Sommaire
Propriété
Le plan passant par le point A(x_A;y_A;z_A) et dont un vecteur normal est le vecteur \overrightarrow{n}(a;b;c) a pour équation cartésienne ax+by+cz+d=0.
Démonstration
Pour tout point M(x;y;z) du plan, le vecteur \overrightarrow{AM}(a;b;c) sera orthogonal au vecteur \overrightarrow{n}(a;b;c).
Ainsi le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0.
On utilise l’expression analytique du produit scalaire :
\overrightarrow{n}(a;b;c) et \overrightarrow{AM}(x-x_A;y-y_A;z-z_A), donc :
a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0On développe
ax+by+cz-(ax_A+by_A+cz_A)=0On obtient bien la forme de la propriété.
Exercice n°1
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A(-1;0;2) et de vecteur normal \overrightarrow{n}(-2;2;1) de deux façons différentes.
Exercice n°2
Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A(-2;1;0) et de vecteur normal \overrightarrow{n}(-1;1;3) de deux façons différentes.
Exercice n°3
Soient A(-3;0;2) , B(\frac{1}{2};1;0) et C(0;\frac{1}{2};2) trois points de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point A et de vecteur normal \overrightarrow{BC}.
Exercice n°4
Soient A(0;2;2) , B(-1;1;2) et C(2;0;3) trois points de l’espace.
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point A et de vecteur normal \overrightarrow{BC}.
Exercice n°5
Soit P le plan d’équation 2x-3y+z-2=0 et A(2;1;-1).
Déterminer une équation cartésienne du plan P’ passant par le point A et parallèle au plan P.
Exercice n°6
Soient A(1;-1;3) , B(0;3;1), C(6;-7;-1), D(2;1;3) et E(4;-6;2) points de l’espace.
- Montrer que les points A,B,D définissent un plan.
2. Montrer que la droite (CE) est orthogonal au plan (ABD)
3. En déduire une équation cartésienne du plan (ABD)
