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T.Exercice BAC 2021 sur les suites

Exercice  : Session 15 Mars 2021 Sujet 1

Soit (u_n) la suite définie sur  \mathbf{N}  par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

Avant de commencer, il est bon de programmer sa TI 83 Premium CE.

je programme ma TI 83 Premium CE

1. Calculer, en détaillant les calculs, u_1 et u_2.

correction u_1
correction u_2

2.a. Quelle valeur doit-on saisir dans la cellule B2 et quelle formule, étirée ensuite vers le bas, doit-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul Géogébra ci-dessous pour obtenir les termes successifs de la suite (u_n) dans la colonne B ?

correction

2.b. Conjecturer le sens de variation de la suite (u_n). 

correction

3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : n\leq u_n\leq n+1.

correction

3.b. En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite (u_n).

correction variations
correction limite

3.c. Démontrer que  :   lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n}=1

correction

4. On désigne par (v_n) la suite définie sur \mathbf{N} par v_n=u_n-n
a. Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison \frac{3}{4}.

correction

b. En déduire que, pour tout entier naturel n,on a : u_n=(\frac{3}{4})^n+n

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Au clavier

A l’écran

Taper sur la touche mode et sélectionner SUITE sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode

Taper ensuite sur la touche f(x) en haut à gauche. Comme la suite  est définie par récurrence, à l’aide des flèches, dans TYPE sélectionner SUITE(n+1).

On programme la suite

Pour cela sur la ligne nMin saisir  le plus petit rang, c’est souvent 0 mais il arrive que ce soit 1 ou autre chose. 

Puis compléter la ligne u(n+1)=. Pour saisir n taper au clavier sur la touche X,T,O,n et pour saisir u taper sur la touche 2nde puis sur la touche 7.

Compléter la ligne u(0)=

Pour afficher les termes de la suite, s’assurer que le tableur est bien paramétré, faire 2nde puis fenêtre on doit avoir 0, 1, AUTO et AUTO.

Taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît.

Les valeurs de la deuxième colonne sont sous forme décimale. Pour avoir la valeur exacte de u_2, on se place sur la 3ème ligne de la 2ème colonne et on appuie sur la touche double flèche ( elle se trouve sur le clavier entre la touche math et la touche x² ).

Compte-tenu du tableur obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.

Voici par exemple, un paramétrage possible.

Taper sur la touche graphe, le graphique apparaît.

Soit (u_n) la suite définie sur  \mathbf{N}  par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

On veut calculer, en détaillant les calculs, u_1.

C’est une suite définie par récurrence.

Lorsqu’on veut calculer, par exemple  u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici  0 dans la formule u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

u_{0+1}=\frac{3}{4}u_0+\frac{1}{4}\times 0+1

On remplace u_0 par sa valeur 1

u_{0+1}=\frac{3}{4}\times 1+\frac{1}{4}\times 0+1

On calcule en respectant la priorité des opérations. D’abord les produits.

u_{1}=\frac{3}{4}+1

Puis la somme en n’oubliant pas de mettre au même dénominateur.

u_{1}=\frac{3}{4}+1\times \frac{4}{4}\\u_{1}=\frac{3}{4}+\frac{4}{4}\\u_{1}=\frac{7}{4}

 

Soit (u_n) la suite définie sur  \mathbf{N}  par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

On veut calculer, en détaillant les calculs, u_2.

C’est une suite définie par récurrence.

Lorsqu’on veut calculer, par exemple  u_2, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici  1 dans la formule u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

u_{1+1}=\frac{3}{4}u_1+\frac{1}{4}\times 1+1

On remplace u_1 par sa valeur \frac{7}{4} déterminée précédemment.

u_{1+1}=\frac{3}{4}\times \frac{7}{4}+\frac{1}{4}\times 1+1

On calcule en respectant la priorité des opérations. D’abord les produits.

u_{2}=\frac{21}{16}+\frac{1}{4}+1

Puis la somme en n’oubliant pas de mettre au même dénominateur.

u_{2}=\frac{21}{16}+\frac{1}{4}\times\frac{4}{4}+1\times\frac{16}{16}\\u_{2}=\frac{21}{16}+\frac{4}{16}+\frac{16}{16}\\u_{2}=\frac{41}{16}

 

 

Dans la cellule B2, il faut saisir la valeur 1.

Dans la cellule B3, il faut saisir la formule =0.75*B2+0.25*A2+1 et la recopier vers le bas.

 

Dans la colonne B, les nombres sont rangés dans l’ordre croissant, il semble que la suite (u_n) soit croissante sur \mathbf{N}.

 

 

(u_n) est définie par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

Montrer par récurrence que  n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N} .

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_0\leq 1 vraie car u_0=1                           

Transmission ou hérédité : .

n\leq u_n \leq n+1 et n+1 \leq n+\frac{4}{3}

 

n\leq u_n \leq n+\frac{4}{3}\\\frac{4}{3}\times \frac{3}{4}n\leq \frac{4}{3}\times \frac{3}{4}u_n \leq \frac{4}{3}\times (\frac{3}{4}n+1)

 

\frac{3}{4}n\leq \frac{3}{4}u_n \leq \frac{3}{4}n+1\\n+1 -\frac{1}{4}n-1\leq \frac{3}{4}u_n \leq n+2-\frac{1}{4}n-1n+1 \leq \frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1 \leq n+2\\n+1\leq u_{n+1} \leq (n+1)+1

étape n°1 : j’écris la propriété au rang  n en haut et je rajoute l’inégalité n+1 \leq n+\frac{4}{3}

étape n°7 : j’effectue les produits.

étape n°6 : Je divise par \frac{3}{4} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par l’inverse \frac{4}{3} qui est positif donc le sens de l’inégalité ne change pas.

étape n°5 : Je réduis les sommes.

étape n°4 : J’enlève \frac{1}{4}n+1 aux  membres de l’inégalité.

étape n°3 : je remplace  u_{n+1} par \frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1 

étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

n\leq u_n \leq n+1 pour tout  n \in \mathbf{N}

 

 

On a montré précédemment, par récurrence, que n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

On écrit la propriété au rang n,

n\leq u_n \leq n+1.

On écrit la propriété au rang n+1,

n+1\leq u_{n+1} \leq n+2.

Comme u_n \leq n+1 et n+1\leq u_{n+1} on peut en déduire que u_n\leq u_{n+1} et ce pour tout n \in \mathbf{N}.

Donc la suite (u_n) est croissante sur \mathbf{N}

On a montré précédemment, par récurrence, que n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

Ainsi u_n\geq n, or lim_{n\to+\infty}n=+\infty.

Donc, par comparaison,  lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty

 

On a montré précédemment, par récurrence, que n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

On divise l’inégalité par n\ne 0\\\frac{n}{n}\leq \frac{u_n}{n} \leq \frac{n+1}{n}

On simplifie l’écriture

1\leq \frac{u_n}{n} \leq \frac{n}{n}+\frac{1}{n}\\1\leq \frac{u_n}{n} \leq 1+\frac{1}{n}

 lim_{n\to+\infty}1=1 car  1 ne dépend pas de  n.

 lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 d’après le cours, donc :

lim_{n\to+\infty}1+\frac{1}{n}=1

 

Donc, d’après le théorème des gendarmes,  lim_{n\to+\infty}u_n=1

 

 

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison \frac{3}{4}, nous allons prouver l’égalité suivante v_{n+1}=\frac{3}{4}\times v_n.

On part du premier membre v_{n+1}, on le transforme pour arriver au second membre \frac{3}{4}\times v_n.

v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1) 

\hspace{0.75cm}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1-n-1. 

\hspace{0.75cm}=\frac{3}{4}u_n-\frac{3}{4}n 

 

\hspace{0.75cm}=\frac{3}{4}(u_n-n)

\hspace{0.75cm}=\frac{3}{4}\times v_n

Etape n°1 : On exprime v_{n+1} en fonction de u_{n+1}

Etape n°4 : On exprime u_{n+1} en fonction de u_{n}

Etape n°5 :  On réduit la somme. En mettant en facteur le coefficient par lequel u_n est multiplié , ici [latex]\frac{3}{4}, on arrivera à l'étape n°3.

Etape n°3 :  On remplace v_n par \frac{3}{4}(u_n-n)

Etape n°2 :  On écrit le second membre de l'égalité qu'on veut démontrée.

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison \frac{3}{4}.

 

On veut montrer que u_n=(\frac{3}{4})^n+n

1.On va utiliser l’égalité v_n=u_n-n pour trouver une expression de u_n.

v_n=u_n-n

A=B et B=A sont des égalités équivalentes.

u_n-n=v_n

-n n’est pas à sa place, j’ajoute n de chaque côté.

u_n=v_n+n

2.On va exprimer  v_n en fonction de n.

On a montré que la suite (v_n) est géométrique de raison \frac{3}{4}.

Donc v_n=v_0\times(\frac{3}{4})^n

Calculons v_0.

On remplace n par 0 dans v_{n}=u_{n}-n.

v_{0}=u_{0}-0

v_{0}=1-0

v_{0}=1

Ainsi v_n=1\times(\frac{3}{4})^n

Comme v_n=(\frac{3}{4})^n

3.On conclut

On remplace v_n par (\frac{3}{4})^n dans u_n=v_n+n.

u_n=(\frac{3}{4})^n+n.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.