T. Suites. Exercices.

Sommaire

Exercice n°1 (calcul de limites)

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=2n^2+n+5 

2. u_n=-n^2-3n 

3.u_n=2n^2+3\sqrt{n} 

4.u_n=-n^2+2n 

Exercice n°2 (calcul de limites)

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=n^2\sqrt{n} 

2. u_n=n^3(1-2n) 

3.u_n=(-n^2+1)(1-2n) 

4.u_n=n^2(\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}) 

Exercice n°3 (calcul de limites)

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=\frac{4+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n^2}} pour n\geq 1

2. u_n=\frac{6+n}{2+n} pour n\in \mathbf{N}

3.u_n=\frac{n}{n^3+1} pour n\in  \mathbf{N}

4.u_n=\frac{5n^2}{2n+1} pour n\in  \mathbf{N}

Exercice n°4 (calcul de limites)

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1} pour n\in \mathbf{N}. On montrera que u_n\leq – \frac{n}{2}.

2. u_n=2n+cos(n) pour n\in \mathbf{N}. On montrera que u_n\geq 2n+1.

3.u_n=-n^2+sin(n) pour n\in \mathbf{N}. On montrera que u_n\leq -n^2+1.

Exercice n°5 (calcul de limites)

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=\frac{(-1)^n}{n^2} pour n\in \mathbf{N}. On montrera que \frac{-1}{n^2}\leq u_n\leq \frac{1}{n^2}.

2. u_n=2-\frac{sin(n)}{n} pour n\geq 1. On montrera que 2-\frac{1}{n}\leq u_n\leq 2+\frac{1}{n}.

Exercice n°6 (calcul de limites)

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas.

  1. u_n=\frac{(-1)^n}{n+1} pour n\in \mathbf{N}. On montrera que \frac{-1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}.

2. u_n=3+\frac{cos(n)}{n^2} pour n\geq 1. On montrera que 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+\frac{1}{n^2}.

Exercice n°7 (calcul de limites)

Déterminer la limite de la suite (u_n) dans chaque cas lorsque c’est possible.

  1. (u_n) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u_0=1.

2. (u_n) est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme u_0=-2

3.(u_n) est une suite géométrique de raison 0.2 et de premier terme u_0=10

4.(u_n) est une suite géométrique de raison -3 et de premier terme u_0=2

Exercice n°8 (algorithme, tableur, calcul de limites)

Actuellement le taux de mortalité des abeilles est de 30 % par an en moyenne en France.

Un apiculteur  possède 200 colonies et compte-tenu du taux de mortalité, il décide de rajouter 42 colonies chaque année pour essayer de stabiliser sa production.

  1. On donne le programme suivant écrit en langage Python :

a. Faire tourner le programme à la main et compléter le tableau ci-dessous ( arrondir les valeurs C à l’unité près ) 

b. Quelle est la valeur de N renvoyée par le programme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

On note C_n le nombre de colonies d’abeilles au début de la nième année .

On a alors C_0=200.

On admet que pour tout entier n,

C_{n+1}=0.7C_n+42.

2. La suite C_n est-elle arithmétique ? La suite C_n est-elle géométrique ?

3. On admet que C_n=60\times 0.7^n+140. L’apiculteur pourra-t-il espérer atteindre les 150 colonies dans le futur ? Vous pourrez utiliser la page géogébra ci-dessous en saisissant la bonne formule dans la cellule B2.

4. Calculer lim_{n\to +\infty}C_n. Interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice.

Exercice n°9 (suite géométrique, calcul de limites)

Dans un laboratoire, on cultive des bactéries artificielles.

Le premier jour de l’étude, la culture compte 6000 cellules.

Un test mené sur cette culture prouve que 15 % des cellules disparaissent chaque jour. On décide alors d’ajouter 3000 cellules chaque jour dans la culture.

On note  u_n le nombre de bactéries présentes dans la culture le jour n. On a alors u_0=6000.

1.a.Calculer u_{1} et u_{2}.

1.b. Montrer que la suite u_n n’est ni géométrique, ni arithmétique.

On admet dans la suite de l’exercice que u_{n+1}=0.85\times u_n+3000

2. On considère la suite v_n définie par v_{n}=u_n-20000.

a. Calculer v_0 et démontrer que la suite  (v_n) est géométrique de raison 0.85 .

b. Pour tout entier naturel n, exprimer  v_n  en fonction de n  puis montrer que u_n=-14000\times 0.85^n+20000 

3. Est-il correct d’affirmer que le nombre de bactéries contenues dans la culture aura triplé au bout de 4 semaines ?

4. Calculer lim_{n\to +\infty} u_n. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice n°10 (algorithme, suite géométrique, calcul de limites)

Un pays compte 300 loups en 2017. On estime que la population des loups croit naturellement au
rythme de 12 % par an. Pour réguler la population des loups. le gouvernement autorise les chasseurs
à tuer un quota de 18 loups par an.
On modélise la population par une suite (u_n) le terme u_n représentant le nombre de loups de ce pays
en 2017+n.

  1. a. Avec ce modèle vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de 318.

b. Justifier que, pour tout entier n \in \mathbf{N}u_{n+1}=1.12u_n-18

2. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il détermine au bout de combien d’années
la population de loups aura doublé.

N ← 0
U ← 300
Tant que ………………… faire
U ← ···
N ← ···
Fin Tant que

3. On définit la suite (v_n) par : v_n=u_n-150 pour tout n\in\mathbf{N}.
a. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 1.12.
Préciser son terme initial.

b. Exprimer, pour tout n\in\mathbf{N}, v_n en fonction de n.
En déduire u_n en fonction de n.

c. Quelle est la limite de la suite (u_n)? Justifier.
Que peut-on en déduire ?

Exercice n°11 : ( tableur, démonstration par récurrence, suite croissante,  calcul de limites)

On considère deux suites (u_n) et (v_n) :
• la suite (u_n) définie par u_0=1et pour tout entier naturel n , u_{n+1}=2u_n-n+3
• la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_n=2^n
Partie A : Conjectures
1. Dans la fenêtre active Géogébra ci-dessous, saisir les formules adéquates dans les cellules B3, C2 et D2 et les tirer vers le bas pour générer les termes des trois suites (u_n) , (v_n) et (\frac{u_n}{v_n}).

2. Conjecturer les limites des suites (u_n) et (\frac{u_n}{v_n})

Partie B : Étude de la suite (u_n)
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
u_n=3\times 2^n+n-2.

2. Déterminer la limite de la suite (u_n).

Partie C: Étude de la suite (\frac{u_n}{v_n})
1. Démontrer que la suite (\frac{u_n}{v_n}) est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0<\frac{n}{2^n}\leq \frac{1}{n}.

Déterminer la limite de la suite (\frac{u_n}{v_n}).

Exercice n°12 : ( algorithme, démonstration par récurrence, suite croissante,  calcul de limites)

Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 12 000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.
Partie A : un premier modèle.
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an.
L’évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite (v_n)v_n représente le nombre d’individus, exprimé en milliers, en 2016+n. On a donc v_0=12.
1. Déterminer la nature de la suite (v_n) et donner l’expression de v_n en fonction de n.

2. Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?

Partie B : un second modèle
Le biologiste modélise ensuite l’évolution annuelle de la population par une suite (u_n) définie
par u_0=12 et, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=-\frac{1.1}{605}u_n^2+1.1u_n
1. On considère la fonction g définie sur \mathbf{R} par
g(x)=-\frac{1.1}{605}x^2+1.1x
a. Justifier que g est croissante sur [0; 60].

b. Résoudre dans \mathbf{R} l’équation g(x)=x.

2. On remarquera que u_{n+1}=g(u_n).

a. Calculer la valeur arrondie à 10^{-3} de u_1. Interpréter

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 0\leq u_n\leq 55.

c. Démontrer que la suite (u_n) est croissante.

d. En déduire la convergence de la suite (u_n).

e. On admet que la limite l de la suite (u_n) vérifie g(l)=l. En déduire sa valeur et l’interpréter dans le contexte de l’exercice

3. Le biologiste souhaite déterminer le nombre d’années au bout duquel la population dépassera les 50 000 individus avec ce second modèle.
Il utilise l’algorithme suivant.

n un entier naturel
u un nombre réel
n prend la valeur 0
u prend la valeur 12
Tant Que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u prend la valeur . . . . . . . . . . . . . .
n prend la valeur . . . . . . . . . . . . . .
Fin Tant Que
Afficher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il affiche en sortie le plus petit entier k tel que
 u_k>50.

Exercice n°13 : (  démonstration par récurrence, suite croissante,  calcul de limites, représenter graphiquement des termes de suites)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 4] par f(x)=\frac{2+3x}{4+x}
Partie A
On considère la suite (u_n) définie par : u_0=3 et pour tout entier naturel n , u_{n+1}=f(u_n).
On admet que cette suite est bien définie.
1. Calculer u_1.

2. Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0; 4].

3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 1\leq u_{n+1}\leq u_{n}\leq 3.

4. a. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

4. b. On admet que la limite l de (u_n) vérifie l=\frac{2+3l}{4+l}. Calculer l.

Partie B
On considère la suite (v_n) définie par :
v_0=0.1 et pour tout entier naturel n, v_{n+1}=f(v_n).
1. Dans la fenêtre active Géogébra ci-dessous on a représenté la courbe représentative de la fonction f en vert et une partie de la droite D d’équation y=x en violet.
Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termes v_1, v_2 et v_3.

Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite (v_n) quand n tend vers l’infini ?

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n , 1-v_{n+1}=\frac{2}{4+v_n}(1-v_n).

b. On admet que pour tout entier naturel n, v_n\geq 0. Montrer alors que  0\leq \frac{1}{4+v_n} \leq \frac{1}{4}.

c. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 0\leq 1-v_n\leq (\frac{1}{2})^n.

3. En déduire la limite de la  suite (v_n).

Exercice n°14

(  démonstration par récurrence, suite croissante,  calcul de limites, représenter graphiquement des termes de suites)

Soit (u_n) la suite définie par u_0=3, u_1=6 et, pour tout entier naturel n:
u_{n+2}=\frac{5}{4}u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}.
Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite (u_n).
Partie A :
1. On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite (u_n). Utiliser le tableur de la fenêtre Géogébra ci-dessous. Pour cela copier la formule adéquate dans la cellule B4 et tirer vers le bas.

2. Que peut-on conjecturer pour la convergence de la suite (u_n) ?

Partie B : Étude de la suite (u_n)
On considère les suites (v_n) et (w_n) définies pour tout entier naturel n par :
v_n=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_n et w_n=u_{n}-7.

1. a. Démontrer que (v_n) est une suite constante.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=\frac{1}{4}u_n+\frac{21}{4}.

2. a. En utilisant le résultat de la question 1. b. montrer par récurrence que, pour tout
entier naturel n , u_n<u_{n+1}<15.

b. En déduire que la suite (u_n) est convergente

3. a. Démontrer que (w_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n , u_n=7-(\frac{1}{4})^{n-1}.

c. Calculer la limite de la suite (u_n).

On s’intéresse à la suite définie par u_n=2n^2+n+5. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

u_n=2n^2+n+5

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de trois termes :

2n^2 , n et 5.

On calcule d’abord les limites des trois termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et  \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2

Comme 2 est positif \lim_{n\to{+\infty}}2n^2=+\infty car 2 est positif.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

 

\lim_{n\to{+\infty}}5=5 car il ne dépend pas de n

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme , colonne 4 puis colonne 2.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2

Comme 2 est positif \lim_{n\to{+\infty}}2n^2=+\infty car 2 est positif.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}5=5 car il ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme : \lim_{n\to{+\infty}}2n^2+n+5=+\infty 

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=-n^2-3n. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

 

u_n=-n^2-3n

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

-n^2 et -3n.

On calcule d’abord les limites des deux termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -1 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -3 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-3n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme, 5ème colonne.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -1 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -3 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-3n=-\infty

D’après le théorème sur la somme

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2-3n=-\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^2+\sqrt{n}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour que les valeurs u_n apparaissent sous forme décimale, appuyer sur la touche mode de la calculatice et sélectionner DEC sur la ligne RESULTATS comme ci-dessous.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

 

 

u_n=2n^2+3\sqrt{n}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

2n^2 et 3\sqrt{n}.

On calcule d’abord les limites des deux termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 2 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}2n^2=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 3 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}3\sqrt{n}=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 4.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 2 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}2n^2=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 3 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}3\sqrt{n}=+\infty

D’après le théorème sur la somme

\lim_{n\to{+\infty}}2n^2+3\sqrt{n}=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=-n^2+2n. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

u_n=-n^2+2n

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de deux termes :

-n^2 et 2n.

On calcule d’abord les limites des deux termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme -1 est négatif

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 2 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}2n=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme colonne 6

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas en appliquant le théorème, la colonne 6 donne le résultat forme indéterminée.

On modifie l’écriture de u_n en mettant en facteur le terme de plus haut degré ici 2. Et on appliquera ensuite un autre théorème, celui sur le produit.

u_n=n^2(-1+\frac{2}{n})

C’est le produit de deux facteurs

n^2 et -1+\frac{2}{n}

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°1 :

Les suites de terme général \frac{1}{n} , \frac{1}{n^2} , \frac{1}{n^3} ,…, \frac{1}{n^k} ( k entier naturel) et \frac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 0 quand n tend vers +\infty .

Et la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}=0

\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1

Donc par somme

\lim_{n\to{+\infty}}-1+\frac{2}{n}=-1

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

On ne peut pas conclure avec le théorème sur la somme donc on factorise :

u_n=n^2(-1+\frac{2}{n})

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1

Donc par somme

\lim_{n\to{+\infty}}-1+\frac{2}{n}=-1

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}n^2(-1+\frac{2}{n})=-\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^2\sqrt{n}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour que les valeurs u_n apparaissent sous forme décimale, appuyer sur la touche mode de la calculatice et sélectionner DEC sur la ligne RESULTATS comme ci-dessous.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

 

u_n=n^2\sqrt{n}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

n^2 et \sqrt{n}.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\sqrt{n}=+\infty d’après la propriété n°2.

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}n^2\sqrt{n}=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^3(1-2n). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

u_n=n^3(1-2n)

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

n^3 et 1-2n.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^3=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-2 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-2n=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-2n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^3=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-2 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-2n=-\infty\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-2n=-\infty

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}n^3(1-2n)=-\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=(-n^2+1)(1-2n). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

u_n=(-n^2+1)(1-2n)

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

-n^2+1 et 1-2n.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

-1 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2+1=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-2 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-2n=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-2n=-\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

-1 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2=-\infty\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}-n^2+1=-\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

-2 est négatif donc

\lim_{n\to{+\infty}}-2n=-\infty\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}1-2n=-\infty

D’après le théorème sur le produit

\lim_{n\to{+\infty}}(-n^2+1)(1-2n)=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=n^2(\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

u_n=n^2(\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}) 

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est le produit de deux facteurs :

n^2 et \frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}.

On calcule d’abord les limites des deux facteurs à l’aide de la propriété n°1 :

Les suites de terme général \frac{1}{n} , \frac{1}{n^2} , \frac{1}{n^3} ,…, \frac{1}{n^k} ( k entier naturel) et \frac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 0 quand n tend vers +\infty .

Et de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}=0

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{3}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}=0

On applique ensuite le théorème du cours sur le produit, 4ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un produit. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée, il faut modifier l’écriture de u_n et appliquer un autre théorème.

On développe n^2(\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2})={n^2}\times{\frac{2}{n}}-{n^2}\times{\frac{3}{n^2}} 

\hspace{3.8cm}=2n-3 

Puis  on applique le théorème sur la somme.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

C’est une forme indéterminée, il faut modifier l’écriture de u_n

On développe n^2(\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2})={n^2}\times{\frac{2}{n}}-{n^2}\times{\frac{3}{n^2}} 

Donc u_n=2n-3 

Puis  on applique le théorème sur la somme.

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

2 est positif donc

\lim_{n\to{+\infty}}2n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}-3=-3 car -3 ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme

\lim_{n\to{+\infty}}2n-3=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{4+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n^2}}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 2.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 2. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 2.

u_n=\frac{4+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n^2}} pour n\geq 1

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

4+\frac{1}{n} est le numérateur et 2-\frac{1}{n^2} est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°1 :

Les suites de terme général \frac{1}{n} , \frac{1}{n^2} , \frac{1}{n^3} ,…, \frac{1}{n^k} ( k entier naturel) et \frac{1}{\sqrt{n}} tendent vers 0 quand n tend vers +\infty .

Et de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}4=4 car 4 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}4+\frac{1}{n}=4

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n^2}=0

\lim_{n\to{+\infty}}2=2 car 2 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}2-\frac{1}{n^2}=2

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 1ère colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

\lim_{n\to{+\infty}}4=4 car 4 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}4+\frac{1}{n}=4

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n^2}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}2=2 car 2 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}2-\frac{1}{n^2}=2

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}=\frac{4}{2}=2

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=2

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{6+n}{2+n}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 1.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 1. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 1.

u_n=\frac{6+n}{2+n}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

6+n est le numérateur et 2+n est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel)  et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}6=6 car 6 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}6+n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}2=2 car 2 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}2+n=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 5ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n) et idem au dénominateur (ici n) .

\frac{6+n}{2+n}=\frac{n(\frac{6}{n}+1)}{n(\frac{2}{n}+1)}

\hspace{0.65cm}=\frac{\frac{6}{n}+1}{\frac{2}{n}+1}

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{6}{n}=0

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{6}{n}+1=1

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}=0

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car -1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}+1=1

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 1ère colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

u_n=\frac{6+n}{2+n}\\u_n=\frac{n(\frac{6}{n}+1)}{n(\frac{2}{n}+1)}\\u_n=\frac{\frac{6}{n}+1}{\frac{2}{n}+1}

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{6}{n}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{6}{n}+1=1

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}=0\\\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car -1 ne dépend pas de n.

D’après le théorème sur la somme :

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{2}{n}+1=1

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{\frac{6}{n}+1}{\frac{2}{n}+1}=1

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=1

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{n}{n^3+1}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 0.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 0. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 0.

u_n=\frac{n}{n^3+1}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

n est le numérateur et n^3+1 est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}n^3=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

Par somme

\lim_{n\to{+\infty}}n^3+1=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 5ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n) et idem au dénominateur (ici n^3) .

\frac{n}{n^3+1}=\frac{n\times 1}{n^3(1+\frac{1}{n^3})}

\hspace{0.8cm}=\frac{1}{n^2(1+\frac{1}{n^3})}

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^3}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}1+\frac{1}{n^3}=1

D’après le théorème sur le produit :

\lim_{n\to{+\infty}}n(1+\frac{1}{n^3})=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 3ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

C’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n) et idem au dénominateur (ici n^3) .

u_n=\frac{n}{n^3+1}\\\hspace{0.5cm}=\frac{n\times 1}{n^3(1+\frac{1}{n^3})}\\\hspace{0.5cm}=\frac{1}{n^2(1+\frac{1}{n^3})}

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n.

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^3}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}1+\frac{1}{n^3}=1

D’après le théorème sur le produit :

\lim_{n\to{+\infty}}n(1+\frac{1}{n^3})=+\infty

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n^2(1+\frac{1}{n^3})}=0

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=0

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{5n^2}{2n+1}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de +\infty.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de +\infty

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

 

u_n=\frac{5n^2}{2n+1} pour n\in \mathbf{N}

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est un quotient 

5n^2 est le numérateur et 2n+1 est le dénominateur.

On calcule d’abord les limites du numérateur et du dénominateur à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et \sqrt{n} tendent vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n^2=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 5 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}5n^2=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 2 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}2n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}1=1 car 1 ne dépend pas de n

Par somme

\lim_{n\to{+\infty}}2n+1=+\infty

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 5ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Hélas c’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n^2) et idem au dénominateur (ici n) .

u_n=\frac{5n^2}{2n+1}

\hspace{0.5cm}=\frac{n^2\times5}{n(2+\frac{1}{n})}

\hspace{0.5cm}=\frac{5n}{2+\frac{1}{n}}

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 5 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}5n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}2+\frac{1}{n}=2

On applique ensuite le théorème du cours sur le quotient, 4ème colonne. Cliquer sur le plus situé à gauche de : le terme général est un quotient. 

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

C’est une forme indéterminée. Il faut mettre en facteur au numérateur le terme de plus haut degré en n(ici n^2) et idem au dénominateur (ici n) .

u_n=\frac{5n^2}{2n+1}\\\hspace{0.5cm}=\frac{n^2\times5}{n(2+\frac{1}{n})}\\\hspace{0.5cm}=\frac{5n}{2+\frac{1}{n}}

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

Comme 5 est positif

\lim_{n\to{+\infty}}5n=+\infty

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0 d’après la propriété n°1.

Donc \lim_{n\to{+\infty}}2+\frac{1}{n}=2

D’après le théorème sur le quotient

\lim_{n\to{+\infty}}\frac{5n}{2+\frac{1}{n}}=+\infty

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour que les valeurs u_n apparaissent sous forme décimale, appuyer sur la touche mode de la calculatice et sélectionner DEC sur la ligne RESULTATS comme ci-dessous.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

 

On a u_n=\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur la somme ne fonctionne pas car on tombe sur la forme indéterminée (+\infty)+(-\infty)

On va utiliser la propriété n°3

Soient deux suites (u_n) et (v_n) telles qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n,

Si \lim_{n \to {+\infty}}u_n=+\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty 

Si \lim_{n \to {+\infty}}v_n=-\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}u_n=-\infty 

Montrons que u_n\leq -\frac{n}{2}. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par \frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}

\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}\leq -\frac{n}{2}

Donc u_n\leq -\frac{n}{2}

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève \frac{n}{2} de chaque côté. Le sens de l’inégalité ne change pas.

-\sqrt{n^2+1}\geq – \frac{n}{2}-\frac{n}{2}

\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}\leq -\frac{n}{2}

Donc u_n\leq -\frac{n}{2}

étape n°3 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’ajoute -\frac{n}{2}-\frac{n}{2}=-n. Le sens de l’inégalité ne change pas.

-\sqrt{n^2+1}\leq -n

-\sqrt{n^2+1}\leq – \frac{n}{2}-\frac{n}{2}

\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}\leq -\frac{n}{2}

Donc u_n\leq -\frac{n}{2}

étape n°4 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

Je multiplie l’inégalité par -1, le sens de l’inégalité change.

Puis je  remplace n par\sqrt{n^2}

\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}

-\sqrt{n^2+1}\leq -n

-\sqrt{n^2+1}\leq – \frac{n}{2}-\frac{n}{2}

\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}\leq -\frac{n}{2}

Donc u_n\leq -\frac{n}{2}

étape n°5 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’utilise que la fonction racine carrée est croissante donc les nombres et les images varient dans le même sens. Le sens de l’inégalité ne change pas.

n^2+1\geq n^2

\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}

-\sqrt{n^2+1}\leq -n

-\sqrt{n^2+1}\leq – \frac{n}{2}-\frac{n}{2}

\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}\leq -\frac{n}{2}

Donc u_n\leq -\frac{n}{2}

étape n°6 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève n^2 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

1\geq 0

n^2+1\geq n^2

\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}

-\sqrt{n^2+1}\leq -n

-\sqrt{n^2+1}\leq – \frac{n}{2}-\frac{n}{2}

\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}\leq -\frac{n}{2}

Donc u_n\leq -\frac{n}{2}

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

1\geq 0\\n^2+1\geq n^2\\\sqrt{n^2+1}\geq \sqrt{n^2}\\-\sqrt{n^2+1}\leq -n\\-\sqrt{n^2+1}\leq – \frac{n}{2}-\frac{n}{2}\\\frac{n}{2}-\sqrt{n^2+1}\leq -\frac{n}{2}

Donc u_n\leq -\frac{n}{2}

Comme \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{n}{2}=-\infty

D’après la propriété n°3, on peut en déduire que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

On s’intéresse à la suite définie par u_n=2n+cos(n). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très grandes.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très grandes. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de +\infty.

 

On a u_n=2n+cos(n)

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur la somme ne fonctionne pas car  la limite de cos(n) n’existe pas.

On va utiliser la propriété n°3

Soient deux suites (u_n) et (v_n) telles qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n,

Si \lim_{n \to {+\infty}}u_n=+\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty 

Si \lim_{n \to {+\infty}}v_n=-\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}u_n=-\infty 

Montrons que u_n\geq 2n-1. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par 2n+cos(n)

2n+cos(n)\geq 2n-1

Donc u_n\geq 2n-1

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève 2n de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

cos(n)\geq -1

2n+cos(n)\geq 2n-1

Donc u_n\geq 2n-1

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

cos(n)\geq -1\\2n+cos(n)\geq 2n-1

Donc u_n\geq 2n-1

Comme \lim_{n\to{+\infty}}2n-1=+\infty

D’après la propriété n°3, on peut en déduire que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=-n^2+sin(n). On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) deviennent très petites.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent devenir très petites. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de -\infty.

On a u_n=-n^2+sin(n)

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur la somme ne fonctionne pas car  la limite de sin(n) n’existe pas.

On va utiliser la propriété n°3

Soient deux suites (u_n) et (v_n) telles qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n,

Si \lim_{n \to {+\infty}}u_n=+\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty 

Si \lim_{n \to {+\infty}}v_n=-\infty alors \lim_{n \to {+\infty}}u_n=-\infty 

Montrons que u_n\leq -n^2+1. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par -n^2+sin(n)

-n^2+sin(n)\leq -n^2+1

Donc u_n\leq -n^2+1

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’ajoute n^2 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas . 

sin(n)\leq 1

-n^2+sin(n)\leq -n^2+1

Donc u_n\leq -n^2+1

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

sin(n)\leq 1\\-n^2+sin(n)\leq -n^2+1

Donc u_n\leq -n^2+1

Comme \lim_{n\to{+\infty}}-n^2+1=-\infty

D’après la propriété n°3, on peut en déduire que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{(-1)^n}{n^2} pour n\geq 1 . On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 0.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 0. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 0.

 

On a u_n=\frac{(-1)^n}{n+1}

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur le quotient  ne fonctionne pas car  la limite de (-1)^n n’existe pas.

On va utiliser le théorème des gendarmes.

Soient trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) telles  qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n\leq w_n.

Si u_n et w_n convergent vers l alors v_n converge vers l.

Montrons que -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par \frac{(-1)^n}{n+1}

-\frac{1}{n+1}\leq \frac{(-1)^n}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}

Donc -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

Je multiplie par  n+1 qui est positif de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

-1\leq(-1)^n\leq 1

-\frac{1}{n+1}\leq \frac{(-1)^n}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}

Donc -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

-1\leq(-1)^n\leq 1\\-\frac{1}{n+1}\leq \frac{(-1)^n}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}

Donc -\frac{1}{n+1}\leq u_n\leq \frac{1}{n+1}

Comme \lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n+1}=0 et comme \lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n+1}=0 

on peut en déduire, d’après le théorème des gendarmes  que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=0

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=2-\frac{sin(n)}{n} pour n\geq 1 . On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 2.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que les valeurs de u_n semblent se rapprocher de 2. 

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 2.

On a u_n=3+\frac{cos(n)}{n^2}

On veut calculer sa limite.

Le théorème sur le quotient  ne fonctionne pas car  la limite de cos(n) n’existe pas.

On va utiliser le théorème des gendarmes.

Soient trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) telles  qu’à partir d’un certain rang, u_n\leq v_n\leq w_n.

Si u_n et w_n convergent vers l alors v_n converge vers l.

Montrons que 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}. La démonstration peut se faire à l’envers comme c’est indiqué ci-dessous.

étape n°1 : j’écris en bas la conclusion et j’écris l’avant-dernière ligne en remplaçant u_n par 3+ \frac{cos(n)}{n^2}

3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

étape n°2 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

J’enlève  3 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas. 

-\frac{1}{n^2}\leq  \frac{cos(n)}{n^2}\leq  \frac{1}{n^2}

3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

étape n°3 : Je continue ma démonstration en écrivant du bas vers le haut.

Je multiplie par   n^2 qui est positif de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas et  j’obtiens une inégalité qui est toujours vraie. la démonstration est finie. 

-1\leq  cos(n)\leq  1

-\frac{1}{n^2}\leq  \frac{cos(n)}{n^2}\leq  \frac{1}{n^2}

3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Voilà ce qu’il faut écrire sur la copie :

-1\leq  cos(n)\leq  1\\-\frac{1}{n^2}\leq  \frac{cos(n)}{n^2}\leq  \frac{1}{n^2}\\3-\frac{1}{n^2}\leq 3+ \frac{cos(n)}{n^2}\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Donc 3-\frac{1}{n^2}\leq u_n\leq 3+ \frac{1}{n^2}

Comme \lim_{n\to{+\infty}}3-\frac{1}{n^2}=3 et comme \lim_{n\to{+\infty}}3+\frac{1}{n^2}=3 

on peut en déduire, d’après le théorème des gendarmes  que 

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=3

 

 

On s’intéresse à la suite définie par u_n=\frac{(-1)^n}{n+1}. On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 0.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) semblent se  rapprocher de 0.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 0.

On s’intéresse à la suite définie par u_n=3+\frac{cos(n)}{n^2} pour n\geq 1 . On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 3.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) semblent se  rapprocher de 3.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 3.

 

On s’intéresse à la suite  (u_n) qui est une suite géométrique raison 3 et de premier terme u_0=1.

C’est-à-dire que  u_n=1\times 3^n.

On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) s’éloignent vers  +\infty.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) semblent s’éloigner vers  +\infty.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) s’éloignent vers  +\infty.

 

 

C’est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 1.

Donc u_n=1\times 3^n=3^n.

On applique la propriété suivante.

Soit q un nombre réel.

  • Si q \leq -1 alors la suite (q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • Si -1<q<1 alors la suite (q^n) converge vers 0.
  • Si q =1 alors la suite (q^n) converge vers 1.
  • Si q >1 alors la suite (q^n) diverge vers +\infty.

Comme q>1 car q=3\\lim_{n\to{+\infty}}3^n=+\infty\\lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

On s’intéresse à la suite  (u_n) qui est une suite géométrique raison 4 et de premier terme u_0=-2.

C’est-à-dire que  u_n=-2\times 4^n.

On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) s’éloignent vers  -\infty.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) semblent s’éloigner vers  -\infty.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) s’éloignent vers  -\infty.

C’est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme -2.

Donc u_n=-2\times 4^n.

On applique la propriété suivante.

Soit q un nombre réel.

  • Si q \leq -1 alors la suite (q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • Si -1<q<1 alors la suite (q^n) converge vers 0.
  • Si q =1 alors la suite (q^n) converge vers 1.
  • Si q >1 alors la suite (q^n) diverge vers +\infty.

Comme q>1 car q=4.

lim_{n\to{+\infty}}4^n=+\infty

On multiplie par -2 qui est négatif, donc 

lim_{n\to{+\infty}}-2\times 4^n=-\infty\\lim_{n\to{+\infty}}u_n=-\infty

 

On s’intéresse à la suite  (u_n) qui est une suite géométrique raison 0.2 et de premier terme u_0=10.

C’est-à-dire que  u_n=10\times 0.2^n.

On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de   0.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) semblent se rapprocher de   0.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de   0.

C’est une suite géométrique de raison -3 et de premier terme 2.

Donc u_n=2\times (-3)^n.

On applique la propriété suivante.

Soit q un nombre réel.

  • Si q \leq -1 alors la suite (q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • Si -1<q<1 alors la suite (q^n) converge vers 0.
  • Si q =1 alors la suite (q^n) converge vers 1.
  • Si q >1 alors la suite (q^n) diverge vers +\infty.

Comme q\leq -1 car q=-3.

(-3)^n n’a pas de limite, donc la suite (u_n) n’admet pas de limite.

On s’intéresse à la suite  (u_n) qui est une suite géométrique raison -3 et de premier terme u_0=2.

C’est-à-dire que  u_n=2\times (-3)^n.

On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.

Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) ne se rapprochent d’aucune valeur.

Le nuage de points de coordonnées  (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) ne se rapprochent d’aucune valeur.

Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) ne se rapprochent d’aucune valeur.

C’est une suite géométrique de raison 0.2 et de premier terme 10.

Donc u_n=10\times 0.2^n.

On applique la propriété suivante.

Soit q un nombre réel.

  • Si q \leq -1 alors la suite (q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • Si -1<q<1 alors la suite (q^n) converge vers 0.
  • Si q =1 alors la suite (q^n) converge vers 1.
  • Si q >1 alors la suite (q^n) diverge vers +\infty.

Comme -1<q<1 car q=0.2.

lim_{n\to{+\infty}}0.2^n=0

On multiplie par 10 qui est positif, donc 

lim_{n\to{+\infty}}10\times 0.2^n=0\\lim_{n\to{+\infty}}u_n=0

 

 

Le programme calcule les valeurs de C successives et les compare à 155. 

Dans la console Python en bas, on lit la valeur de N renvoyée, c’est 4.

Dans le contexte de l’exercice, cela signifie qu’au bout de quatre ans le nombre de colonies sera plus petit que 155.

 

 

La suite définie par   C_{n+1}=0.7C_n+42 n’est pas arithmétique car C_1-C_0 \ne C_2-C_1 .

En effet,

C_1-C_0=182-200=-18

et C_2-C_1 =169.4-182=-12.6.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que  u_1-u_0 = u_2-u_1  

La suite définie par   C_{n+1}=0.7C_n+42 n’est pas géométrique car \frac{C_1}{C_0} \ne \frac{C_2}{C_1} .

En effet,

\frac{C_1}{C_0}=\frac{182}{200}=0.91

et \frac{C_2}{C_1}=\frac{169.4}{182}=0.93.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique il suffit de montrer que \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est géométrique en montrant que \frac{u_1}{u_0} = \frac{u_2}{u_1}

On copie dans la cellule B2, la formule suivante =60*0.7^{A2}+140.

On constate que dans le futur, l’apiculture n’atteindra pas les 150 ruches. 

 

 

lim_{n\to +\infty} C_n=lim_{n\to +\infty} 60\times 0.7^n+140

On calcule la limite d’une somme.

lim_{n\to +\infty} 60\times 0.7^n=0

car il s’agit d’une suite géométrique de raison 0.7 et de premier terme 60 et que -1<0.7<1.

lim_{n\to +\infty} 140=140

car 140 ne dépend pas de n.

Donc lim_{n\to +\infty} u_n = 140

On interprète : au bout d’un grand nombre de jours, le nombre de colonies se stabilisera à 140.

Comme le nombre de bactéries  diminue de 15% d’une semaine sur l’autre, cela reviendrait à multiplier par 1-\frac{15}{100} soit 0.85 .

Puis il ne faut pas oublier d’ajouter les 3000 bactéries supplémentaires.

u_1=0.85\times u_0+3000\\\hspace{0.45cm}=0.85\times 6000+3000\\\hspace{0.45cm}=8100

 

Comme le nombre de bactéries  diminue de 15% d’une semaine sur l’autre, cela reviendrait à multiplier par 1-\frac{15}{100} soit 0.85 .

Puis il ne faut pas oublier d’ajouter les 3000 bactéries supplémentaires.

u_2=0.85\times u_1+3000\\u_2=0.85\times 8100+3000\\\hspace{0.45cm}=6885+3000\\\hspace{0.45cm}=9885

La suite  (u_{n}) n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .

En effet,

u_1-u_0=8100-6000=2100

et u_2-u_1 =9885-8100=1785.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que  u_1-u_0 = u_2-u_1  

La suite  (u_{n}) n’est pas géométrique car \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .

En effet,

\frac{u_1}{u_0}=\frac{8100}{6000}=1.35

et \frac{u_2}{u_1}=\frac{9885}{8100}=1.22.

Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique il suffit de montrer que \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .

En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que \frac{u_1}{u_0} = \frac{u_2}{u_1}

 

 

Pour calculer v_0 il faut remplacer tous les n par 0 dans l’écriture v_n=u_n-20000 .

v_0=u_0-20000 

Puis on remplace u_0 par 6000 dans v_0=u_0-20000 .

v_0=6000-20000 

\hspace{0.45cm}=-14000 

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85, nous allons prouver l’égalité suivante v_{n+1}=0.85\times v_n.

On part du premier membre v_{n+1}, on le transforme pour arriver au second membre 0.85\times v_n.

v_{n+1}=u_{n+1}-20000 . On exprime v_{n+1} en fonction de u_{n+1}

\hspace{0.75cm}=(0.85\times u_{n}+3000)-20000 . On exprime u_{n+1} en fonction de u_{n}

\hspace{0.75cm}=0.85\times u_{n}-17000 . On réduit la somme.

Ensuite on met en facteur le coefficient par lequel u_n est multiplié , ici 0.85.

Remarque : 17000=0.85\times 20000

\hspace{0.75cm}=0.85(u_{n}-20000)

\hspace{0.75cm}=0.85\times v_n

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85.

 

 

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85, nous allons prouver l’égalité suivante \frac{v_{n+1}}{v_n}=0.85.

On part du  membre \frac{v_{n+1}}{v_n}, on le transforme pour arriver au second membre 0.85.

\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}-20000}{u_n-20000} . On exprime v_{n+1} en fonction de u_{n+1} et v_{n} en fonction de u_{n}.

\hspace{0.7cm}=\frac{(0.85\times u_n+3000)-20000}{u_n-20000} . On exprime u_{n+1} en fonction de u_{n}

\hspace{0.7cm}=\frac{0.85\times u_n-17000}{u_n-20000} . On réduit la somme au numérateur.

Ensuite on met en facteur au numérateur le coefficient par lequel u_n est multiplié , ici 0.85.

Remarque : 17000=0.85\times 20000

\hspace{0.7cm}=\frac{0.85\times( u_n-20000)}{u_n-20000}

On simplifie en haut et en bas par u_n-20000

\hspace{0.7cm}=0.85

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85.

 

 

On veut montrer que u_n=-14000\times 0.85^n+20000

Nous avons montré précédemment que la suite v_n est une suite géométrique de raison 0.85 et de premier terme -14000.

On remplace q par 0.85 et v_0 par -14000 dans v_n=v_0\times q^n.

v_n=-14000\times 0.85^n

On sait que v_n=u_n-20000 que l’on peut écrire aussi u_n-20000=v_n.

u_n-20000=v_n

On ajoute 20000 de chaque côté.

u_n=v_n+20000

On remplace v_n par -14000\times 0.85^n.

\hspace{0.5cm}=-14000\times 0.85^n+20000

On a bien montré que u_n=-14000\times  0.85^n+20000

Nous allons calculer le nombre de bactéries le 28 ième jour, c’est-à-dire au bout de 4 semaines.

Pour cela, on calcule  u_{28} en remplaçant tous les n par 28 dans l’expression u_n=-14000\times 0.85^n+20000

u_{28}=-14000\times 0.85^{28}+20000

u_{28}=19852.

Au bout de quatre semaines, la production journalière atteint les 19852 bactéries.

Comme il y avait 6000 bactéries au premier jour, oui on peut dire que la production a triplé en quatre semaines.

lim_{n\to +\infty} u_n=lim_{n\to +\infty} -14000\times 0.85^n+20000

On calcule la limite d’une somme.

lim_{n\to +\infty} -14000\times 0.85^n=0

car il s’agit d’une suite géométrique de raison 0.85 et de premier terme -14000 et que -1<0.85<1.

lim_{n\to +\infty} 20000=20000

car 20000 ne dépend pas de n.

Donc lim_{n\to +\infty} u_n = 20000

On interprète : au bout d’un grand nombre de jours, le nombre de bactéries se stabilisera à 20000.

Augmenter de 12 % revient à multiplier par 1.12.

Comme il y a 300 loups en 2017, en 2018 il y en aura :

300\times 1.12 -18=318.

u_n représente le nombre de loups à l’année 2017+n et u_{n+1} représente le nombre de loups à l’année suivante c’est-à-dire 2017+(n+1)

Pour exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n} , on utilise l’énoncé.

D’une année sur l’autre le nombre de loups augmente de 12 % (on multiplie par 1.12 ) puis on autorise à tuer 18 animaux ( on enlève 18 ).

u_{n+1}=1.12\times u_n-18.

N ← 0
U ← 300
Tant que U < 600 faire
U ← 1,12×U −18
N ← N +1
Fin Tant que

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique, nous allons montrer que v_{n+1}=1.12\times v_n.

étape n°1 : j’exprime  v_{n+1} en fonction de u_{n+1}

étape n°3 : je remplace u_{n+1} par 1.12u_{n}-18

étape n°4 : je réduis

étape n°5 : je mets 1.12 en facteur ( il multiplie u_{n}).

étape n°2 : j’exprime  v_{n+1} en fonction de v_n

v_{n+1}=u_{n+1}-150\\v_{n+1}=(1.12u_{n}-18)-150\\v_{n+1}=1.12u_{n}-168\\v_{n+1}=1.12(u_{n}-150)\\v_{n+1}=1.12v_n

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison q=1.12 et de premier terme v_0=300-150=150.

Comme (v_n) est une suite géométrique : v_n=v_0q^n

Ainsi v_n=150\times 1.12^n.

On sait que v_n=u_n-150 

Ecrire A=B  ou B=A revient à la même chose.

u_n-150=v_nu_n=v_n+150

On remplace ensuite v_n par 150\times 1.12^n.

u_n=150\times 1.12^n+150

 

 

Soit q un nombre réel.

  • Si q \leq -1 alors la suite (q^n) diverge et n’admet pas de limite.
  • Si -1<q<1 alors la suite (q^n) converge vers 0.
  • Si q =1 alors la suite (q^n) converge vers 1.
  • Si q >1 alors la suite (q^n) diverge vers +\infty.

Comme q>1 car q=1.12, on a :

lim_{n\to{+\infty}}1.12^n=+\infty

Comme 150 est positif

lim_{n\to{+\infty}}150\times 1.12^n=+\infty\\lim_{n\to{+\infty}}150\times 1.12^n+150=+\infty

Donc lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

La régulation proposée ne fonctionne pas et la population des loups va augmenter de façon très importante.

 

Dans la cellule B3, on saisit la formule =2*B2-A2+3

Dans la cellule C2, on saisit la formule =2^(A2)

Dans la cellule D2, on saisit la formule =B2/C2

 

 

D’après le tableur au-dessus, il semble que la suite (u_n) tende vers  +\infty et que la suite  \frac{u_n}{v_n} tende vers  3

On veut montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
u_n=3\times 2^n+n-2.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_0=3\times 2^0+0-2  vraie car  u_0=1 

Transmission ou hérédité : .

u_n=3\times 2^n+n-2\\2u_n=2\times 3\times 2^n+2n-4\\2u_n= 3\times 2^{n+1}+2n-4\\2u_n-n+3= 3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\2u_n-n+3= 3\times 2^{n+1}+n-1\\2u_{n}-n+3=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2\\u_{n+1}=3\times 2^{n+1}+(n+1)-2

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : Je multiplie l’égalité ci-dessus par 2.

étape n°5 : Je remplace  2\times 2^n par 2^{n+1}.

étape n°6 : J’ajoute -n+3 de chaque côté.

étape n°7 : Je réduis.

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par 2u_{n}-n+3 

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

 

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

pour tout entier naturel n, on a
u_n=3\times 2^n+n-2.

u_n=3\times 2^n+n-2

On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n 

On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit  ou un quotient ?

C’est la somme de trois termes :

3\times 2^n , n et -2.

On calcule d’abord les limites des trois termes à l’aide de la propriété n°2 :

Les suites de terme général n, n^2, n^3,…, n^k ( k entier naturel) et  \sqrt{n} vers +\infty quand n tend vers +\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}2^n=+\infty car 2>1

Comme 3 est positif \lim_{n\to{+\infty}}3\times 2^n=+\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

 

\lim_{n\to{+\infty}}-2=-2 car il ne dépend pas de n

On applique ensuite le théorème du cours sur la somme , colonne 4 puis colonne 2.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=lll+\infty-\infty+\infty
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
\lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n=l+l’+\infty-\infty+\infty-\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.

\lim_{n\to{+\infty}} u_n=ll\ne0\infty0
\lim_{n\to{+\infty}} v_n=l’\infty\infty\infty
\lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n=l\times l’\infty\inftyForme indéterminée

Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

\lim_{n\to{+\infty}}u_n=ll\ne0l\infty\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}v_n=l’\ne00\inftyl\infty0
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}=\frac{l}{l’}\infty0\inftyForme indéterminéeForme indéterminée

Remarque

quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .

Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.

Voilà ce qu’on peut écrire sur la copie.

\lim_{n\to{+\infty}}2^n=+\infty car 2>1

Comme 3 est positif \lim_{n\to{+\infty}}3\times 2^n=+\infty .

\lim_{n\to{+\infty}}n=+\infty d’après la propriété n°2.

\lim_{n\to{+\infty}}-2=-2 car il ne dépend pas de n

D’après le théorème sur la somme : \lim_{n\to{+\infty}}3\times 2^n+n-2=+\infty 

Donc \lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty

 

 

On va étudier le signe de \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_{n}}{v_{n}}\\\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{3\times 2^{n+1}+(n+1)-2}{ 2^{n+1}}-\frac{3\times 2^n+n-2}{2^n}\\\hspace{1.5cm}=(3+\frac{n+1-2}{2^{n+1}})-(3+\frac{n-2}{2^n})\\\hspace{1.5cm}=\frac{n-1}{2^{n+1}}-\frac{n-2}{2^n}

On réduit au même dénominateur, ici 2^{n+1}

\hspace{1.5cm}=\frac{n-1}{2^{n+1}}-\frac{n-2}{2^n}\times \frac{2}{2} \\\hspace{1.5cm}=\frac{n-1}{2^{n+1}}-\frac{2n-4}{2^{n+1}} \\\hspace{1.5cm}=\frac{n-1-2n+4}{2^{n+1}} \\\hspace{1.5cm}=\frac{3-n}{2^{n+1}}

Pour déterminer le signe de 3-n , on peut procéder comme en classe de seconde.

Donc 3-n est négatif à partir du rang 3 et 2^{n+1} est toujours positif donc \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\frac{u_{n}}{v_{n}} est négatif à partir du rang 3.

Ainsi la suite (\frac{u_{n}}{v_{n}}) est décroissante à partir du rang 3.

 

On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0<\frac{n}{2^n}\leq \frac{1}{n}.

On a conjecturé que \frac{u_n}{v_n} convergeait vers 3. Compte-tenu de l’indication ci-dessus, on va utiliser le théorème des gendarmes en encadrant \frac{u_n}{v_n} par deux termes de suites convergeant vers 3.

\frac{u_n}{v_n}=\frac{3\times 2^n+n-2}{2^n}

\hspace{0.45cm}=\frac{3\times 2^n}{2^n}+\frac{ n}{2^n}-\frac{2}{2^n}

\hspace{0.45cm}=3+\frac{ n}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}.

Il s’agit maintenant d’encadrer \hspace{0.45cm}3+\frac{ n}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}

étape n°2 : écrire l’hypothèse de l’énoncé 

étape n°3 : on ajoute 3-\frac{1}{2^{n-1}} de chaque côté.

étape n°1 : écrire …<3+\frac{ n}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}\leq…

0<\frac{n}{2^n}\leq \frac{1}{n}\\0+3-\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{n}{2^n}+3-\frac{1}{2^{n-1}}\leq \frac{1}{n}+3-\frac{1}{2^{n-1}}\\3-\frac{1}{2^{n-1}}<3+\frac{ n}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}\leq \frac{1}{n}+3-\frac{1}{2^{n-1}}

 lim_{n\to{+\infty}}3=3 et lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{2^{n-1}}=0 , donc d’après le théorème sur la somme :

lim_{n\to{+\infty}}3-\frac{1}{2^{n-1}}=3\\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0lim_{n\to{+\infty}}3=3 et lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{2^{n-1}}=0 , donc d’après le théorème sur la somme :

lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}+3-\frac{1}{2^{n-1}}=3

D’après le théorème des gendarmes :

lim_{n\to{+\infty}}3+\frac{ n}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}=3

Donc lim_{n\to{+\infty}}\frac{ u_n}{v_n}=3

 

 

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an.

Augmenter de 5 % revient à multiplier par 1.05 donc v_{n+1}=1.05\times v_n .

Il s’agit là de l’écriture par récurrence d’une suite géométrique de raison1.05.

Comme v_0=12.
Alors v_{n}=12\times 1.05^n.

On programme la calculatrice, on parcourt le tableur et voici ce qu’on obtient:

A partir du rang 33, les termes de la suite dépassent 60.

La population compte plus de 60 000 individus en 2016+33, c’est-à-dire en 2049. Le modèle n’est donc pas judicieux.

On considère la fonction g définie sur \mathbf{R} par
g(x)=-\frac{1.1}{605}x^2+1.1x
Pour justifier que g est croissante sur [0; 60], on va calculer g'(x) et montrer qu’elle est positive sur [0; 60].

g'(x)=(-\frac{1.1}{605}x^2+1.1x)’\\g'(x)=(-\frac{1.1}{605}x^2)’+(1.1x)’\\g'(x)=(-\frac{1.1}{605}(x^2)’+1.1(x)’\\g'(x)=(-\frac{1.1}{605}\times 2x+1.1\times 1\\g'(x)=-\frac{2.2}{605}x+1.1

Pour étudier le signe de g'(x)=-\frac{2.2}{605}x+1.1 , on utilise le signe du polynôme du premier degré vu en seconde. 

a=-\frac{2.2}{605}, b=1.1, -\frac{b}{a}=302.5 et le signe de -a qui est positif.

On constate que g'(x) est positive sur [0; 60].
Donc la fonction g est croissante sur [0; 60].

 

 

On veut résoudre g(x)=x, c’est-à-dire -\frac{1.1}{605}x^2+1.1x=x.

-\frac{1.1}{605}x^2+1.1x-x=0\\-\frac{1.1}{605}x^2+0.1x=0

Il n’est pas judicieux de calculer \Delta. Il suffit de mettre x en facteur et d’appliquer la règle du produit nul.

x(-\frac{1.1}{605}x+0.1)=0\\x=0 ou -\frac{1.1}{605}x+0.1=0\\\hspace{2.2cm}-\frac{1.1}{605}x=-0.1\\\hspace{2.95cm}x=\frac{-0.1}{-\frac{1.1}{605}}\\\hspace{2.95cm}x=-0.1\times({-\frac{605}{1.1}})\\\hspace{2.95cm}x=55

Les solutions de g(x)=x sont 0 et 55.

 

On calcule la valeur arrondie à 10^{-3} de u_1. Pour cela, on remplace  n par l’entier précédent : 0 dans la formule u_{n+1}=g(u_n).

u_{0+1}=g(u_0)\\u_1=-\frac{1.1}{605}u_0^2+1.1u_0\\u_1=-\frac{1.1}{605}12^2+1.1\times 12\\u_1=12.938

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 0\leq u_n\leq 55.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_0\leq 55 vraie car u_0=12

Transmission ou hérédité

0\leq u_n \leq 55\\g(0)\leq g(u_n) \leq g(55)

 

0\leq u_{n+1} \leq 55

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°3 : La fonction g est croissante sur [0;60] , les nombres et les images varient dans le même sens. La démonstration est finie car g(0)=0, g(u_n)=u_{n+1} et g(55)=55

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

0\leq u_n\leq 55 pour n \in \mathbf{N}

 

Pour montrer que la suite (u_n) est croissante.

Nous allons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u_n\leq u_{n+1}.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_0\leq u_1 vraie car u_0=12 et u_1=12.938 

Transmission ou hérédité

u_n \leq u_{n+1}\\g(u_n) \leq g(u_{n+1})

 

u_{n+1} \leq u_{n+2}

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°3 : La fonction g est croissante sur [0;60]  et les termes u_n de la suite appartiennent à [0;55] ( question précédente). Donc les nombres et leurs images varient dans le même sens.

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

u_n\leq u_{n+1} pour n \in \mathbf{N}

Donc la suite (u_n) est croissante.

 

La suite (u_n) est croissante et majorée par 55 donc  la suite (u_n) est convergente.

Les solutions de l’équation  g(x)=x sont 0 et 55.

Donc l est égal à 0 ou 55.

La suite (u_n) est croissante et u_0=12 donc l ne peut pas être égal à 0 .

Donc l=55.

Ainsi le nombre d’individus dans la population va se rapprocher de 55 000. Ce modèle  répond donc aux contraintes du milieu naturel.

n un entier naturel
u un nombre réel
n prend la valeur 0
u prend la valeur 12
Tant Que u<50
u prend la valeur -\frac{1.1}{605}u^2+1.1u
n prend la valeur n+1
Fin Tant Que
Afficher n

On calcule la valeur  de u_1. Pour cela, on remplace  n par l’entier précédent : 0 dans la formule u_{n+1}=f(u_n).

u_{0+1}=f(u_0)\\u_1=\frac{2+3\times u_0}{4+u_0}\\u_1=\frac{2+3\times 3}{4+3}\\u_1=\frac{11}{7}

 

f(x)= \frac{2+3x}{4+x} pour x\in [0;4] 

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=2+3x et v(x)=4+x.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=2+3x est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(2+3x)’

u'(x)=(2)’+(3x)’

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (3x)’ par 3(x)’

u'(x)=(2)’+3(x)’

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=0+3\times1

u'(x)=3

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=4+x est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

v'(x)=(4+x)’

v'(x)=(4)’+(x)’

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

v'(x)=0+1

v'(x)=1

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  2+3xv par 4+x, u’ par  3 et v’ par 1 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

 Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{2+3x}{4+x})’\\f'(x)=\frac{(2+3x)’\times{(4+x)}-{(2+3x)}\times{(4+x)’}}{(4+x)^2}\\f'(x)=\frac{3\times{(4+x)}-{(2+3x)}\times{1}}{(4+x)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

 f'(x)=\frac{12+3x-(2+3x)}{(4+x)^2} 

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

 f'(x)=\frac{12+3x-2-3x}{(4+x)^2} 

On réduit au numérateur

 f'(x)=\frac{10}{(4+x)^2} 

Sur l’intervalle  [0;4] ,  10 et  (4+x)^2 sont positifs donc  f'(x) est positif et ainsi  f est croissante.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 1\leq u_{n+1}\leq u_{n}\leq 3 .

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

1\leq u_1\leq u_0\leq 3 vraie car u_0=3et u_1=\frac{11}{7}(\approx 1.6)

Transmission ou hérédité : .

1\leq u_{n+1} \leq u_{n}\leq 3\\g(1)\leq g(u_{n+1}) \leq g(u_{n})\leq g(3)

 

\frac{2+3\times 1}{4+1}\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}\leq \frac{2+3\times 3}{4+3}\\\frac{5}{5}\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}\leq \frac{11}{7}\\1\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}\leq \frac{11}{7}\leq 3\\1\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}\leq 3

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°3 : La fonction g est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.

étape n°4 : j’exprime   g(1) en fonction de 1 et  g(3) en fonction de 3

étape n°5 : je calcule   g(1)  et  g(3).

étape n°6 : je finis le calcul et j’ajoute   \leq 3.

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

1\leq u_{n+1}\leq u_{n}\leq 3 pour n \in \mathbf{N}

La suite (u_n) est décroissante et minorée par 1 donc  la suite (u_n) est convergente.

On veut résoudre \frac{2+3l}{4+l}=l.

On fait le produit en croix pour se ramener à une équation du second degré.

\frac{2+3l}{4+l}=\frac{l}{1}.

(2+3l)\times 1=(4+l)\times l.

2+3l=4l+l^2\\4l+l^2=2+3l\\l^2+4l-3l-2=0\\l^2+l-2=0

 l’équation l^2+l-2=0 est de la forme ax^2+bx+c=0

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=1 et c=-2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1, 1,(-2).

\Delta=1²-4\times{1}\times{(-2)}\\\Delta=1+8\\\Delta=9

comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, 1  , (-2).

l_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\times{1}}\\l_1=\frac{-1-3}{2}\\l_1=\frac{-4}{2}\\l_1=-2

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1, 1  , (-2).

l_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\times{1}}\\l_2=\frac{-1+3}{2}\\l_2=\frac{2}{2}\\l_2=1

Je conclus S=\{-2;1\}

Comme les termes de la suite sont dans [1;3], la limite l sera égale à 1 .

Les termes de la suite sont rangés dans l’ordre croissant et se rapprochent de la valeur 1.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n , 1-v_{n+1}=\frac{2}{4+v_n}(1-v_n)\\1-v_{n+1}=1-\frac{2+3v_n}{4+v_n}

On met au même dénominateur, ici 4+v_n.

\hspace{1.4cm}=1\times \frac{4+v_n}{4+v_n} -\frac{2+3v_n}{4+v_n}\\\hspace{1.4cm}= \frac{4+v_n}{4+v_n} -\frac{2+3v_n}{4+v_n}\\\hspace{1.4cm}= \frac{4+v_n-(2+3v_n)}{4+v_n}\\\hspace{1.4cm}= \frac{4+v_n-2-3v_n}{4+v_n}\\\hspace{1.4cm}= \frac{2-2v_n}{4+v_n}\\\hspace{1.4cm}= \frac{2(1-v_n)}{4+v_n}\\\hspace{1.4cm}= \frac{2}{4+v_n}(1-v_n)

On admet que pour tout entier naturel n, v_n\geq 0.

On veut montrer  que  0\leq \frac{1}{4+v_n} \leq \frac{1}{4}.

première partie ; pour montrer que 0\leq \frac{1}{4+v_n} nous allons montrer que \frac{1}{4+v_n} est positif.

1 est positif et {4+v_n} est positif ( on a admis que v_n\geq 0) donc \frac{1}{4+v_n} est positif.

Ainsi 0\leq \frac{1}{4+v_n}

deuxième partie : nous allons montrer que \frac{1}{4+v_n} \leq \frac{1}{4}

v_n\geq 0.

4+v_n \geq 4

 

\frac{1}{4+v_n} \leq \frac{1}{4}

étape n°1 : on part de l’hypothèse.

étape n°3 : si on part du bas, on utilise : la fonction inverse est décroissante, les nombres et leurs images varient en sens contraire.Fin de la démonstration.

étape n°2 : on écrit la conclusion, ce qu’on veut démontrer.

troisième partie : on conclut.

Donc 0\leq \frac{1}{4+v_n} \leq \frac{1}{4}

 

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq 1-v_0\leq (\frac{1}{2})^0

C’est-à-dire 0\leq 1-v_0\leq 1

vraie car v_0=0.1 donc 1-v_0=0.9                            

Transmission ou hérédité : .

 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , 0\leq 1-v_n\leq (\frac{1}{2})^n.

0\leq 1-v_n\leq (\frac{1}{2})^n\\\frac{2}{4+v_n}\times 0\leq \frac{2}{4+v_n}\times (1-v_n)\leq \frac{2}{4+v_n}\times(\frac{1}{2})^n\\ 0\leq \frac{2}{4+v_n}\times (1-v_n)\leq \frac{2}{4}\times(\frac{1}{2})^n\\ 0\leq \frac{2}{4+v_n}\times (1-v_n)\leq \frac{1}{2}\times(\frac{1}{2})^n\\0\leq \frac{2}{4+v_n}(1-v_n)\leq (\frac{1}{2})^{n+1}\\0\leq 1-v_{n+1}\leq (\frac{1}{2})^{n+1}

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°4 : Je multiplie par \frac{2}{4+v_n}, le sens ne change pas

étape n°5 : \frac{1}{4+v_n}\leq \frac{1}{4} donc \frac{2}{4+v_n}\times(\frac{1}{2})^n\leq \frac{2}{4}\times(\frac{1}{2})^n

étape n°6 : je simplifie la fraction.

étape n°3 : je remplace 1-v_{n+1} par \frac{2}{4+v_n}(1-v_n)

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

Pour tout entier naturel n , 0\leq 1-v_n\leq (\frac{1}{2})^n

 

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n , 0\leq 1-v_n\leq (\frac{1}{2})^n.

lim_{n\to+\infty}0=0 car 0 ne dépend pas de n.

lim_{n\to+\infty}(\frac{1}{2})^n=0 car -1<\frac{1}{2}<1.

Donc, d’après le théorème des gendarmes :

lim_{n\to+\infty}1-v_n=0

Donc lim_{n\to+\infty}v_n=1

 

Pout compléter nMin, u(n+2), u(0) et u(1) penser à sélectionner avant le bon type c’est-à-dire SUITE(n+2).

Appuyer sur les touches 2nde et graphe

 

 

 

Dans la cellule B4, on écrit la formule suivante : =1.25*B3-0.25*B2 on la recopie vers le bas.

Voici ce qu’on obtient :

 

 

 

D’après le tableur ci-dessous, la suite (u_n) semble converger vers 7.

Pour montrer que la suite (v_n) est constante nous allons montrer que v_{n+1}=v_n.

étape n°1 : j’exprime  v_{n+1} en fonction de u_{n+1} et de u_{n+2}

 

étape n°3 : je remplace u_{n+2} par \frac{5}{4}u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}

étape n°4 : je réduis

étape n°5 : je simplifie.

étape n°2 : j’exprime  v_{n+1} en fonction de v_n

v_{n+1}=u_{(n+1)+1}-\frac{1}{4}u_{n+1}\\v_{n+1}=u_{n+2}-\frac{1}{4}u_{n+1}\\v_{n+1}=\frac{5}{4}u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}-\frac{1}{4}u_{n+1}\\v_{n+1}=\frac{4}{4}u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}\\v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}\\v_{n+1}=v_n

Donc la suite (v_n) est constante.

On a montré précédemment que la suite (v_n) est constante, c’est-à-dire que tous les termes sont égaux : v_0=v_1=v_2=…=v_n=….

Calculons v_0, pour cela on remplace n par 0 dans v_n=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_n

v_0=u_{0+1}-\frac{1}{4}u_0\\v_0=u_{1}-\frac{1}{4}u_0\\v_0=6-\frac{1}{4}\times 3\\v_0=6\times \frac{4}{4} -\frac{3}{4}\\v_0= \frac{24}{4} -\frac{3}{4}\\v_0= \frac{21}{4}

Donc pour tout n\in \mathbf{N} , v_n= \frac{21}{4}.

On remplace v_n par \frac{21}{4} dans v_n=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_n.

\frac{21}{4}=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_n ou u_{n+1}-\frac{1}{4}u_n=\frac{21}{4}.

Donc u_{n+1}=\frac{1}{4}u_n+\frac{21}{4}

 

v_n=u_{n+1}-\frac{1}{4}u_n

On veut montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u_n<u_{n+1}<15 

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

 u_0<u_{0+1}<15 ou u_0<u_{1}<15 vraie car  u_0=3 et u_1=6

Transmission ou hérédité : .

u_n<u_{n+1}<15\\\frac{1}{4}u_{n}<\frac{1}{4}u_{n+1}< \frac{15}{4}<\frac{39}{4}\\\frac{1}{4}u_{n}<\frac{1}{4}u_{n+1}< \frac{39}{4}\\\frac{1}{4}u_{n}<\frac{1}{4}u_{n+1}<15-\frac{21}{4}\\\frac{1}{4}u_{n}+\frac{21}{4}<\frac{1}{4}u_{n+1}+\frac{21}{4} <15\\u_{n+1}< u_{n+2}<15

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut.

étape n°6 : Je multiplie l’inégalité ci-dessus par \frac{1}{4}et je rajoute <\frac{39}{4}.

étape n°5 : J’effectue  15-\frac{21}{4}.

étape n°4 : J’enlève  \frac{21}{4}, le sens  ne change pas.

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par \frac{1}{4}u_{n}+\frac{21}{4} et u_{n+2} par \frac{1}{4}u_{n+1}+\frac{21}{4}

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

pour tout entier naturel n , u_n<u_{n+1}<15 

 

On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , u_n<u_{n+1}<15.

Donc la suite (u_n) est croissante et majorée par 15.

D’après le théorème du cours, elle converge.

Pour montrer que la suite (w_n) est géométrique, nous allons montrer que w_{n+1}=…\times w_n.

étape n°1 : j’exprime  w_{n+1} en fonction de u_{n+1}

étape n°3 : je remplace u_{n+1} par \frac{1}{4}u_{n}+\frac{21}{4}

étape n°4 : je mets au même dénominateur

étape n°5 : je réduis

étape n°5 : je mets \frac{1}{4}en facteur ( il multiplie u_{n}).

étape n°2 : j’écris w_{n+1}=…w_n et je remplacerai les pointillés en fin de  démonstration

w_{n+1}=u_{n+1}-7\\w_{n+1}=\frac{1}{4}u_{n}+\frac{21}{4}-7\\w_{n+1}=\frac{1}{4}u_{n}+\frac{21}{4}-\frac{28}{4}\\w_{n+1}=\frac{1}{4}u_{n}-\frac{7}{4}\\w_{n+1}=\frac{1}{4}(u_{n}-7)\\w_{n+1}=\frac{1}{4}w_n

Donc la suite (w_n) est géométrique de raison q=\frac{1}{4} et de premier terme w_0=u_0-7=3-7=-4.

D’après l’énoncé w_n= u_n-7 qui s’écrit aussi u_n-7=w_n.

Donc u_n=w_n+7

On a montré précédemment que la suite (w_n) est géométrique de raison q=\frac{1}{4} et de premier terme

w_0=-4 donc w_n=-4(\frac{1}{4})^n.

Et u_n=-4(\frac{1}{4})^n+7.

Pour obtenir la réponse contenue dans la question, on poursuit le calcul en remplaçant (\frac{1}{4})^n par (\frac{1}{4})(\frac{1}{4})^{n-1}.

u_n=-4(\frac{1}{4})(\frac{1}{4})^{n-1}+7

-4\times (\frac{1}{4})=-1, donc :

u_n=7-(\frac{1}{4})^{n-1}

 

On veut calculer la limite de la suite (u_n).

u_n=7-(\frac{1}{4})^{n-1}

Comme -1<\frac{1}{4}<1 ,(\frac{1}{4})^n tend vers 0.

Donc 7-(\frac{1}{4})^n tend vers 7.

Donc la suite (u_n) tend vers 7

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.