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T. Raisonnement par récurrence.

Exemple n°1 

On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et u_{n+1}=2u_n+7

On veut démontrer par récurrence la propriété suivante : u_n>0.

JE PREPARE MA DEMONSTRATION

ETAPE N°1

Illustration

La méthode

L’ exemple n°1 :

Je construis un ascenseur au premier niveau.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par le premier rang, c’est très souvent 0.

Je m’assure que la propriété est vérifiée.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_0>0

…

ETAPE N°2

Illustration

La méthode

L’ exemple n°1 :

Je construis un mécanisme qui permet de passer d’un étage à l’étage suivant..

Transmission ou hérédité : J’écris la propriété au rang  n en haut.

Puis j’écris la propriété au rang

n+1 en bas en remplaçant tous les n par (n+1) entre parenthèses dans la propriété à montrer.

Puis je réalise ma démonstration.

Transmission ou hérédité : J’écris la propriété au rang  n en haut.

u_n>0

…

u_{n+1}>0

Puis j’écris la propriété au rang

n+1 en bas dans la propriété à montrer.

ETAPE N°3

Illustration

La méthode

L’ exemple n°1 :

J’ai construit mon ascenseur au premier niveau. Avec le mécanisme précédent, je peux me rendre au second niveau. Du second niveau, je peux atteindre le troisième…De proche en proche, je peux atteindre tous les niveaux.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n (ça peut-être aussi pour  n>0 ou n\geq 1 ou … tout dépend de l’énoncé)

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

u_n>0 pour n \in \mathbf{N}.

JE FAIS LA DEMONSTRATION ( je complète la démonstration déjà préparée précédemment):

Initialisation : 

u_0>0 est vraie car u_0=1.

Transmission ou hérédité : .

u_n>0

Donc 2u_n>0 et donc 2u_n est positif.

Comme 7 est positif, alors 2u_n+7 est positif. Donc :

2u_n+7>0u_{n+1}>0

Conclusion : 

u_n>0 pour n \in \mathbf{N}.

 

Exemple n°2

On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et

u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}

On veut démontrer par récurrence la propriété suivante :

0<u_n<2

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0<u_0<2 car u_0=1

Transmission ou hérédité :

0<u_n<2\\2<2+u_n<4\\\sqrt{2}<\sqrt{2+u_n}<\sqrt{4}0<\sqrt{2}<\sqrt{2+u_n}<2\\0<\sqrt{2+u_n}<2\\0<u_{n+1}<2

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : On ajoute 2 à l’inégalité au-dessus.

étape n°5 : On utilise le fait que la fonction racine carrée est croissante sur [0;+\infty[. Les nombres et leurs racines varient dans le même sens.

étape n°6 : On rajoute  0<\sqrt{2}

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par \sqrt{2+u_n}

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

0<u_n<2 pour  n \in \mathbf{N}

Exemple n°3 

la somme des n premiers nombres entiers.

On veut démontrer par récurrence la propriété suivante : 1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2} pour n\geq 1. 

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 1.

1=\frac{1(1+1)}{2} est vraie car \frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1.

Transmission ou hérédité:

1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\\1+2+3+…+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\1+2+3+…+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\times \frac{2}{2}

 

1+2+3+…+n+(n+1)=\frac{n(n+1)+(n+1)\times 2}{2}\\1+2+3+…+(n+1)=\frac{(n+1)((n+2)}{2}\\1+2+3+…+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°3 : On ajoute n+1 à l’inégalité au-dessus.

étape n°4 : On met les deux termes de droite au même dénominateur pour les ajouter.

étape n°5 : On ajoute les deux fractions du second membre 

étape n°6 : on met (n+1) en facteur au numérateur.

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2} pour n\geq 1.

Exercice n°1 :

On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et u_{n+1}=2u_n-3.

Montrer par récurrence que la suite (u_n) est décroissante.

Cela revient à démontrer par récurrence la propriété suivante : u_n\geq u_{n+1} ,  n \in \mathbf{N}.

correction

Exercice n°2 :

On considère la suite (u_n) définie par u_0=-5 et u_{n+1}=\frac{2}{3}_n-1.

Montrer par récurrence que la suite (u_n) est majorée par -3 .

Cela revient à démontrer par récurrence la propriété suivante : u_n\leq -3 pour n \in \mathbf{N}.

correction

Exercice n°3 :

On considère la suite (u_n) définie par u_0=2 et u_{n+1}=\sqrt{5u_n}.

Montrer par récurrence que  0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq 5 pour n \in \mathbf{N} .

correction

Exercice n°4 :

On considère la suite (u_n) définie par u_0=0 et u_{n+1}=u_n+2n+1.

Montrer par récurrence que  u(n)=n^2 pour n \in \mathbf{N}.

correction

Exercice n°5 

la somme des n premiers nombres entiers.

On veut démontrer par récurrence la propriété suivante : 1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} pour n\geq 1. 

correction

©2020 – Math’O karé SAS

On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et u_{n+1}=2u_n-3.

Montrer par récurrence que la suite (u_n) est décroissante.

Cela revient à démontrer par récurrence la propriété suivante : u_n\geq u_{n+1}.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_0\geq u_1 vraie car u_0=1

                              et u_1=2\times 1-3=2-3=-1

Transmission ou hérédité : .

u_n\geq u_{n+1}\\2u_n\geq 2u_{n+1}\\2u_{n}-3\geq 2u_{n+1}-3\\u_{n+1}\geq u_{n+2}

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : Je multiplie par 2 l’inégalité, le sens  ne change pas car 2 est positif.

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par 2u_n-3 et u_{n+2} par 2u_{n+1}-3

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

u_n\geq u_{n+1} pour  n \geq 0.

Donc la suite (u_n) est décroissante.

 

 

On considère la suite (u_n) définie par u_0=2 et u_{n+1}=\sqrt{5u_n}.

Montrer par récurrence que  0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq 5 pour n \in \mathbf{N} .

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_0\leq u_1\leq 5 vraie car u_0=2

                              et u_1=\sqrt{5\times 2}=\sqrt{10}(\approx 3.2)

Transmission ou hérédité : .

0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq 5\\0\leq 5u_n \leq 5u_{n+1}\leq 25\\0 \leq \sqrt{5u_n} \leq \sqrt{5u_{n+1}}\leq \sqrt{25}0 \leq \sqrt{5u_n} \leq \sqrt{5u_{n+1}}\leq 5\\0\leq u_{n+1} \leq u_{n+2}\leq 5

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : Je multiplie par 5, le sens ne change pas

étape n°5 : La fonction racine carrée est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par \sqrt{5u_n} et u_{n+2} par \sqrt{5u_{n+1}}

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq 5 pour n \in \mathbf{N}

 

 

On considère la suite (u_n) définie par u_0=0 et u_{n+1}=u_n+2n+1.

Montrer par récurrence que  u(n)=n^2 pour n \in \mathbf{N}.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_{0}=0^2 vraie car u_0=0

Transmission ou hérédité : .

u(n)=n^2\\u(n)+2n+1=n^2+2n+1\\u_n+2n+1=(n+1)^2\\u_{n+1}=(n+1)^2

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : J’ajoute 2n+1 de chaque côté de l’égalité au-dessus.

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par u_n+2n+1. 

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

u(n)=n^2 pour n \in \mathbf{N}.

 

 

On veut démontrer par récurrence la propriété suivante : 1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} pour n\geq 1. 

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_0\leq u_1\leq 5 vraie car u_0=2

                              et u_1=\sqrt{5\times 2}=\sqrt{10}(\approx 3.2)

Transmission ou hérédité : .

On veut démontrer que 1^2+2^2+3^2+…+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}.

Pour rendre la démonstration plus lisible et plus simple, on va montrer que les quantités 1^2+2^2+3^2+…+(n+1)^2 et \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} sont égales à une même troisième quantité. Elles seront alors égales entre elles.

On présente la démonstration avec deux colonnes : la première pour 1^2+2^2+3^2+…+(n+1)^2 et la seconde pour \frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}. Quand on aura obtenu de part et d’autre la même quantité la démonstration sera finie.

Dans cette colonne on s’intéresse au premier membre de l’égalité à démontrer.

Dans cette somme, le terme qui vient avant (n+1)^2 est n^2, on le fait apparaître.

1^2+2^2+3^2+…+(n+1)^2 \\=1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2

On utilise l’hypothèse de récurrence pour remplacer 1^2+2^2+3^2+…+n^2 par \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2 \\=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2

On met les deux termes de droite au même dénominateur pour les ajouter.

1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2 \\=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \times \frac{6}{6}

On ajoute

1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}

on met (n+1) en facteur au numérateur.

1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}\\1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}\\1^2+2^2+3^2+…+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}

Dans cette colonne on s’intéresse au second membre de l’égalité à démontrer.

On va développer ((n+1)+1)(2(n+1)+1) dans le second membre de l’égalité.

\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}\\\hspace{3.3cm}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\\\hspace{3.3cm}=\frac{(n+1)(2n^2+3n+4n+6)}{6}\\\hspace{3.3cm}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}

Donc 1^2+2^2+3^2+…+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}

On a bien montré la propriété au rang n+1.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n\geq 1.

1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} pour n\geq 1.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.