1. Résoudre une inéquation du 2nd degré (2). Fiche-méthode.

ALGEBRE, Niveau première, Résoudre une inéquation du second degré, Second degré

Résoudre $-x^2+5x<5$

1.Conjecture graphique :

pour résoudre graphiquement $-x^2+5x<5$ , on fait d’abord tout passer à gauche : $-x^2+5x-5<0$

Je traduis la question par une phrase en français:

Je cherche pour quelles valeurs de $x$ la courbe de la fonction $f$ est en dessous et pas sur la droite d’équation $y=0$ ( c’est l’axe des abscisses)

où $f$ est définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=-x^2+5x-5$ .

Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction $f$ est en dessous et pas sur la droite d’équation $y=0$ et non dans le cas contraire.

Je conclus $S=\left[-0.5;1.4\right[\cup\left]3.6;5.5\right]$

2.Résoudre $-x^2+5x<5$ par le calcul, il faut d’abord tout faire passer à gauche : $-x^2+5x-5<0$

Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.

Je cherche pour quelles valeurs de $x$ le polynôme $-x^2+5x-5$ est de signe négatif ( $-$ ) .

Etape n°2: Etude du signe de $-x^2+5x-5$ par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.

J’identifie les coefficients $a=-1$ , $b=5$ et $c=-5$ .

Je calcule $\Delta=b²-4ac$ en remplaçant $a,b,c$ par $(-1), 5 ,(-5)$ .

\Delta=5²-4\times{(-1)}\times{(-5)}\\\Delta=25-20\\\Delta=5

Comme $\Delta>0$ , l’équation admet deux solutions réelles notées

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

$ax²+bx+c$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe de $(-a)$ à l’intérieur des racines.

Je calcule $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ en remplaçant $a,b,\Delta$ par $(-1), 5, 5$ .

x_1=\frac{-5-\sqrt{5}}{2\times{(-1)}}\\x_1=\frac{-5-\sqrt{5}}{-2}\\x_1=-\frac{(-5-\sqrt{5})}{2}\\x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}

Je calcule $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ en remplaçant $a,b,\Delta$ par $(-1), 5, 5$ .

$x_2=\frac{-5+\sqrt{5}}{2\times{(-1)}}\\x_2=\frac{-5+\sqrt{5}}{-2}\\x_2=-\frac{(-5+\sqrt{5})}{2}$ .

$x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$ .

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme $a=-1$ le signe de $a$ est négatif.

Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes

le polynôme $-x^2+5x-5$ est de signe négatif ( $-$ ) pour la première et la troisième colonnes.

J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.

$S=\left]-\infty;\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right[\cup\left]\frac{5+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ .

3. Vérification avec l’application calcul Formel de géogébra.