TE. Complexes et géométrie : affixe d’un point, affixe d’un vecteur.

Sommaire

Définition : affixe d’un point et point image. 

A tout point M du plan de coordonnées (x;y) est associé le complexe z=x+iy appelé affixe du point M.

A tout nombre complexe z=x+iy, on associe le point M de coordonnées (x;y).

Le plan muni d’un repère orthonormal  direct dans lequel on représente des nombres complexes est appelé plan complexe

Exercice n°1

En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants : 

A d’affixe z_A=2+3iB d’affixe z_B=-2-iC d’affixe z_C=-4 et D d’affixe z_D=-3i.

Exercice n°2

  1. En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants : 

A d’affixe z_A=1+2i, A’ d’affixe z_A’=\overline{z_A} et A" d’affixe z_A"=-z_A 

2. a. Par quelle transformation géométrique, obtient-on A’ à partir de  A?

2. b. Par quelle transformation géométrique, obtient-on A" à partir de  A?

Propriété

Soit M un point du plan d’affixe  z, alors

  • -z est l’affixe du symétrique du point M par rapport à l’origine
  • \overline{z} est l’affixe du symétrique du point M par rapport à l’axe des abscisses

Exemple : voir exercice n°2

Théorème : égalité de deux points

Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.

A=B \iff z_A=z_B.

Théorème : affixe du milieu du segment [AB]

Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.

Le milieu de [AB] a pour affixe  \frac{z_A+z_B}{2}.

Exercice n°3

  1. En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants : 

A(z_A=1+i) , B(z_B=2+4i) , C(z_C=5+4i) et D(z_D=4+i).

2. a. Calculer l’affixe du milieu de [AC].

2. b. Calculer l’affixe du milieu de [BD].

2. c. En déduire la nature du quadrilatère  ABCD.

Exercice n°4

  1. En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants : 

A(z_A=-2+i) , B(z_B=1-2i) , C(z_C=4-i).

2. a. Calculer l’affixe du milieu de [AC].

2. b. On considère le point D qui est le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. On note x+iy l’affixe du point de D. Exprimer l’affixe du milieu de [BD] en fonction de x et de y

2. c. En déduire, par le calcul, l’affixe du point  D.

Définition : affixe d’un vecteur

A tout vecteur \overrightarrow{v} du plan de coordonnées (a;b) est associé le complexe z=a+ib appelé affixe du vecteur  \overrightarrow{v}.

Théorème : égalité de deux vecteurs

Soit \overrightarrow{v_1}(z_{\overrightarrow{v_1}}) et  \overrightarrow{v_2}(z_{\overrightarrow{v_2}}) deux vecteurs du plan complexe.

\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_2} \iff z_{\overrightarrow{v_1}}=z_{\overrightarrow{v_2}}.

Théorème : affixe d’un vecteur

Soit A(z_A) et  B(z_B) deux points du plan complexe.

\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.

Exemple : 

Soit A(z_A) et  B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.

Soit A(2-3i) et  B(6+i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(6+i)-(2-3i).

\hspace{7.52cm}=6+i-2+3i\\\hspace{7.52cm}=4+4i

Exercice n°5

Soient A(z_A=-1+2i) , B(z_B=1+3i) , C(z_C=5).

Calculer les affixes des vecteurs suivants. On pourra vérifier le résultat en utilisant le programme en Python que vous trouverez dans l’article : TE. Programmer sa TI 83 Edition PYTHON en langage Python : calculer l’affixe d’un vecteur.

Exercice n°6

Soient A(z_A=-3+3i) , B(z_B=4i) , C(z_C=2+2i) et D(z_D=-1+i).

  1. Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}.

2. Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{DC}.

3. En déduire la nature du quadrilatère  ABCD.

Exercice n°7

Soient A(z_A=-1+3i) , B(z_B=4+5i) , C(z_C=6+3i).

On veut déterminer l’affixe du point D pour que le quadrilatère  ABCD soit un parallélogramme.

Comme on ne la connaît pas, on notera  x+iy l’affixe du point D

  1. Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}.

2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{DC} en fonction de  x et de y.

3. En utilisant le fait que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} en déduire les valeurs de   x et de y. Conclure.

Théorème : opérations et affixe d’un vecteur.

Soit \overrightarrow{u_1}(z_1) et \overrightarrow{u_2}(z_2) deux vecteurs.

\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1+z_2

\overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1-z_2

-\overrightarrow{u_1} a pour affixe -z_1

k\overrightarrow{u_1} a pour affixe kz_1

Exercice n°8

Soient A(z_A=2-i) , B(z_B=3+3i).

Le but de l’exercice est de déterminer l’affixe du point C défini par \overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}.

Comme on ne la connaît pas, on notera  x+iy l’affixe du point C

  1. Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}. Puis celle de 4\overrightarrow{AB}

2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AC} en fonction de  x et de y.

3. déduire des questions précédentes  l’affixe du point C.

Exercice n°9

Soient A(z_A=3-3i) , B(z_B=6-i) et C(z_C=-2+2i).

Le but de l’exercice est de déterminer l’affixe du point D défini par \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} soit un parallélogramme.

Comme on ne la connaît pas, on notera  x+iy l’affixe du point D

1.a.Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}. Puis celle de 2\overrightarrow{AB}

1.b.Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AC}.

1.c. déduire des questions précédentes  l’affixe du vecteur 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.

2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AD} en fonction de  x et de y.

3. déduire des questions précédentes  l’affixe du point D.

A d’affixe z_A=1+2i\\A’ d’affixe z_A’=\overline{z_A}=1-2i\\A" d’affixe z_A"=-z_A=-1-2i 

A’ d’affixe z_A’=\overline{z_A}=1-2i est l’image de A d’affixe z_A=1+2i par la symétrie d’axe : l’axe des abscisses.

A" d’affixe z_A"=-z_A=-1-2i est l’image de A d’affixe z_A=1+2i par la symétrie centrale de centre : l’origine du repère.

On utilise la formule du cours suivante :

A(z_A) et C(z_C) donc le milieu de [AC] a pour affixe  \frac{z_A+z_C}{2}.

A(1+i) et C(5+4i) donc le milieu de [AC] a pour affixe  \frac{1+i+5+4i}{2}=\frac{6+5i}{2}=3+\frac{5}{2}i.

Pour vérifier le calcul, on peut placer le milieu de [AC] avec Géogébra et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran.

On utilise la formule du cours suivante :

B(z_B) et D(z_D) donc le milieu de [BD] a pour affixe  \frac{z_B+z_D}{2}.

B(2+4i) et D(4+i) donc le milieu de [BD] a pour affixe  \frac{2+4i+4+i}{2}=\frac{6+5i}{2}=3+\frac{5}{2}i.

Pour vérifier le calcul, on peut placer le milieu de [BD] avec Géogébra et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran.

Le milieu de [AC] a pour affixe  3+\frac{5}{2}i et le milieu de [BD] a pour affixe  3+\frac{5}{2}i.

Les affixes sont égales donc les points sont confondus. Donc les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu donc ABCD est un parallélogramme.

On utilise la formule du cours suivante :

A(z_A) et C(z_C) donc le milieu de [AC] a pour affixe  \frac{z_A+z_C}{2}.

A(-2+i) et C(4-i) donc le milieu de [AC] a pour affixe  \frac{-2+i+4-i}{2}=\frac{2}{2}=1.

Pour vérifier le calcul, on peut placer le milieu de [AC] avec Géogébra et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran.

On utilise la formule du cours suivante :

B(z_B) et D(z_D) donc le milieu de [BD] a pour affixe  \frac{z_B+z_D}{2}.

B(1-2i) et D(x+iy) donc le milieu de [BD] a pour affixe :

\frac{1-2i+x+iy}{2}=\frac{1+x+i(-2+y)}{2}=\frac{1+x}{2}+\frac{-2+y}{2}i.

Le milieu de [AC] a pour affixe  1 et le milieu de [BD] a pour affixe  \frac{1+x}{2}+\frac{-2+y}{2}i.

ABCD est un parallélogramme donc les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu donc les affixes des deux milieux sont égales.

\frac{1+x}{2}+\frac{-2+y}{2}i=1

Leurs parties réelles sont égales :

\frac{1+x}{2}=1

1+x=2

x=2-1

x=1

Leurs parties imaginaires sont égales :

\frac{-2+y}{2}=0

-2+y=0

y=2

Donc l’affixe de D est z_D=1+2i

On vérifie le résultat à l’aide de Géogébra.

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.

Soit A(-1+2i) et  B(1+3i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(1+3i)-(-1+2i).

\hspace{8cm}=1+3i+1-2i\\\hspace{8cm}=2+i

On applique la formule du cours :

Soit B(z_B) et  C(z_C) alors \overrightarrow{BC} a pour affixe z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B.

Soit B(1+3i) et  C(5) alors \overrightarrow{BC} a pour affixe z_{\overrightarrow{BC}}=5-(1+3i).

\hspace{7cm}=5-1-3i\\\hspace{7cm}=4-3i

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  C(z_C) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A.

Soit A(-1+2i) et  C(5) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=5-(-1+2i).

\hspace{7.2cm}=5+1-2i\\\hspace{7.2cm}=6-2i

On applique la formule du cours :

Soit B(z_B) et  A(z_A) alors \overrightarrow{BA} a pour affixe z_{\overrightarrow{BA}}=z_A-z_B.

Soit B(1+3i) et  A(-1+2i) alors \overrightarrow{BA} a pour affixe z_{\overrightarrow{BA}}=(-1+2i)-(1+3i).

\hspace{8cm}=-1+2i-1-3i\\\hspace{8cm}=-2-i

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.

Soit A(-3+3i) et  B(4i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=4i-(-3+3i).

\hspace{7.4cm}=4i+3-3i\\\hspace{7.4cm}=3+i

On applique la formule du cours :

Soit D(z_C) et  C(z_C) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D.

Soit D(-1+i) et  C(2+2i) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=(2+2i)-(-1+i).

\hspace{7.9cm}=2+2i+1-i\\\hspace{7.9cm}=3+i

On a montré que z_{\overrightarrow{AB}}=3+i et que z_{\overrightarrow{DC}}=3+i.

Donc z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}.

Comme les affixes sont égales, les vecteurs sont égaux.

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

Donc ABCD est un parallélogramme.

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.

Soit A(-1+3i) et  B(4+5i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(4+5i)-(-1+3i).

\hspace{7.9cm}=4+5i+1-3i\\\hspace{7.9cm}=5+2i

On applique la formule du cours :

Soit D(z_C) et  C(z_C) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D.

Soit D(x+iy) et  C(6+3i) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=(6+3i)-(x+iy).

\hspace{7.8cm}=6+3i-x-iy\\\hspace{7.8cm}=6-x+i(3-y)

On a montré que z_{\overrightarrow{AB}}=5+2i et que z_{\overrightarrow{DC}}=6-x+i(3-y).

Comme ABCD est un paraléllogramme, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} donc  z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}.

5+2i=6-x+i(3-y)

 

Les parties réelles sont égales

5=6-x\\x=6-5\\x=1

Les parties imaginaires sont égales

2=3-y\\y=3-2\\y=1

Ainsi z_{D}=1+i

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.

Soient A(z_A=2-i) , B(z_B=3+3i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(3+3i)-(2-i).

\hspace{9.2cm}=3+3i-2+i\\\hspace{9.2cm}=1+4i

On applique la formule du cours :  k\overrightarrow{u_1} a pour affixe kz_1

4\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{4\overrightarrow{AB}}=4\times(1+4i)\\\hspace{3.2cm}=4+16i 

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  C(z_C) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A.

Soit A(2-i) et  C(x+iy) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=(x+iy)-(2-i).

\hspace{7.55cm}=x+iy-2+i\\\hspace{7.55cm}=x-2+i(y+1)

On a montré que z_{\overrightarrow{AC}}=x-2+i(y-1) et que  z_{4\overrightarrow{AB}}=4+16i .

Comme les vecteurs  \overrightarrow{AC} et 4\overrightarrow{AB} sont égaux, leurs affixes sont égales donc :

x-2+i(y-1)=4+16i

Les parties réelles sont égales

x-2=4\\x=4+2\\x=6

Les parties imaginaires sont égales

y-1=16\\y=16+1\\y=17

Ainsi z_{C}=6+17i.

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.

Soient A(z_A=3-3i) , B(z_B=6-i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(6-i)-(3-3i).

\hspace{9.2cm}=6-i-3+3i\\\hspace{9.2cm}=3+2i

On applique la formule du cours :  k\overrightarrow{u_1} a pour affixe kz_1

2\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{2\overrightarrow{AB}}=2\times(3+2i)\\\hspace{3.2cm}=6+4i 

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  C(z_C) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A.

Soit A(3-3i) et  C(-2+2i) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=(-2+2i)-(3-3i).

\hspace{7.95cm}=-2+2i-3+3i\\\hspace{7.95cm}=-5+5i

On applique la formule du cours : \overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1-z_2

On a montré que 2\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{2\overrightarrow{AB}}=6+4i et que 2\overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=-5+5i.

Donc 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} a pour affixe 6+4i-(-5+5i)

Donc 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} a pour affixe 6+4i+5-5i

Donc 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} a pour affixe 11-i

On applique la formule du cours :

Soit A(z_A) et  D(z_D) alors \overrightarrow{AD} a pour affixe z_{\overrightarrow{AD}}=z_D-z_A.

Soit A(3-3i) et  D(x+iy) alors \overrightarrow{AD} a pour affixe z_{\overrightarrow{AD}}=(x+iy)-(3-3i).

\hspace{7.8cm}=x+iy-3+3i\\\hspace{7.8cm}=x-3+i(y+3)

On a montré que z_{\overrightarrow{AD}}=x-3+i(y+3) et que  z_{2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}=11-i .

Comme les vecteurs  \overrightarrow{AD} et 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} sont égaux, leurs affixes sont égales donc :

x-3+i(y+3)=11-i

Les parties réelles sont égales

x-3=11\\x=11+3\\x=14

Les parties imaginaires sont égales

y+3=-1\\y=-1-3\\y=-4

Ainsi z_{D}=14-4i.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.