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Exercice de synthèse sur les vecteurs

 SoientA(0;1), B(0;-2), C(2;0) trois points du plan.

On note I le milieu du segment [AB].

Le point J est défini par l’égalité vectorielle suivante: \overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}

  1. Placer les points I et J dans le repère ci-dessus. Puis conjecturer graphiquement leurs coordonnées.
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2. Calculer les coordonnées du point I(on ne peut pas utiliser le résultat de la question précédente).

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3. Calculer les coordonnées du point J(on ne peut pas utiliser le résultat de la question n°2).

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4.a. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CI}.

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4.b. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CJ}.

correction

4.c. Calculer le déterminant des vecteurs \overrightarrow{CI} et \overrightarrow{CJ}. Qu’en déduire pour les vecteurs \overrightarrow{CI} et \overrightarrow{CJ}? Puis qu’en déduire pour les points C , I et J ?

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©2020 – Math’O karé SAS

  1. Construire le point I le milieu de [AB].

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 2ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point A  et sur le point B . Cliquer droit sur le milieu, sélectionner Renommer dans le menu déroulant et appeler le point I.

2. Pour construire le point J défini par l’égalité vectorielle \overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB} 

  1. A partir de C, je reporte un vecteur égal à 2\overrightarrow{CA}

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point A  et sur le point C . 

Puis cliquer gauche sur le 8ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point  A  et sur le point C . 

Enfin cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point  C  et écrire  2CA dans la case Rayon .

Construire le vecteur égal à 2\overrightarrow{CA}et nommer F son extrémité.

2. A la suite du vecteur tracé précédemment, je reporte un vecteur égal à 2\overrightarrow{CB}

a) je construis le vecteur 2\overrightarrow{CB}

Avec Géogébra cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point  C  et sur le point B .

Puis cliquer gauche sur le 8ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point C  et sur le point B . 

Enfin cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point  C  et écrire  2CB dans la case Rayon .

Construire le vecteur égal à 2\overrightarrow{CB}

b) je construis un représentant du vecteur 2\overrightarrow{CB} à la suite du vecteur 2\overrightarrow{CA}

Enfin cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Représentant dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur F l’extrémité du vecteur 2\overrightarrow{CA}et sur le vecteur 2\overrightarrow{CB}.

On obtient alors le point J .

Par lecture graphique, I(0;-0.5) et J(-6;-2)  .

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(0;1) \hspace{0.4cm} B(0;-2)

On écrit la formule du cours :

x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

x_I=\frac {0+0}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {1+(-2)}{2}

On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (1-2)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles  » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 1-2/2, vous obtiendrez 0 car la machine calculera 2/2 en priorité ce qui est faux

x_I=0\hspace {2cm}y_I=-\frac {1}{2}

Donc I(0;-\frac {1}{2})

On veut déterminer les coordonnées du point J tel que \overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}.

Comme on le les connaît pas, on les appelle x et y. 

On pose  J(x;y).

Les vecteurs \overrightarrow{CJ} et 2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB} sont égaux donc leurs coordonnées sont égales.

Tâche n°1 : Je calcule les coordonnées de \overrightarrow{CJ} . Puis je calcule les coordonnées de \overrightarrow{CA} et ensuite de 2\overrightarrow{CA}. Ensuite je calcule les coordonnées de \overrightarrow{CB} et ensuite de 2\overrightarrow{CB}. Et enfin les coordonnées de 2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CJ}.

Je repère les coordonnées des points C et J.

\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{0.4cm}x_{J}\hspace{0.2cm}y_{J}

\hspace{1.8cm}C(2;0)\hspace{0.2cm}J(x;y)

J’écris la formule : \overrightarrow{CJ}(x_{J}-x_{C};y_{J}-y_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CJ}(x-2;y-0)

\overrightarrow{CJ}(x-2;y)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CA}.

Je repère les coordonnées des points C et A.

\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{0.6cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}

\hspace{1.8cm}C(2;0)\hspace{0.2cm}A(0;1)

J’écris la formule : \overrightarrow{CA}(x_{A}-x_{C};y_{A}-y_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CA}(0-2;1-0)

\overrightarrow{CA}(-2;1)

Pour obtenir les coordonnées du vecteur 2\overrightarrow{CA}, je dois multiplier le coordonnées du vecteur \overrightarrow{CA} par 2

2\overrightarrow{CA}({2}\times{(-2)};{2}\times{1})\\2\overrightarrow{CA}(-4;2)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CB}.

Je repère les coordonnées des points C et B.

\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{0.6cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}

\hspace{1.8cm}C(2;0)\hspace{0.2cm}B(0;-2)

J’écris la formule : \overrightarrow{CB}(x_{B}-x_{C};y_{B}-y_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CB}(0-2;(-2)-0)

\overrightarrow{CB}(-2;-2)

Pour obtenir les coordonnées du vecteur 2\overrightarrow{CB}, je dois multiplier le coordonnées du vecteur \overrightarrow{CB} par 2

2\overrightarrow{CB}({2}\times{(-2)};{2}\times{(-2)})\\2\overrightarrow{CB}(-4;-4)

Enfin

2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}((-4)+(-4);2+(-4))\\2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}(-8;-2)

Tâche n°2 : J’écris que les coordonnées de \overrightarrow{CJ}et  de 2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB} sont égales pour obtenir deux équations du premier degré.

L’abscisse de \overrightarrow{CJ}=l’abscisse de 2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}

x-2=-8

-2 n’est pas à sa place à gauche, j’ajoute 2 de chaque côté.

x=-8+2\\x=-6

L’ordonnée de \overrightarrow{CJ}=l’ordonnée de 2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}

y=-2

Donc J(-6;-2)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CI}.

Je repère les coordonnées des points C et I.

\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{0.6cm}x_{I}\hspace{0.2cm}y_{I}

\hspace{1.8cm}C(2;0)\hspace{0.4cm}I(0;-\frac{1}{2})

J’écris la formule : \overrightarrow{CI}(x_{I}-x_{C};y_{I}-y_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CI}(0-2;(-\frac{1}{2})-0)

\overrightarrow{CI}(-2;-\frac{1}{2})

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CJ}.

Je repère les coordonnées des points C et J.

\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{0.9cm}x_{J}\hspace{0.2cm}y_{J}

\hspace{1.8cm}C(2;0)\hspace{0.4cm}J(-6;-2)

J’écris la formule : \overrightarrow{CJ}(x_{J}-x_{C};y_{J}-y_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CJ}((-6)-2;(-2)-0)

\overrightarrow{CJ}(-8;-2)

Pour calculer le déterminant des vecteurs \overrightarrow{CI} et \overrightarrow{CJ}, on utilise la disposition pratique suivante :

det(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ})=4-\frac{8}{2}\\det(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ})=4-4\\det(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CJ})=0

donc les vecteurs \overrightarrow{CI} et \overrightarrow{CJ} sont colinéaires.

donc les points C , I et  J sont alignés.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.