1. Equation de tangente. Fiche-méthode.

Déterminer par le calcul l’équation de la tangente à la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par

$f(x)=\frac{x+2}{x^2+1}$ au point d’abscisse $1$ .

1.Je calcule $f(1)$ en remplaçant tous les $x$ par $1$ dans

$f(x)=\frac{x+2}{x^2+1}$

f(1)=\frac{1+2}{1^2+1}

$\hspace{0.8cm}=\frac{3}{1+1}$

$\hspace{0.8cm}=\frac{3}{2}$

Je vérifie le résultat de $f(1)$ à la calculatrice

2.a.Je calcule $f'(x)$

$f(x)=\frac{x+2}{x^2+1}$ est le quotient de deux fonctions , donc :

f'(x)=\frac{(x+2)'(x^2+1)-(x+2)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}\\ \hspace{0.8cm}=\frac{1\times (x^2+1)-(x+2)\times 2x}{(x^2+1)^2}\\ \hspace{0.8cm}=\frac{ (x^2+1)-(2x^2+4x)}{(x^2+1)^2}\\ \hspace{0.8cm}=\frac{ x^2+1-2x^2-4x}{(x^2+1)^2}\\ \hspace{0.8cm}=\frac{- x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}

2.b.Puis on calcule $f'(1)$ en remplaçant tous les $x$ par $1$ dans $f'(x)=\frac{- x^2-4x+1}{(x^2+1)^2}$

$f'(1)=\frac{- 1^2-4\times 1+1}{(1^2+1)^2}$

$\hspace{0.8cm}=\frac{-1-4+1}{(1+1)^2}$

$\hspace{0.8cm}=\frac{-4}{2^2}$

$\hspace{0.8cm}=\frac{-4}{4}$

$\hspace{0.8cm}=-1$

Je vérifie le résultat de $f'(1)$ à la calculatrice

3.Je remplace $a,f(a),f'(a)$ par $1,\frac{3}{2},(-1)$ dans $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

$y=(-1)(x-1)+\frac{3}{2}$

$y=-x+1+\frac{3}{2}$

$y=-x+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}$

$y=-x+\frac{5}{2}$

4.Je valide avec Géogébra.