Exercice de synthèse sur les fonctions en seconde

Partie 1 

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(2x-1)^{2}-4 .

Nous allons utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer ou valider nos réponses . Il y a trois colonnes : Algèbre, Calcul Formel et Graphique.

  1. Déterminer la forme développée et réduite de f(x).

Pour conjecturer le résultat, taper (2x-1)^{2}-4 sur la ligne n°1 de la colonne Calcul formel et appuyer sur le cinquième onglet.

2. Déterminer la forme factorisée de f(x).

Pour conjecturer le résultat, taper (2x-1)^{2}-4 sur la ligne n°2 de la colonne Calcul formel et appuyer sur le quatrième onglet.

3. En utilisant l’une des trois formes suivantes

(e) f(x)=(2x-1)^{2}-4

(d) f(x)=4x^{2}-4x-3

(f) f(x)=(2x-3)(2x+1)

Déterminer les images de \frac{1}{2}, \sqrt{2}0 et \frac{3}{2}.

On conjecture les réponses avec la TI 83 Premium CE. 

4. En utilisant l’une des trois formes suivantes

(e) f(x)=(2x-1)^{2}-4

(d) f(x)=4x^{2}-4x-3

(f) f(x)=(2x-3)(2x+1)

Déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -4, -30 et 12 .

Avec Géogébra :On conjecture les antécédents en utilisant la colonne Calcul Formel de la fenêtre Géogébra située au début de l’exercice. Pour déterminer le(s) éventuel(s) antécédent(s) de -4, taper f(x)=-4 sur la ligne n°3 et cliquer sur le septième onglet ( X=).

Avec la TI 83 Premium :On conjecture les antécédents ainsi

Remarque avant de commencer utiliser la forme développée et faire apparaître 0 à droite.

Par exemple pour résoudre f(x)=12, écrire 4x^2-4x-3=12 puis 4x^2-4x-15=0

5. En utilisant l’une des trois formes suivantes

(e) f(x)=(2x-1)^{2}-4

(d) f(x)=4x^{2}-4x-3

(f) f(x)=(2x-3)(2x+1)

 Résoudre  f(x)\leq 0, f(x)>-3 et f(x)<1 .

On conjecture l’ensemble solution en utilisant la colonne Calcul Formel de la fenêtre Géogébra située au début de l’exercice. Pour résoudre f(x)\leq 0, taper f(x)\leq 0 sur la ligne n°3 et cliquer sur le septième onglet ( X=).

Partie 2 

Soient les deux points A(-1;5) et B(1;-3).

  1. Déterminer l’équation réduite de la droite d qui passe par A et B c’est possible.

On conjecture l’équation réduite de la droite (AB) avec la fenêtre Géogébra située au début de l’exercice. On place A et B en tapant A=(-1,5) et B=(1,-3) dans la colonne Algèbre. Puis on clique sur le troisième onglet et on sélectionne droite dans le menu déroulant. dans le repère on clique sur le point A et sur le point  B. Une équation de (AB) apparaît dans la colonne Algèbre. Pour avoir l’équation réduite, cliquer droit sur l’équation et sélectionner Equation y=ax+b dans le menu déroulant.

2. Déterminer pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est située strictement sous la droite d.

On utilisera la forme développée de f(x).

On conjecture l’ensemble solution en utilisant la colonne Calcul Formel de la fenêtre Géogébra située au début de l’exercice. Pour résoudre f(x)< -4x+1, taper f(x)< -4x+1 sur la ligne n°3 et cliquer sur le septième onglet ( X=).

Partie 3 

  1. a. Résoudre f(x)=5

1.b. En déduire l’abscisse du sommet de la parabole.

2. En déduire le tableau de variations de f sur \mathbf{R}.

Pour obtenir la forme développée et réduite de  f(x)=(2x-1)^{2}-4, on doit d’abord développer

(2x-1)^{2}

J’écris a=2x donc a^{2}=(2x)^{2}=2^2x^2=4x^2

J’écris b=1 donc b^{2}=1

Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs 2x et 1 .

2ab=2\times 2x\times 1=4x

Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

C’est-à-dire:

(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1

f(x)=(2x-1)^{2}-4

f(x)=4x^{2}-4x+1-4

Il faut ensuite réduire.

f(x)=4x^{2}-4x-3

 

Pour factoriser f(x)=(2x-1)^{2}-4 , on utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b).

a^{2}=(2x-1)^{2}  donc a=2x-1

b^{2}=4 donc b=2

Pour finir, il suffit de remplacer a, b , a^{2},  et b^{2} par leurs valeurs dans :

a^{2}-b^{2}= (a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-4 = (2x-1-2)(2x-1+2)

f(x)=(2x-1)^{2}-4

f(x)=(2x-1-2)(2x-1+2)

f(x)=(2x-3)(2x+1)

Voici les trois formes :

La forme de l’énoncé (e) f(x)=(2x-1)^{2}-4

La forme développée (d) f(x)=4x^{2}-4x-3

La forme factorisée (f)f(x)=(2x-3)(2x+1)

La forme adéquate est celle où il y a le moins de calculs ( c’est souvent quand on fait apparaître des zéros).

Pour calculer f(0) on utilise la forme développée.

Certaines valeurs de x annulent l’un des facteurs de la forme factorisée, du coup le produit est nul. C’est le cas pour f(\frac{3}{2}) 

Quant à la forme de l’énoncé, une valeur de x annule la quantité qui sera élevée au carré. C’est le cas pour f(\frac{1}{2}) .

Pour calculer l’image d’une racine carré, on utilise la forme développée.

Dans les autres cas, on utilise la forme de l’énoncé.

 

Pour calculer f(\frac{1}{2}): je remplace tous les x par \frac{1}{2} dans la forme de l’énoncé f(x)=(2x-1)^{2}-4

f(\frac{1}{2})=(2\times \frac{1}{2}-1)^{2}-4

La priorité des opérations nous impose de calculer d’abord ce qu’il y a entre parenthèses. On y effectue le produit

f(\frac{1}{2})=(1-1)^{2}-4

Puis la somme

f(\frac{1}{2})=0^{2}-4

On effectue ensuite les puissances ici, le carré

f(\frac{1}{2})=0-4

Et enfin la différence

f(\frac{1}{2})=-4

Pour calculer f(\sqrt{2}): je remplace tous les x par \sqrt{2} dans la forme développée f(x)=4x^{2}-4x-3

f(\sqrt{2})=4\sqrt{2}^{2}-4\sqrt{2}-3

On effectue ensuite les puissances ici, le carré

f(\sqrt{2})=4\times 2-4\sqrt{2}-3

Le produit

f(\sqrt{2})=8-4\sqrt{2}-3

Et enfin l’addition

f(\sqrt{2})=5-4\sqrt{2}

Pour calculer f(0): je remplace tous les x par 0 dans f(x)=4x^{2}-4x-3

f(0)=4\times 0^{2}-{4}\times{0}-3

On effectue  les puissances ici, le carré

f(0)=4\times 0-{4}\times{0}-3

On effectue ensuite les multiplications

f(0)=0-0-3

Et enfin l’addition

f(0)=-3

Pour calculer f(\frac{3}{2}): je remplace tous les x par \frac{3}{2} dans f(x)=(2x-3)(2x+1)

f(\frac{3}{2})=(2\times \frac{3}{2} -3)(2\times \frac{3}{2}+1)

La priorité des opérations nous impose de calculer d’abord ce qu’il y a entre parenthèses. Dans les parenthèses, on effectue d’abord le produit.

f(\frac{3}{2})=(3 -3)(3+1)

On effectue ensuite la différence dans la première parenthèse et la somme dans la deuxième parenthèse .

f(\frac{3}{2})=0\times 4

Pour finir, on effectue le produit

f(\frac{3}{2})=0

 

(e) f(x)=(x-4)^{2}-4

(d) f(x)=x^{2}-8x+12

(f) f(x)=(x-6)(x-2)

La forme adéquate est celle qui permettra ensuite de pouvoir factoriser.

Par exemple pour résoudre f(x)=0, la forme factorisée est la plus adaptée, on applique directement la règle du produit nul.

Par exemple pour résoudre f(x)=12, la forme développée est la plus adaptée. Après avoir réduit 12-12, on pourra factoriser par x ou un multiple de x.

Pour les autres équations, on utilise la forme (e). 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de -4 par f revient à résoudre l’équation 

f(x)=-4. Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

Quelle forme doit-on choisir ? La plus appropriée est la forme de l’énoncé (e) .

f(x)=-4

(2x-1)^{2}-4=-4

Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

-4 n’est pas à sa place, j’ajoute 4 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-4+4=0

(2x-1)^{2}=0

Le seul nombre dont le carré est nul est zéro.

2x-1=0

2x=1

x=\frac{1}{2}

L’ antécédent de -4 est x=\frac{1}{2}.

 

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de -3 . Il faut résoudre f(x)=-3.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (d) de l’énoncé.

L’équation à résoudre 4x^{2}-4x-3=-3 est du second degré, le plus grand exposant de  x est 2.

4x^{2}-4x-3=-3

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

-3 n’est pas à sa place, j’ajoute 3 de chaque côté.

4x^{2}-4x-3+3=0\\4x^{2}-4x=0

2. Je factorise le membre de gauche.

 Il y a un facteur commun, c’est 4x.

4x^{2}=4x\times x

4x=4x\times 1

4x(x-1)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs 4x ;  x-1. L’un ou l’autre des facteurs est nul.

4x=0 ou x-1=0\\x=\frac{0}{4} ou x=1\\x=0 ou x=1

Les antécédents de-3 sont 0 et  1.

 

 

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 0 . Il faut résoudre f(x)=0.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (f) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (2x-3)(2x+1)=0 est du second degré car si on développe (2x-3)(2x+1) le plus grand exposant de  x est 2.

(2x-3)(2x+1)=0

1.Je ne fais rien passer à gauche, zéro est déjà à droite.

2. Je ne factorise pas le membre de gauche.

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-3) ;  (2x+1). L’un ou l’autre des facteurs est nul.

2x-3=0 ou 2x+1=0\\2x=3 ou 2x=-1\\x=\frac{3}{2} ou x=-\frac{1}{2}

Les antécédents de 0 sont -\frac{1}{2} et \frac{3}{2}.    

 

 

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 12 . Il faut résoudre f(x)=12.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (e) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (2x-1)^{2}-4=12 est du second degré car si on développe (2x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

(2x-1)^{2}-4=12

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

12 n’est pas à sa place, j’enlève 12 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-4-12=0\\(2x-1)^{2}-16=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-16

a^{2}=(2x-1)^{2} \hspace{1cm}a=2x-1

b^{2}=16\hspace{1cm}b=4

Je remplace a et b par (2x-1) et 4 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-16=((2x-1)-4)((2x-1)+4)

\hspace{2.1cm}=(2x-5)(2x+3)

((2x-1)-4)((2x-1)+4)=0\\(2x-5)(2x+3)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-5) ;  (2x+3). L’un ou l’autre des facteurs est nul.

2x-5=0 ou 2x+3=0\\2x=5 ou 2x=-3\\x=\frac{5}{2} ou x=-\frac{3}{2}

Les antécédents de12 sont -\frac{3}{2} et  \frac{5}{2}.

 

 

Pour résoudre f(x)\leq 0, on va utiliser la forme f)(2x-3)(2x+1)

L’inéquation à résoudre (2x-3)(2x+1)\leq 0 est du 2nd degré car en développant (2x-3)(2x+1)  le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les inéquations du second degré.

(2x-3)(2x+1)\leq 0

1.Je ne fais pas tout passer à gauche, zéro est déjà à droite.

2. Je ne factorise pas le membre de gauche.

3. J’écris la phrase d’introduction.

Je cherche pour quelles valeurs de x , le produit (2x-3)(2x+1) est de signe (-) ou nul.

4. Je prépare mon tableau de signes.

Je résous 2x-3=0\\2x=3\\x=\frac{3}{2}

Je résous 2x+1=0\\2x=-1\\x=-\frac{1}{2}

Je place les valeurs -\frac{1}{2} et \frac{3}{2} sur la première ligne du tableau en les rangeant dans le bon ordre. Je place les zéros sur les lignes en-dessous. 

Je remplis ce tableau avec des signes (-), (+) , des zéros et parfois des doubles barres quand il y a des valeurs interdites.

On utilise le résultat du cours suivant :

Sur la ligne du facteur 2x-3, comme a=2 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Sur la ligne du facteur (2x+1), comme a=2 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Pour compléter la ligne du produit (2x-3)(2x+1), j’applique la règle des signes pour le produit.

plus par plus : plus.

plus par moins : moins.

moins par plus : moins.

moins par moins : plus.

5. Je réponds à la phrase d’introduction.

Le produit (2x-3)(2x+1) est de signe (-) pour la seconde colonne qui correspond aux valeurs de x comprises entre -\frac{1}{2} et \frac{3}{2}.

Je  prends  les valeurs -\frac{1}{2} et \frac{3}{2} car le produit  peut  être nul. Donc je ferme les crochets en -\frac{1}{2} et \frac{3}{2} , ce qui signifie que les crochets sont tournés vers l’intérieur de l’intervalle..

S=[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]

 

Pour résoudre f(x) >-3, nous allons choisir la forme d) 4x^{2}-4x-3.

L’inéquation à résoudre 4x^{2}-4x-3 >-3 est du 2nd degré . Dans  4x^{2}-4x-3 le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les inéquations du second degré.

4x^{2}-4x-3 >-3

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

le -3 à droite du signe égal n’est pas à sa place, j’ajoute 3 de chaque côté.

4x^{2}-4x-3+3 >0\\4x^{2}-4x >0

2. Je factorise le membre de gauche.

 Il y a un facteur commun.

4x^{2}= {4x}\times{x}

4x ={4x}\times{1}

4x(x-1) > 0

3. J’écris la phrase d’introduction.

 Je cherche pour quelles valeurs de x, le produit 4x(x-1) est de signe (+) .

4. Je prépare mon tableau de signes.

Je résous 4x=0\\\hspace{1.5cm}x=\frac{0}{4}\\\hspace{1.5cm}x=0

 Je résous x-1=0\\\hspace{1.5cm}x=1

Je place les valeurs 0 et 1 sur la première ligne du tableau en les rangeant dans le bon ordre. Je place les zéros sur les lignes en-dessous. 

Je remplis ce tableau avec des signes (-), (+) , des zéros et parfois des doubles barres quand il y a des valeurs interdites.

On utilise le résultat du cours suivant :

Sur la ligne du facteur 4x, comme a=4 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Sur la ligne du facteur (x-1), comme a=1 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Pour compléter la ligne du produit 4x(x-1), j’applique la règle des signes pour le produit.

plus par plus : plus.

plus par moins : moins.

moins par plus : moins.

moins par moins : plus.

5. Je réponds à la phrase d’introduction.

Le produit 4x(x-1) est de signe(+) pour les première et troisième colonnes  qui correspondent aux valeurs de x comprises entre -\infty et 0 puis entre 1 et +\infty.

Je  ne prends pas les valeurs 0 et 1 car le produit  ne peut pas être nul. Donc j’ouvre les crochets en 0 et 1, ce qui signifie que les crochets sont tournés vers l’extérieur de l’intervalle.

S=]-\infty;0[\cup]1;+\infty[

 

Pour résoudre f(x)<1 on va utiliser e) (2x-1)^{2}-4

L’inéquation à résoudre (2x-1)^{2}-4<1 est du 2nd degré car en développant (2x-1)^{2}  le plus grand exposant de  x est 2.

La méthode proposée concerne les inéquations du second degré.

(2x-1)^{2}-4 <1

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

le 1 à droite du signe égal n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-4-1 <0

(2x-1)^{2}-5 <0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-5

a^{2}=(2x-5)^{2} \hspace{2cm}a=(2x-5)

b^{2}=5\hspace{3.2cm}b=\sqrt{5}

Je remplace a et b par (2x-1) et \sqrt{5} dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1-\sqrt{5})(2x-1+\sqrt{5}) >0

3. J’écris la phrase d’introduction.

 Je cherche pour quelles valeurs de x, le produit (2x-1-\sqrt{5})(2x-1+\sqrt{5})est de signe(-) .

4. Je prépare mon tableau de signes.

Je résous 2x-1-\sqrt{5}=0\\2x=1+\sqrt{5}\\x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

Je résous 2x-1+\sqrt{5}=0\\2x=1-\sqrt{5}\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

Je place les valeurs \frac{1+\sqrt{5}}{2} et \frac{1-\sqrt{5}}{2} sur la première ligne du tableau en les rangeant dans le bon ordre. Je place les zéros sur les lignes en-dessous. 

Je remplis le tableau avec des signes (-), (+) , des zéros et parfois des doubles barres quand il y a des valeurs interdites.

On utilise le résultat du cours suivant :

Sur la ligne du facteur 2x-1-\sqrt{5}, comme a=2 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Sur la ligne du facteur 2x-1+\sqrt{5}, comme a=2 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Pour compléter la ligne du produit (2x-1-\sqrt{5})(2x-1+\sqrt{5}), j’applique la règle des signes pour le produit.

plus par plus : plus.

plus par moins : moins.

moins par plus : moins.

moins par moins : plus.

5. Je réponds à la phrase d’introduction.

Le produit (2x-1-\sqrt{5})(2x-1+\sqrt{5}) est de signe(-) pour la deuxième colonne qui correspond aux valeurs de x comprises entre \frac{1-\sqrt{5}}{2} et \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Je  ne prends pas les valeurs \frac{1-\sqrt{5}}{2} et \frac{1+\sqrt{5}}{2} car le produit  ne peut pas être nul. Donc j’ouvre les crochets en \frac{1-\sqrt{5}}{2} et \frac{1+\sqrt{5}}{2}, ce qui signifie que les crochets sont tournés vers l’extérieur.

S=]\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}[

 

d passe par A(-1;5) B(1;-3)

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.4cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.7cm} x_{B} y_{B}

A(-1;5) \hspace{0.4cm} B(1;-3)

Je compare x_{A} et x_{B}

x_{A} \neq x_{B} car -1 \neq 1

Je peux donc calculer le coefficient directeur , en utilisant la formule suivante:

a=\frac{y_{B}-y_{A}} {x_{B}-x_{A}}

On prend soin ensuite de remplacer les lettres par les bons nombres. Si le nombre est négatif, je prends l’habitude de l’écrire entre parenthèses.

a=\frac{(-3)-5} {1-(-1)} \\ a=\frac{-8} {2} \\ a=-4

Je calcule ensuite l’ordonnée à l’origine, en utilisant la formule suivante:

b= y_{A} – ax_{A}

On prend soin ensuite de remplacer les lettres par les bons nombres. Si le nombre est négatif, je prends l’habitude de l’écrire entre parenthèses.

b=5-(-4)\times(-1) \\b=5-4\\b=1

Pour finir je remplace a et b par -4 et 1 dans l’équation réduite y=ax+b

L’équation de la droite d est y= -4x+1 

 

Pour résoudre f(x)<-4x+1 on va utiliser d) 4x^2-4x-3

L’inéquation à résoudre 4x^2-4x-3<-4x+1 est du 2nd degré.

La méthode proposée concerne les inéquations du second degré.

4x^2-4x-3<-4x+1

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

le -4x+1 à droite du signe égal n’est pas à sa place, j’ajoute 4x-1 de chaque côté.

4x^2-4x-3+4x-1<0\\4x^2-4<0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il y a un facteur commun.

4x^2=4\times x^2

4=4\times 1

4(x^2-1)<0

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser x^2-1

a^{2}=x^2 \hspace{2cm}a=x

b^{2}=1\hspace{2.2cm}b=1

Je remplace a et b par x et 1 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

4(x-1)(x+1) <0

3. J’écris la phrase d’introduction.

 Au lieu d’écrire je cherche pour quelles valeurs de x, le produit 4(x-1)(x+1)est de signe (-).

Comme 4 est positif, on peut écrire :

Je cherche pour quelles valeurs de x, le produit (x-1)(x+1)est de signe(-).

4. Je prépare mon tableau de signes.

Je résous x-1=0\\x=1

Je résous x+1=0\\x=-1

Je place les valeurs -1 et 1 sur la première ligne du tableau en les rangeant dans le bon ordre. Je place les zéros sur les lignes en-dessous. 

Je remplis le tableau avec des signes (-), (+) , des zéros et parfois des doubles barres quand il y a des valeurs interdites.

On utilise le résultat du cours suivant :

Sur la ligne du facteur x-1, comme a=1 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Sur la ligne du facteur x+1, comme a=1 , on commence par le signe (-) jusqu’au zéro et on complète avec des (+).

Pour compléter la ligne du produit (x-1)(x+1), j’applique la règle des signes pour le produit.

plus par plus : plus.

plus par moins : moins.

moins par plus : moins.

moins par moins : plus.

5. Je réponds à la phrase d’introduction.

Le produit (x-1)(x+1) est de signe (-) pour la deuxième colonne qui correspond aux valeurs de x comprises entre -1 et 1.

Je  ne prends pas les valeurs -1 et 1 car le produit  ne peut pas être nul. Donc j’ouvre les crochets en -1 et 1, ce qui signifie que les crochets sont tournés vers l’extérieur.

S= ]-1;1[

Donc la courbe est située strictement en dessous de la droite d pour x \in ]-1;1[

 

Pour déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 5 . Il faut résoudre f(x)=5.

La forme la plus appropriée pour f(x) est la forme (e) de l’énoncé.

L’équation à résoudre (2x-1)^{2}-4=5 est du second degré car si on développe (2x-1)^{2} le plus grand exposant de  x est 2.

(2x-1)^{2}-4=5

1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.

5 n’est pas à sa place, j’enlève 5 de chaque côté.

(2x-1)^{2}-4-5=0\\(2x-1)^{2}-9=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser (2x-1)^{2}-9

a^{2}=(2x-1)^{2} \hspace{1cm}a=2x-1

b^{2}=9\hspace{1cm}b=3

Je remplace a et b par (2x-1) et 3 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(2x-1)^{2}-9=((2x-1)-3)((2x-1)+3)

((2x-1)-3)((2x-1)+3)=0\\(2x-4)(2x+2)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (2x-4) ;  (2x+2). L’un ou l’autre des facteurs est nul.

2x-4=0 ou 2x+2=0\\2x=4 ou 2x=-2\\x=\frac{4}{2} ou x=-\frac{2}{2}\\x=2 ou x=-1

Les antécédents de 5 sont -1 et  2.

 

Pour bien comprendre ce qui se passe, voici une illustration graphique de ce qu’on a fait dans la question précédente.

Pour obtenir l’abscisse du sommet de la parabole, il suffit de déterminer l’abscisse du milieu de [AB].

Les solutions de l’équation f(x)=5 sont -1 et 2.

Donc l’abscisse du sommet de la parabole est \frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.