On se propose de calculer \int_{-1}^{0} e^x(e^x+1) \mathrm{d}x.
Conjecturer le résultat avec Géogébra
Avant de se lancer dans les calculs, il convient d’utiliser la fenêtre Géogébra ci-dessous pour conjecturer le résultat de deux façons, avec l’application Calcul Formel et l’application Graphique.
Dans la colonne Calcul formel au milieu, saisir Intégrale(e^x(e^x+1),-1,0). La valeur exacte du résultat s’affiche. Ne pas hésiter à remplacer ln(e) par 1.
Dans la colonne Algèbre à gauche, saisir Intégrale(e^x(e^x+1),-1,0). Une valeur approchée du résultat s’affiche et sur le graphique apparaît l’aire hachurée.
Conjecturer le résultat avec la TI-83 Premium CE
Pour calculer \int_{-1}^{0} e^x(e^x+1) \mathrm{d}x, on doit d’abord déterminer une primitive F(x) de la fonction f(x)= e^x(e^x+1) .
1.recherche d’une primitive F(x) la fonction f(x)= e^x(e^x+1) .
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=e^x(e^x+1) est de la forme 2u'(x)\times u(x) avec u(x)= e^x+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (e^x+1)’
u'(x)= (e^x)’+(1)’
u'(x)= e^x+0
u'(x)=e^x2.Je remplace u(x) par e^x+1 et u'(x) par e^x dans la formule ci-dessous :
2u'(x)\times u(x) a pour primitive u^2(x).
2\times e^x\times (e^x+1) a pour primitive (e^x+1)^2\\2e^x(e^x+1) a pour primitive (e^x+1)^2
Pour obtenir f(x) à gauche, il faut diviser par 2 les deux quantités.
\frac{2e^x(e^x+1)}{2} a pour primitive \frac{(e^x+1)^2}{2}\\e^x(e^x+1) a pour primitive \frac{(e^x+1)^2}{2}
Donc F(x)=\frac{(e^x+1)^2}{2}
2.calcul de \int_{-1}^{0} e^x(e^x+1) \mathrm{d}x.
\int_{-1}^{0} e^x(e^x+1) \mathrm{d}x=[F(x)]_{-1}^{0}\\\hspace{2.6cm}=F(0)-F(-1)\\\hspace{2.6cm}=\frac{(e^0+1)^2}{2}-\frac{(e^{-1}+1)^2}{2}\\\hspace{2.6cm}=\frac{(1+1)^2}{2}-\frac{(\frac{1}{e}+1)^2}{2}\\\hspace{2.6cm}=\frac{2^2}{2}-\frac{(\frac{1}{e}+1\times \frac{e}{e})^2}{2}\\\hspace{2.6cm}=2-\frac{(\frac{1}{e}+\frac{e}{e})^2}{2}\\\hspace{2.6cm}=2-\frac{(\frac{1+e}{e})^2}{2}\\\hspace{2.6cm}=2-\frac{\frac{(1+e)^2}{e^2}}{2}\\\hspace{2.6cm}=2-\frac{(1+e)^2}{2e^2}\\\hspace{2.6cm}=2-\frac{1+2e+e^2}{2e^2}\\\hspace{2.6cm}=2\times \frac{2e^2}{2e^2}-\frac{1+2e+e^2}{2e^2}\\\hspace{2.6cm}= \frac{4e^2}{2e^2}-\frac{1+2e+e^2}{2e^2}\\\hspace{2.6cm}= \frac{4e^2-1-2e-e^2}{2e^2}\\\hspace{2.6cm}= \frac{3e^2-2e-1}{2e^2}
