On veut résoudre l’inéquation -2x^2-x+\frac{3}{4}>0 ( quand ce n’est pas précisé, le professeur veut que l’élève résolve l’inéquation par le calcul).
1.Conjecture graphique :
Pour résoudre graphiquement -2x^2-x+\frac{3}{4}>0, je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=-2x^2-x+\frac{3}{4}.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left]-0.9;0.4\right[
2.Résoudre -2x^2-x+\frac{3}{4}>0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme -2x^2-x+\frac{3}{4} est de signe positif (+) .
Etape n°2: Etude du signe de -2x^2-x+\frac{3}{4} par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients a=-2, b=-1 et c=\frac{3}{4}.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-2), (-1) ,\frac{3}{4} .
\Delta=(-1)²-4\times{(-2)}\times{\frac{3}{4}}
J’effectue d’abord la puissance et avant de multiplier je simplifie par 4.
\Delta=1-1\times{(-2)}\times{\frac{3}{1}}
\Delta=1+6
\Delta=7
Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-2), (-1), 7.
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{7}}{2\times{(-2)}}
x_1=\frac{1-\sqrt{7}}{-4}
x_1=-\frac{(1-\sqrt{7})}{4}
x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{4}
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-2), (-1), 7.
x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{7}}{2\times{(-2)}}
x_2=\frac{1+\sqrt{7}}{-4}
x_2=-\frac{(1+\sqrt{7})}{4}.
x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{4}.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=-2 le signe de a est négatif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme -2x^2-x+\frac{3}{4} est de signe positif (+) pour la deuxième colonne.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left]\frac{-1-\sqrt{7}}{4};\frac{-1+\sqrt{7}}{4}\right[.
3. Vérification à l’aide de l’application calcul Formel de Géogébra.
