TC. Loi et schéma de Bernoulli/coefficients binomiaux

Définition

 Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues.

L’ une est appelée succès et notée S et l’autre est appelée échec et est notée \bar S.

Exemples 

  • Jeter une pièce de monnaie est une épreuve de Bernoulli où le succès pourrait être obtenir pile et l’échec obtenir face. Ici p(S)=\frac{1}{2} et p(\bar S)=\frac{1}{2}
  • Jeter un dé à six faces peut-être une épreuve de Bernoulli si on prend pour le succès S : obtenir un six et pour l’échec \bar S : ne pas obtenir un six. Ici p(S)=\frac{1}{6} et p(\bar S)=\frac{5}{6}.
  • Choisir une carte dans un jeu de 32 cartes peut être une épreuve de Bernoulli si on prend pour le succès S : obtenir un as et pour l’échec \bar S : ne pas obtenir un as. Ici p(S)=\frac{4}{32} et p(\bar S)=\frac{28}{32}.

Définition 

On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité du succès est p.

X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et qui prend la valeur 0 en cas d’échec.

La loi de probabilité présentée ci-dessous est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. 

a_i

01
p(X=a_i)1-p

p

Exemples

  • On jette une pièce de monnaie ,si le succès est: obtenir face, la variable aléatoire  X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre 0.5. 
  • On jette un dé à six faces ,si le succès est: obtenir un six, la variable aléatoire  X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre \frac{1}{6}
  • On choisit une carte dans un jeu de 32 ,si le succès est: obtenir un as, la variable aléatoire  X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit une loi de Bernoulli de paramètre \frac{4}{32} ou \frac{1}{8}

Propriété

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètre p alors

  • l’espérance de Xest E(X)=p
  • la variance de Xest V(X)=p(1-p)
  • l’écart-type de Xest \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

Exercice n°1

Dans chaque cas, dire si la variable aléatoire X suit ou non une loi de Bernoulli. Si oui, préciser p,E(X), V(X),\sigma(X) .

1) On lance un dé équilibré. X prend la valeur  qui correspond au nombre qu’on lit sur la face supérieure. 

2) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes, X prend la valeur  1 si on tire une figure ( roi, dame ou valet) et X prend la valeur  0 sinon.

3) On lance une pièce de monnaie équilibrée, X prend la valeur  1 si on obtient face et X prend la valeur  0 si on obtient pile.

4) Dans une entreprise  25% des employés viennent travailler à pied, 25% % des employés viennent travailler à vélo et  50%%  des employés viennent travailler en voiture.

X prend la valeur  1 si l’employé vient travailler à pied et X prend la valeur  0 sinon. 

Définition

 L’ expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre  p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p

Exemples :

  • On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Le succès est : obtenir face.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres 3 et \frac{1}{2}

  • On lance un dé quatre fois de suite. Le succès est : obtenir un 6.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres 4 et \frac{1}{6}

  • On tire successivement avec remise une boule dans une urne qui contient 2 boules rouges et trois noires, trois fois de suite. Le succès est de tirer une boule rouge.

C’est un schéma de Bernoulli de paramètres 3 et \frac{2}{5}.

Définition

Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n.

Le coefficient binomial \binom{n}{k} est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions sur l’arbre associé à un schéma de Bernoulli.

Par convention : \binom{0}{0}=1.

Conséquence 

Compléter les pointillés.

\binom{n}{0}=…      \binom{n}{1}=…          \binom{n}{n}=…

Exercice n°2

On jette une pièce de monnaie trois fois de suite. On appelle succès : obtenir face. A l’aide de l’arbre ci-dessous et à l’aide de la définition déterminer les coefficients binomiaux dans chaque cas.

Calcul de coefficients binomiaux à l’aide du triangle de Pascal

Après avoir observé, remplir la dernière ligne.

n\k012345
01     
111    
2121   
31331  
414641 
5      

Propriétés

Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n-1.

\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}

Pour tout entier  k  compris entre 0 et n.

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

Exercice n°3

On tire successivement trois cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes.

On compte le nombre de figures obtenues dans le tirage.

On note S le succès obtenir une carte qui ne soit pas une figure.

  1. Modéliser la situation par un arbre de probabilités, indiquer les probabilités sur quelques branches.

2. Cette expérience constitue-t-elle un schéma de Bernoulli ? Si oui, préciser ses paramètres.

3. Déterminer la probabilité qu’exactement deux cartes ne soient pas des figures.

Exercice n°4

On tire successivement quatre boules  avec remise dans une urne qui contient six boules vertes et quatre boules rouges.

On compte le nombre de boules vertes  obtenues dans le tirage.

  1. Expliquer pourquoi on peut modéliser cette expérience par un schéma de Bernoulli, puis préciser les valeurs des paramètres n et p

2. Représenter ce schéma de Bernoulli par un arbre pondéré en portant quelques probabilités sur les branches.

3. Déterminer la probabilité qu’exactement trois boules soient vertes.

Ce n’est pas une loi de Bernoulli car il y a 6 issues alors qu’il en faudrait deux.

 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes, X prend la valeur  1 si on tire une figure ( roi, dame ou valet) et X prend la valeur  0 sinon.

On a bien une épreuve de Bernoulli  puisqu’elle ne prend que deux valeurs 1 et 0.

Calculons p ou p(X=1) ce qui revient au même. Nous pourrons ensuite compléter le tableau de la loi de probabilité suivant :

a_i

01
p(X=a_i)1-p

p

 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes, l’univers est constitué des 32 cartes et chaque carte a \frac{1}{32} d’être choisie.

Dans l’évènement « la carte tirée est une figure », il y a 12 issues ( 4 rois, 4 dames et 4 valets) . Donc la probabilité de cet évènement est \frac{1}{32}.

p=\frac{12}{32}=\frac{3}{8} et donc 1-p=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} .

a_i

01
p(X=a_i)\frac{5}{8}

\frac{3}{8}

On applique les formules du cours :

l’espérance de Xest E(X)=p

E(X)=\frac{3}{8}

la variance de Xest V(X)=p(1-p)

V(X)=\frac{3}{8}\times \frac{5}{8}\\\hspace{1cm}=\frac{15}{64}

l’écart-type de Xest \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

\sigma(X)=\sqrt{\frac{15}{64}}\\\sigma(X)=\frac{\sqrt{15}}{8}

On lance une pièce de monnaie équilibrée, X prend la valeur  1 si on obtient face et X prend la valeur  0 si on obtient pile.

On a bien une épreuve de Bernoulli  puisqu’elle ne prend que deux valeurs 1 et 0.

Calculons p ou p(X=1) ce qui revient au même. Nous pourrons ensuite compléter le tableau de la loi de probabilité suivant :

a_i

01
p(X=a_i)1-p

p

On lance une pièce de monnaie équilibrée, l’univers de cette expérience contient deux issues pile et face et chaque issue a une probabilité égale à \frac{1}{2} de se produire.

Dans l’évènement « on obtient face », il y a 1 issue. Donc la probabilité de cet évènement est \frac{1}{2}.

p=\frac{1}{2} et donc 1-p=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} .

a_i

01
p(X=a_i)\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

On applique les formules du cours :

l’espérance de Xest E(X)=p

E(X)=\frac{1}{2}

la variance de Xest V(X)=p(1-p)

V(X)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\\\hspace{1cm}=\frac{1}{4}

l’écart-type de Xest \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

\sigma(X)=\sqrt{\frac{1}{4}}\\\hspace{1cm}=\frac{1}{2}

 

 

Dans une entreprise  25% des employés viennent travailler à pied, 25% des employés viennent travailler à vélo et  50 % des employés viennent travailler en voiture.

X prend la valeur  1 si l’employé vient travailler à pied et X prend la valeur  0 sinon. 

On a bien une épreuve de Bernoulli  puisqu’elle ne prend que deux valeurs 1 et 0.

Calculons p ou p(X=1) ce qui revient au même. Nous pourrons ensuite compléter le tableau de la loi de probabilité suivant :

a_i

01
p(X=a_i)1-p

p

On choisit un employé au hasard. 25% des employés viennent travailler à pied. Donc la probabilité qu’il vienne travailler à pied est 

p=\frac{25}{100}=\frac{1}{4} et donc 1-p=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} .

a_i

01
p(X=a_i)\frac{3}{4}

\frac{1}{4}

On applique les formules du cours :

l’espérance de Xest E(X)=p

E(X)=\frac{1}{4}

la variance de Xest V(X)=p(1-p)

V(X)=\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}\\\hspace{1cm}=\frac{3}{16}

l’écart-type de Xest \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

\sigma(X)=\sqrt{\frac{3}{16}}\\\sigma(X)=\frac{\sqrt 3}{4}

 

1)Le coefficient binomial \binom{n}{0} est le nombre de chemins réalisant 0 succès pour n répétitions sur l’arbre associé à un schéma de Bernoulli.

Il n’y a qu’un seul chemin qui réalise 0 succès, c’est celui qui réalise n échecs : EEEE…E.

Donc \binom{n}{0}=1.

2)Le coefficient binomial \binom{n}{1} est le nombre de chemins réalisant 1 succès pour n répétitions sur l’arbre associé à un schéma de Bernoulli.

Il y a n façons de placer le succès ( il peut-être en première position, en seconde, … en nième position ) donc il y a n chemins qui réalisent 1 succès :  SEEE…E , ESEE…E , … , EEEE…S

Donc \binom{n}{1}=n.

3)Le coefficient binomial \binom{n}{n} est le nombre de chemins réalisant n succès pour n répétitions sur l’arbre associé à un schéma de Bernoulli.

Il n’y a qu’un seul chemin qui réalise n succès :SSSS…S .

Donc \binom{n}{n}=1.

Pour calculer \binom{3}{1}, je compte le nombre de chemins qui comportent 1 succès ( Face) dans l’arbre ci-dessus qui correspond à trois répétitions d’une épreuve de Bernoulli. Il y en a trois.

\binom{3}{1}=3

Pour calculer \binom{3}{2}, je compte le nombre de chemins qui comportent 2 succès ( Face) dans l’arbre ci-dessus qui correspond à trois répétitions d’une épreuve de Bernoulli. Il y en a trois.

\binom{3}{2}=3.

 

Le premier nombre et le dernier nombre sont toujours 1.

Pour les autres, pour obtenir un nombre dans une case donnée, on ajoute le nombre qui est dans la case juste au dessus avec le nombre qui est dans la case avant la case du dessus, comme on l’a schématisé dans le tableau au-dessus.

 

On tire successivement trois cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes.

On compte le nombre de figures obtenues dans le tirage.

On note S le succès obtenir une carte qui ne soit pas une figure.

Voici un arbre avec quelques probabilités sur les branches.

Cette expérience constitue un schéma de Bernoulli car on répète 3 fois une expérience de Bernoulli à deux issues : S et E.

La probabilité du succès est p=\frac{5}{8}.

Le nombre de répétitions est n=3.

Pour déterminer la probabilité qu’exactement deux cartes ne soient pas des figures, on ajoute les probabilités des trois chemins qui comportent exactement 2 fois S.

p(X=2)=p(SSE)+p(SES)+p(ESS)\\p(X=2)=\frac{5}{8}\times\frac{5}{8} \times\frac{3}{8}+\frac{5}{8}\times\frac{3}{8}\times \frac{5}{8}+\frac{3}{8}\times\frac{5}{8}\times \frac{5}{8}\\p(X=2)=3\times (\frac{5}{8})^2\times\frac{3}{8}\\p(X=2)=3\times \frac{25}{64}\times\frac{3}{8}\\p(X=2)=\frac{225}{512}

On tire successivement quatre boules  avec remise dans une urne qui contient 6 boules vertes et quatre boules rouges.

On compte le nombre de boules vertes  obtenues dans le tirage.

On peut modéliser cette expérience par un schéma de Bernoulli : on répète quatre fois une expérience de Bernoulli à deux issues : V: la boule tirée est verte et R: la boule tirée est rouge.

Le succès sera V: la boule tirée est verte. Calculons p(V) qui sera le paramètre p, la probabilité du succès.

L’expérience est : tirer au hasard une boule parmi 10. Chaque boule a une probabilité égale à  \frac{1}{10} d’être choisie. Dans l’évènement V: la boule tirée est verte, il y a six issues donc 

p(V)=\frac{6}{10}\\p(V)=\frac{3}{5}

donc

p=\frac{3}{5}

Il y a quatre répétitions de l’expérience de Bernoulli donc

n=4.

 

 

Voici l’arbre qui illustre bien le schéma de Bernoulli de l’exercice.

Pour déterminer la probabilité qu’exactement trois boules soient vertes, on va ajouter les probabilités des chemins qui comptent trois succès. Ils sont surlignés ci-dessous.

Pour déterminer la probabilité qu’exactement trois boules soient vertes, on ajoute les probabilités des quatre chemins qui comportent exactement 3 fois S.

p(X=3)=p(SSSE)+p(SSES)+p(SESS)+p(ESSS)\\p(X=3)=\frac{3}{5}\times\frac{3}{5} \times\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\times\frac{3}{5} \times\frac{2}{5}\times\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times\frac{2}{5} \times\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\times\frac{3}{5} \times\frac{3}{5}\times\frac{3}{5}\\p(X=3)=4\times (\frac{3}{5})^3\times\frac{2}{5}\\p(X=3)=4\times \frac{27}{125}\times\frac{2}{5}\\p(X=3)=\frac{216}{625}

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.