T. Compléments sur la dérivation : composée de fonctions.

ANALYSE, Compléments sur la dérivation, Dérivation, Niveau terminale spécialité

Rappels de première

On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions de référence sur leurs ensembles de définition.

On a ajouté la fonction logarithme népérien qu’on étudiera en cours d’année.

Dérivées des fonctions de référence

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
puissance n	$f(x)=x^n$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=nx^{n-1}$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
exponentielle	$f(x)=e^x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=e^x$
sinus	$f(x)=sin(x)$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=cos(x)$
cosinus	$f(x)=cos(x)$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=-sin(x)$
logarithme népérien	$f(x)=ln(x)$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{x}$

On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions sur leurs ensembles de définition

Dérivées et opérations

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

Exercice n°1 : calculer des dérivées comme en première.

Déterminer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)= x^3-2x^2+5$ pour $x\in \mathbf{R}$

2. $f(x)= 5x^2-2x+\sqrt{5}$ pour $x\in \mathbf{R}$

3. $f(x)= \frac{3}{x-1}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de 1

4. $f(x)= 8\sqrt{x}$ pour $x\in ]0;+\infty[$

5. $f(x)= x^2\sqrt{x}$ pour $x\in ]0;+\infty[$

6. $f(x)= x^3e^x$ pour $x\in \mathbf{R}$

7. $f(x)= \frac{2x-1}{x-2}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $2$

8. $f(x)= \frac{3x-4}{x^2-1}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $-1$ et de $1$

Compléments de terminale

Définition d’une fonction composée.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur $I$ et $J$ .

La fonction composée $v\circ u$ est définie par $v\circ u ( x)=v(u(x))$ .

L’ensemble de définition de $v\circ u$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $x \in I$ et $u(x) \in J$ .

Exercice n°2 : composer des fonctions.

Soient $u$ définie sur $\mathbf{R}$ par $u(x)=2x-4$ , $v$ définie sur $[0;+\infty[$ par $v(x)=\sqrt{x}$ et

$w$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $w(x)=\frac{1}{x}$ .

Préciser l’ensemble de définition de la fonction $v\circ u$ et déterminer $v\circ u(x)$ en fonction de $x$

2. Préciser l’ensemble de définition de la fonction $u\circ v$ et déterminer $u\circ v(x)$ en fonction de $x$

3. Préciser l’ensemble de définition de la fonction $u\circ w$ et déterminer $u\circ w(x)$ en fonction de $x$

4. Préciser l’ensemble de définition de la fonction $w\circ u$ et déterminer $w\circ u(x)$ en fonction de $x$

5. Préciser l’ensemble de définition de la fonction $v\circ w$ et déterminer $v\circ w(x)$ en fonction de $x$

6. Préciser l’ensemble de définition de la fonction $w\circ v$ et déterminer $w\circ v(x)$ en fonction de $x$

Exercice n°3 : décomposer des fonctions.

Décomposer chacune des fonctions suivantes sous la forme $v\circ u$ où $u$ et $v$ sont des fonctions de référence.

$f(x)=2x^2-3$ .

2. $f(x)=e^{2x+1}$ .

3. $f(x)=\frac{1}{2x+6}$ .

4. $f(x)=5\sqrt{x}-10$ .

5. $f(x)=(2x-4)^2$ .

6. $f(x)=-3e^x-4$ .

Dérivée d’une fonction composée.

Soient $u$ une fonction dérivable sur $I$ et $v$ une fonction dérivable sur $J$ telles que $x \in I$ et $u(x) \in J$ .

La fonction $v\circ u$ est dérivable et on a $( v\circ u)'(x)= (v’\circ u)\times u’$ .

Exercice n°4 : dériver la composée de deux fonctions.

En utilisant les décompositions obtenues à l’exercice n°3, calculer $f'(x)$ dans chaque cas à l’aide de la propriété précédente.

1. $f(x)=e^{2x+1}$ .

2. $f(x)=\frac{1}{2x+6}$ .

3. $f(x)=\sqrt{5x-10}$ .

4. $f(x)=(2x-4)^2$ .

Cas particuliers de fonctions composées.

La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$

La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=u^2(x)$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=2u'(x)u^2(x)$

Dérivées et fonctions composées

Fonction	Dérivée
$v\circ u$	$(v’\circ u)\times u’$
$u^2$	$2u’u$
$u^3$	$3u’u^2$
$u^n$	$nu’u^{n-1}$
$\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
$\sqrt{u}$	$\frac{u’}{2\sqrt{u}}$
$cos(u)$	$-u’sin(u)$
$sin(u)$	$u’cos(u)$
$e^{u}$	$u’e^{u}$
$ln(u)$	$\frac{u’}{u}$
$\frac{1}{u^{n}}$	$-\frac{nu’}{u^{n+1}}$

Exercice n°5

En utilisant $(v\circ u)’= (v’\circ u)\times u’$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)= \sqrt{6x-12}$ pour $x\in [2;+\infty[$

2. $f(x)= (2x+5)^7$ pour $x\in \mathbf{R}$

Exercice n°6

En utilisant $(u^2)’= 2u’u$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)= (2x-1)^2$ pour $x\in \mathbf{R}$

2. $f(x)= (e^x+x)^2$ pour $x\in \mathbf{R}$

Exercice n°7

En utilisant $(u^3)’= 3u’u$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)= (2x^2-x)^3$ pour $x\in \mathbf{R}$

2. $f(x)= (\sqrt(x))^3$ pour $x\in ]0;+\infty[$

Exercice n°8

En utilisant $(\frac{1}{u})’= -\frac{u’}{u^2}$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)=\frac{1}{x^2}$ pour $x\in ]0;+\infty[$

2. $f(x)= \frac{1}{e^x+x^2}$ pour $x\in \mathbf{R}$

Exercice n°9

En utilisant $(\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ pour $x\in ]-1;1[$

2. $f(x)= \sqrt{2x-6}$ pour $x\in ]3;+\infty[$

Exercice n°10

En utilisant $(sin(u))’=u’cos(u)$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)=sin(2x+\pi)$ pour $x\in \mathbf{R}$

2. $f(x)= sin(2\pi-x)$ pour $x\in \mathbf{R}$

Exercice n°11

En utilisant $(cos(u))’=-u’sin(u)$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)=cos(-x+\pi)$ pour $x\in \mathbf{R}$

2. $f(x)= cos(2x+\pi)$ pour $x\in \mathbf{R}$

Exercice n°12

En utilisant $( \frac{1}{u^{n}(x)})'(x)= -\frac{nu'(x)}{u^{n+1}(x)}$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas

$f(x)=\frac{1}{(3x-1)^3}$ pour $x\in ]\frac{1}{3};+\infty[$

2. $f(x)= \frac{1}{(-x^2+1)^4}$ pour $x\in ]-1;1[$

Exercice n°13

En utilisant $(e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}}$ , calculer $f'(x)$ dans chaque cas

$f(x)= e^{x^2-6}$ pour $x\in \mathbf{R}$

2. $f(x)= e^{\sqrt{x}}$ pour $x\in [0;+\infty[$

Pour valider vos calculs de dérivées précédents avec l’application Calcul Formel de Géogébra

saisir, par exemple

f(x)= x^3-2x^2+5

sur la ligne 1 puis cliquer sur le neuvième onglet f’. Apparaît alors à l’écran Dérivée:

f'(x)= 3x^2-4x