Si on répète un grand nombre de fois l’expérience, le client boira en moyenne 3 cafés.

Dans une urne, il y a 9 boules indiscernables au toucher. 

  • Trois sont vertes et portent le n°2
  • Deux sont rouges et portent le n°1
  • Quatre sont bleues : trois sont numérotées 3 et une porte le numéro 1.

On considère la variable aléatoire X qui associe à la boule tirée le numéro lu sur la boule.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont

1 , 2  et 3.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i123
p(X=a_i)   

On tire une boule au hasard dans une urne qui en contient 9. Chacune d’entre elles a une probabilité \frac{1}{9} d’être choisie.

Trois boules portent le n°1 , chacune a une probabilité \frac{1}{9} d’être choisie.

p(X=1)=\frac{3}{9}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{3}

Trois boules portent le n°2 , chacune a une probabilité \frac{1}{9} d’être choisie.

p(X=2)=\frac{3}{9}.

\hspace{1.5cm}=\frac{1}{3}

Trois boules portent le n°3 , chacune a une probabilité \frac{1}{9} d’être choisie.

p(X=3)=\frac{3}{9}.

\hspace{1.5cm}=\frac{1}{3}

Comme p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=\frac{3}{9}, X suit la loi uniforme sur \{1;2;3\}. 

 

 

On a remarqué précédemment que  la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur \{1;2;3\}.

D’après le cours :

Propriété

  Soit X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \{1;2;3;…n\}.

  L’ espérance de  X vérifie E(x)=\frac{n+1}{2}.

On remplace n par 3 dans E(x)=\frac{n+1}{2}

E(x)=\frac{3+1}{2}

E(x)=\frac{4}{2}

E(x)=2

Si on répète un grand nombre de fois l’expérience, la moyenne des résultats obtenus sera très proche de 2.

Une roue de loterie bien équilibrée est partagée en 6 parties égales. Chaque secteur est numéroté.

On fait tourner la roue.

 Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur indiquée sur le secteur angulaire quand la roue s’arrête.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont

1 , 2  et 3.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i123
p(X=a_i)   

On fait tourner la roue, il y a  6 secteurs sur lesquels elle peut s’arrêter. Chaque secteur a une probabilité \frac{1}{6} d’être choisi.

Deux secteurs portent le n°1 , chacun a une probabilité \frac{1}{6} d’être choisi.

p(X=1)=\frac{2}{6}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{3}

Deux secteurs portent le n°2 , chacun a une probabilité \frac{1}{6} d’être choisi.

p(X=2)=\frac{2}{6}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{3}

Deux secteurs portent le n°3 , chacun a une probabilité \frac{1}{6} d’être choisi.

p(X=3)=\frac{2}{6}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{3}

Comme p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=\frac{1}{3}, X suit la loi uniforme sur \{1;2;3\}. 

 

 

On a remarqué précédemment que  la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur \{1;2;3\}.

D’après le cours :

Propriété

  Soit X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \{1;2;3;…n\}.

  L’ espérance de  X vérifie E(x)=\frac{n+1}{2}.

On remplace n par 3 dans E(x)=\frac{n+1}{2}

E(x)=\frac{3+1}{2}

E(x)=\frac{4}{2}

E(x)=2

Si on répète un grand nombre de fois l’expérience, On peut espérer gagner 2 points.

On peut espérer gagner en moyenne 2 points par partie qui rapportent 80 centimes d’euro. Comme on a misé 1 euro, le jeu est défavorable au joueur et non équitable.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.