T. Exercice sur les suites (page Facebook)

On s’intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.

Au début de l’an 2000, on comptait 300 tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de
tortues par la suite (u_n) définie par : u_0=0.3 et u_{n+1}=0.9u_{n}(1-u_n)
où pour tout entier naturel n, u_n représente le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000+n.

Partie A : avec un tableur.

  1. Saisir la bonne formule dans la cellule B3 et la copier vers le bas pour générer les termes de la suite (u_n).

2. A l’aide du tableur obtenu à la question précédente, conjecturer la limite de la suite (u_n).

Partie B : avec la courbe de la fonction f(x)=0.9x(1-x) et la droite d’équation y=x.

  1. Placer de façon géométrique à l’aide des courbes ci-dessous, les termes u_{1}, u_{2}, u_{3} et  u_{4} sur l’axe des abscisses.

Partie C : avec le calcul.

  1.  On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n} et 1-u_{n} appartiennent à l’intervalle ]0;1[.
    Montrer que, pour tout entier naturel n, 0< u_{n+1}< 0.9 u_n.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\leq u_{n}\leq  0.3\times 0.9^n.

3. Déterminer la limite de la suite (u_n). Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues ? 

Dans la cellule B3, il fallait saisir =0.9*B2*(1-B2) et la tirer vers le bas. On obtient alors le tableur ci-dessous.

En observant le tableur ci-dessous, il semble que la suite (u_n) admette 0 pour limite.

 

 

 

Pour construire u_1 sur l’axe des abscisses, on utilise la droite d’équation y=x . Les points de cette droite ont des coordonnées égales.

Pour obtenir u_2, on construit graphiquement  f(u_1) c’est-à-dire l’image de u_1 . On lit cette image sur l’axe des ordonnées et on revient sur l’axe des abscisses avec droite d’équation y=x.

 

 

 

 On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n} et 1-u_{n} appartiennent à l’intervalle ]0;1[.
On va montrer que, pour tout entier naturel n, 0< u_{n+1}< 0.9 u_n en faisant une démonstration qu’on va écrire du bas vers le haut.

0< 1-u_n< 1

 

0< 0.9u_{n}(1-u_n)<0.9 u_n\\0< u_{n+1}< 0.9 u_n

étape n°3 : je divise par 0.9u_{n} de chaque côté. Le signe ne change pas car 0.9u_{n}>0. La démonstration est finie car on tombe sur une hypothèse de l’énoncé.

étape n°2 : je remplace u_{n+1} par 0.9u_{n}(1-u_n)

étape n°1 : j’écris la conclusion en bas

    Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\leq  u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_{0}\leq 0.3\times 0.9^0 ou 0\leq u_{0}\leq 0.3 vraie car u_0=0.3                              

Transmission ou hérédité : .

0\leq  u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n\\0.9\times0\leq  0.9\times u_{n}\leq 0.9\times 0.3\times 0.9^n\\0\leq  0.9\times u_{n}\leq  0.3\times 0.9^{n+1}

On a montré que 0< u_{n+1}< 0.9 u_n

Donc

0\leq  u_{n+1}\leq 0.3\times 0.9^{n+1}

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°3 : Je multiplie par 0.9, le sens ne change pas

étape n°4 : Je calcule.

étape n°5 : Comme 0< u_{n+1}< 0.9 u_n et 0.9 u_{n}\leq  0.3\times 0.9^{n+1} alors u_{n+1}< 0.3\times  0.9^{n+1}. La démonstration est finie puisque la denière ligne est déjà écrite.

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

Pour tout entier naturel n, 0\leq  u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n

On a montré que : pour tout entier naturel n, 0< u_{n}< 0.3\times 0.9^n.

 lim_{n\to +\infty}0=0 car  0 ne dépend pas de  n.

 lim_{n\to +\infty}0.3\times 0.9^n=0 car  -1<0.9<1.

D’après le théorème des gendarmes :

 lim_{n\to +\infty}u_n=0.

Ce résultat confirme l’hypothèse que l’espèce étudiée est en voie de disparition.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.