f(x)= x^2+2x+1 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^2 , 2x et 1.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u’+v’ |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u’ |
un produit de deux fonctions u\times v | u’\times v+u\times v’ |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u’}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , 2x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^2
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
(x^2)’=2x
Je calcule la dérivée de 2x .
C’est le produit de la constante 2 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(2x)’=2\times (x)’
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\times 1
\hspace{0.9cm}=2
Je calcule la dérivée de 1 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(1)’=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^2+2x+1)’\\f'(x)= (x^2)’+(2x)’+(1)’\\f'(x)= 2x+2(x)’+0\\f'(x)= 2x+2\times 1\\f'(x)= 2x+2Valider avec Géogébra :
