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TE. complexes et géométrie : relations trigonométriques et propriétés des arguments.

Sommaire

Formules d’addition

Propriétés : formules d’addition

Pour tous réels a et b ,

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

Exemple n°1

on se propose de  calculer cos(\frac{\pi}{12}) et sin(\frac{\pi}{12}).

  1. Calculer \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}
\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}\times \frac{4}{4}-\frac{\pi}{4}\times \frac{3}{3}\\\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{4\pi}{12}-\frac{3\pi}{12}\\\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}

2. En déduire

a. cos(\frac{\pi}{12})\\cos(\frac{\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})

On remplace a par \frac{\pi}{3} et b par \frac{\pi}{4} dans cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

cos(\frac{\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{3})cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{3})sin(\frac{\pi}{4})

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

cos(\frac{\pi}{12})=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}

cos(\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}

cos(\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

b. sin(\frac{\pi}{12})\\sin(\frac{\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})

On remplace a par \frac{\pi}{3} et b par \frac{\pi}{4} dans sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

sin(\frac{\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{3})cos(\frac{\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{3})sin(\frac{\pi}{4})

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

sin(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}

sin(\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}

sin(\frac{\pi}{12})= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

Exercice n°1 

on se propose de  calculer cos(\frac{5\pi}{12}) et sin(\frac{5\pi}{12}).

  1. Calculer \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}
correction

2. En déduire

a. cos(\frac{5\pi}{12})

correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

b. sin(\frac{5\pi}{12})

correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

Exercice n°2 

on se propose de  calculer cos(\frac{7\pi}{12}) et sin(\frac{7\pi}{12}).

  1. Calculer \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}
correction

2. En déduire

a. cos(\frac{7\pi}{12})

correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

b. sin(\frac{7\pi}{12})

correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

Formules de duplication

Propriété : formules de duplication

Pour tout réel a ,

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

Exemple n°2

on se propose de  calculer cos(\frac{\pi}{8}).

  1. Calculer 2\times \frac{\pi}{8}
2\times \frac{\pi}{8}=\frac{2\pi}{8}\\2\times \frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}

2. En déduire cos(\frac{\pi}{8})\\cos(\frac{\pi}{4})=cos(2\times \frac{\pi}{8})

Dans le membre de droite, on utilise la propriété  cos(2a)=2cos^2(a)-1 en remplaçant a par \frac{\pi}{8}.

cos(\frac{\pi}{4})=2cos^2(\frac{\pi}{8})-1

On écrit l’égalité dans l’autre sens.

2cos^2(\frac{\pi}{8})-1=cos(\frac{\pi}{4})\\2cos^2(\frac{\pi}{8})=cos(\frac{\pi}{4})+1

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

2cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\\2cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{2}\\2cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}+2}{2}\\cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}+2}{4}

Comme cos(\frac{\pi}{8}) est positif,

cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}

Exercice n°3 

on se propose de  calculer cos(\frac{\pi}{12}).

  1. Calculer 2\times\frac{\pi}{12}
correction

2. En déduire cos(\frac{\pi}{12})

correction

Exercice n°4 

On admet que cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}. Calculer cos(\frac{2\pi}{5}).

correction

Argument et opérations

Propriétés : argument et opérations

Soient z et z’ deux complexes non nuls,

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

Exercice n°5

z_1=\sqrt{3}-i et  z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.

  1. Déterminer un argument de z_1 et de z_2
correction z_1=\sqrt{3}-i
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE
correction z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

2. En déduire un argument dans chaque cas.

z_1\times z_2
correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE
z_1^6
correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE
\frac{1}{z_2}
correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

\frac{z_1}{z_2}.

correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

Exercice n°6  

z_1=1+i\sqrt{3} et  z_2=\sqrt{3}i.

  1. Déterminer un argument de z_1 et de z_2
correction z_1=1+i\sqrt{3}
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE
correction z_2=\sqrt{3}i
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

2. En déduire un argument dans chaque cas.

z_1\times z_2
correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE
z_1^{3}
correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE
\frac{1}{z_2}
correction
je vérifie avec ma TI 83 Premium CE

\frac{z_1}{z_2}.

correction
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Exercice n°7

Montrer que (3-3i)^{2408} est réel.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

On veut calculer \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}\times \frac{2}{2}+\frac{\pi}{4}\times \frac{3}{3}\\\hspace{1cm}=\frac{2\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}\\\hspace{1cm}=\frac{5\pi}{12}

On veut en déduire la valeur de cos(\frac{5\pi}{12})\\cos(\frac{5\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})

On remplace a par \frac{\pi}{6} et b par \frac{\pi}{4} dans cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(\frac{5\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{6})cos(\frac{\pi}{4})-sin(\frac{\pi}{6})sin(\frac{\pi}{4})

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

cos(\frac{5\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}

cos(\frac{5\pi}{12})= \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}

 

On veut en déduire sin(\frac{5\pi}{12})

sin(\frac{5\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})

On remplace a par \frac{\pi}{6} et b par \frac{\pi}{4} dans sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

sin(\frac{5\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{6})cos(\frac{\pi}{4})+cos(\frac{\pi}{6})sin(\frac{\pi}{4})

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

sin(\frac{5\pi}{12})=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}

\hspace{1.3cm}= \frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}

 

On veut calculer \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}\times \frac{4}{4}+\frac{\pi}{4}\times \frac{3}{3}\\\hspace{1cm}=\frac{4\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}\\\hspace{1cm}=\frac{7\pi}{12}

 

On veut en déduire la valeur de cos(\frac{7\pi}{12})\\cos(\frac{7\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})

On remplace a par \frac{\pi}{3} et b par \frac{\pi}{4} dans cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(\frac{7\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{3})cos(\frac{\pi}{4})-sin(\frac{\pi}{3})sin(\frac{\pi}{4})

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

cos(\frac{7\pi}{12})=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}

cos(\frac{7\pi}{12})= \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}

 

On veut en déduire sin(\frac{7\pi}{12})

sin(\frac{7\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})

On remplace a par \frac{\pi}{3} et b par \frac{\pi}{4} dans sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

sin(\frac{7\pi}{12})=sin(\frac{\pi}{3})cos(\frac{\pi}{4})+cos(\frac{\pi}{3})sin(\frac{\pi}{4})

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

sin(\frac{7\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}

\hspace{1.3cm}= \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}

 

2\times \frac{\pi}{12}= \frac{\pi}{6}

 En déduire cos(\frac{\pi}{12})\\cos(\frac{\pi}{6})=cos(2\times \frac{\pi}{12})

Dans le membre de droite, on utilise la propriété  cos(2a)=2cos^2(a)-1 en remplaçant a par \frac{\pi}{12}.

cos(\frac{\pi}{6})=2cos^2(\frac{\pi}{12})-1

On écrit l’égalité dans l’autre sens.

2cos^2(\frac{\pi}{12})-1=cos(\frac{\pi}{6})\\2cos^2(\frac{\pi}{12})=cos(\frac{\pi}{6})+1

On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul

2cos^2(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{2}\\2cos^2(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\\cos^2(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}+2}{4}

Comme cos(\frac{\pi}{12}) est positif,

cos(\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}

 

 

 Calculer cos(\frac{2\pi}{5})

On utilise la propriété  cos(2a)=2cos^2(a)-1 en remplaçant a par \frac{\pi}{5}.

cos(\frac{2\pi}{5})=2cos^2(\frac{\pi}{5})-1

On remplace cos(\frac{\pi}{5}) par \frac{1+\sqrt{5}}{4}

\hspace{1.2cm}=2(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^2-1

\hspace{1.2cm}=2\times \frac{(1+\sqrt{5})^2}{16}-1

\hspace{1.2cm}=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{8}-1

\hspace{1.2cm}=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{8}-1

\hspace{1.2cm}=\frac{6+2\sqrt{5}}{8}-1

\hspace{1.2cm}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}-\frac{4}{4}

\hspace{1.2cm}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}

On veut déterminer un argument de z=\sqrt{3}-i

1.On calcule le module de z

On remplace a par la partie rélle de z qui vaut \sqrt{3} et b par la partie imaginaire de z qui vaut -1 dans 

|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}

\hspace{0.5cm}=\sqrt{3+1}

\hspace{0.5cm}=\sqrt{4}

\hspace{0.5cm}=2

On peut vérifier avec la TI 83 Premium CE

2. On cherche un réel \Theta tel que 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}

On remplace a par la partie rélle de z qui vaut \sqrt{3} et b par la partie imaginaire de z qui vaut -1 et |z| par 2 dans 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}.

cos(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2} et sin(\Theta)=\frac{-1}{2}

Pour déterminer, par le calcul, une valeur de \Theta, il y a plusieurs méthodes :

méthode n°1 : on utilise les touches cos^{-1} et sin^{-1} de la calculatrice.

cos(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}

\Theta=cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})

La  calculatrice donne \Theta=\frac{\pi}{6}

En réalité on obtient :

\Theta=\frac{\pi}{6} ou \Theta=-\frac{\pi}{6}

sin(\Theta)=-\frac{1}{2}

\Theta=sin^{-1}(-\frac{1}{2})

La  calculatrice donne \Theta=-\frac{\pi}{6}

En réalité on obtient :

\Theta=-\frac{\pi}{6} ou \Theta=\pi-(-\frac{\pi}{6})

La solution commune aux deux équations est : \Theta=-\frac{\pi}{6}.

Donc arg(z)=-\frac{\pi}{6}[2\pi].

méthode n°2 : on utilise le cercle trigonométrique ci-dessous 

On place \frac{\sqrt{3}}{2} sur l’axe des abscisses, -\frac{1}{2} sur l’axe des ordonnées et on lit l’angle correspondant, ici -\frac{\pi}{6}. attention il y a une infinité de mesures : -\frac{\pi}{6}+2k\pi.

A l’aide du cercle trigonométrique, on obtient :  arg(z)=-\frac{\pi}{6}[2\pi].

 

On veut déterminer un argument de z=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}

1.On calcule le module de z

On remplace a par la partie rélle de z qui vaut -\frac{1}{2} et b par la partie imaginaire de z qui vaut -\frac{\sqrt{3}}{2} dans 

|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

|z|=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}

\hspace{0.5cm}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}

\hspace{0.5cm}=\sqrt{\frac{4}{4}}

\hspace{0.5cm}=\sqrt{1}

\hspace{0.5cm}=1

On peut vérifier avec la TI 83 Premium CE

2. On cherche un réel \Theta tel que 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}

On remplace a par la partie rélle de z qui vaut -\frac{1}{2} et b par la partie imaginaire de z qui vaut -\frac{\sqrt{3}}{2} et |z| par 1 dans 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}.

cos(\Theta)=\frac{-\frac{1}{2}}{1} et sin(\Theta)=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}\\cos(\Theta)=-\frac{1}{2} et sin(\Theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Pour déterminer, par le calcul, une valeur de \Theta, il y a plusieurs méthodes :

méthode n°1 : on utilise les touches cos^{-1} et sin^{-1} de la calculatrice.

cos(\Theta)=-\frac{1}{2}

\Theta=cos^{-1}(-\frac{1}{2})

La  calculatrice donne \Theta=\frac{2\pi}{3}

En réalité on obtient :

\Theta=\frac{2\pi}{3} ou \Theta=-\frac{2\pi}{3}

sin(\Theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\Theta=sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})

La  calculatrice donne \Theta=-\frac{\pi}{3}

En réalité on obtient :

\Theta=-\frac{\pi}{3} ou \Theta=\pi-(-\frac{\pi}{3})=\frac{4\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}[2\pi]

La solution commune aux deux équations est : \Theta=-\frac{2\pi}{3}.

Donc arg(z)=-\frac{2\pi}{3}[2\pi].

méthode n°2 : on utilise le cercle trigonométrique ci-dessous 

On place -\frac{1}{2} sur l’axe des abscisses, -\frac{\sqrt{3}}{2} sur l’axe des ordonnées et on lit l’angle correspondant, ici -\frac{2\pi}{3}. attention il y a une infinité de mesures : -\frac{2\pi}{3}+2k\pi.

A l’aide du cercle trigonométrique, on obtient :  arg(z)=-\frac{2\pi}{3}[2\pi].

 

 

z_1=\sqrt{3}-i et  z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.

On veut déterminer un argument de z_1\times z_2.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(z_1\times z_2)=arg(z_1)+arg(z_2)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.95cm}=(-\frac{\pi}{6})+(-\frac{2\pi}{3})\\\hspace{1.95cm}=-\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}\times \frac{2}{2}\\\hspace{1.95cm}=-\frac{\pi}{6}-\frac{4\pi}{6}\\\hspace{1.95cm}=-\frac{5\pi}{6}

Donc arg(z_1\times z_2)=-\frac{5\pi}{6}[2\pi].

 

 

z_1=\sqrt{3}-i et  z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.

On veut déterminer un argument de z_1^6.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(z_1^6)=6\times arg(z_1)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.25cm}=6\times (-\frac{\pi}{6})\\\hspace{1.25cm}=-\pi

Donc arg(z_1^6)=-\pi[2\pi].

 

Dans l’exercice, on a trouvé arg(z_1^6)=-\pi[2\pi].

Cela signifie que si -\pi est un argument, -\pi+2\pi en est un aussi. Du coup on obtient l’argument proposé par la calculatrice.

z_1=\sqrt{3}-i et  z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.

On veut déterminer un argument de \frac{1}{z_2}.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z_2})=-arg(z_2)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.25cm}=-(-\frac{2\pi}{3})\\\hspace{1.25cm}=\frac{2\pi}{3}

Donc arg(\frac{1}{z_2})=\frac{2\pi}{3}[2\pi].

 

 

z_1=\sqrt{3}-i et  z_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.

On veut déterminer un argument de \frac{z_1}{z_2}.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z_1}{z_2})=arg(z_1)-arg(z_2)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.25cm}=(-\frac{\pi}{6})-(-\frac{2\pi}{3})\\\hspace{1.25cm}=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\times \frac{2}{2}\\\hspace{1.25cm}=-\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{6}\\\hspace{1.25cm}=\frac{3\pi}{6}\\\hspace{1.25cm}=\frac{\pi}{2}

Donc arg(\frac{z_1}{z_2})=\frac{\pi}{2}[2\pi].

 

On veut déterminer un argument de z=1+\sqrt{3}i

1.On calcule le module de z

On remplace a par la partie rélle de z qui vaut 1 et b par la partie imaginaire de z qui vaut \sqrt{3} dans 

|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

|z|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}

\hspace{0.5cm}=\sqrt{1+3}

\hspace{0.5cm}=\sqrt{4}

\hspace{0.5cm}=2

On peut vérifier avec la TI 83 Premium CE

2. On cherche un réel \Theta tel que 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}

On remplace a par la partie rélle de z qui vaut 1 et b par la partie imaginaire de z qui vaut \sqrt{3} et |z| par 2 dans 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}.

cos(\Theta)=\frac{1}{2} et sin(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Pour déterminer, par le calcul, une valeur de \Theta, il y a plusieurs méthodes :

méthode n°1 : on utilise les touches cos^{-1} et sin^{-1} de la calculatrice.

cos(\Theta)=\frac{1}{2}

\Theta=cos^{-1}(\frac{1}{2})

La  calculatrice donne \Theta=\frac{\pi}{3}

En réalité on obtient :

\Theta=\frac{\pi}{3} ou \Theta=-\frac{\pi}{3}

sin(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}

\Theta=sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})

La  calculatrice donne \Theta=\frac{\pi}{3}

En réalité on obtient :

\Theta=\frac{\pi}{3} ou \Theta=\pi-(\frac{\pi}{3})

La solution commune aux deux équations est : \Theta=\frac{\pi}{3}.

Donc arg(z)=\frac{\pi}{3}[2\pi].

méthode n°2 : on utilise le cercle trigonométrique ci-dessous 

On place \frac{1}{2} sur l’axe des abscisses, \frac{\sqrt{3}}{2} sur l’axe des ordonnées et on lit l’angle correspondant, ici \frac{\pi}{3}. attention il y a une infinité de mesures : \frac{\pi}{3}+2k\pi.

A l’aide du cercle trigonométrique, on obtient :  arg(z)=\frac{\pi}{3}[2\pi].

 

On veut déterminer un argument de z=\sqrt{3}i.

Comme z=\sqrt{3}i est un imaginaire avec une partie imaginaire positive, d’après les propriétés précédentes,  on a :  arg(z)=\frac{\pi}{2}[2\pi].

z_1=1+\sqrt{3}i et  z_2=\sqrt{3}i.

On veut déterminer un argument de z_1\times z_2.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(z_1\times z_2)=arg(z_1)+arg(z_2)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.95cm}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\\\hspace{1.95cm}=\frac{\pi}{3}\times \frac{2}{2} +\frac{\pi}{2}\times \frac{3}{3} \\\hspace{1.95cm}=\frac{2\pi}{6}+\frac{3\pi}{6}\\\hspace{1.95cm}=\frac{5\pi}{6}

Donc arg(z_1\times z_2)=\frac{5\pi}{6}[2\pi].

 

z_1=1+\sqrt{3}i et  z_2=\sqrt{3}i.

On veut déterminer un argument de z_1^3.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(z_1^3)=3\times arg(z_1)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.25cm}=3\times \frac{\pi}{3}\\\hspace{1.25cm}=\pi

Donc arg(z_1^3)=\pi[2\pi].

 

z_1=1+\sqrt{3}i et  z_2=\sqrt{3}i.

On veut déterminer un argument de \frac{1}{z_2}.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z_2})=-arg(z_2)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.25cm}=-\frac{\pi}{2}

Donc arg(\frac{1}{z_2})=-\frac{\pi}{2}[2\pi].

 

z_1=1+\sqrt{3}i et  z_2=\sqrt{3}i.

On veut déterminer un argument de \frac{z_1}{z_2}.

On utilise la formule en rouge.

arg(z\times z’)=arg(z)+arg(z’)[2\pi]

Pout tout entier naturel n , arg(z^n)=n\times arg(z)[2\pi]

arg(\frac{1}{z})=-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z’}{z})=arg(z’)-arg(z)[2\pi]

arg(\frac{z_1}{z_2})=arg(z_1)-arg(z_2)

On utilise les résultats de la question 1.

\hspace{1.25cm}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}\\\hspace{1.25cm}=\frac{\pi}{3}\times \frac{2}{2}-\frac{\pi}{2}\times \frac{3}{3}\\\hspace{1.25cm}=\frac{2\pi}{6}-\frac{3\pi}{6}\\\hspace{1.25cm}=-\frac{\pi}{6}

Donc arg(\frac{z_1}{z_2})=-\frac{\pi}{6}[2\pi].

 

On veut montrer que (3-3i)^{2408} est un nombre réel.

Pour cela on va montrer que (3-3i)^{2408} a pour argument 0 ou \pi.

Etape n°1 : calcul d’un argument de 3-3i.

1.On calcule le module de 3-3i

On remplace a par la partie rélle de 3-3i qui vaut 3 et b par la partie imaginaire de 3-3i qui vaut -3 dans 

|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

|3-3i|=\sqrt{3^2+(-3)^2}

\hspace{1.2cm}=\sqrt{9+9}

\hspace{1.2cm}=\sqrt{18}

\hspace{1.2cm}=\sqrt{9\times 2}

\hspace{1.2cm}=\sqrt{9}\times \sqrt{2}

\hspace{1.2cm}=3\sqrt{2}

On peut vérifier avec la TI 83 Premium CE

2. On cherche un argument de 3-3i noté \Theta.

On remplace a par la partie réelle de 3-3i qui vaut 3 et b par la partie imaginaire de 3-3i qui vaut -3 et |z| par 3\sqrt{2} dans 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}.

cos(\Theta)=\frac{3}{3\sqrt{2}} et sin(\Theta)=\frac{-3}{3\sqrt{2}}\\cos(\Theta)=\frac{1}{\sqrt{2}} et sin(\Theta)=\frac{-1}{\sqrt{2}}\\cos(\Theta)=\frac{\sqrt{2}}{2} et sin(\Theta)=\frac{-\sqrt{2}}{2}

Pour déterminer une valeur de \Theta, on peut utiliser le cercle suivant :

On place \frac{\sqrt{2}}{2} sur l’axe des abscisses, -\frac{\sqrt{2}}{2} sur l’axe des ordonnées et on lit l’angle correspondant, ici -\frac{\pi}{4}. attention il y a une infinité de mesures : -\frac{\pi}{4}+2k\pi.

Donc arg(3-3i)=-\frac{\pi}{4}[2\pi].

Etape n°2 : calcul d’un argument de (3-3i)^{2408}.

arg(3-3i)^{2408}=2408 \times arg(3-3i)\\arg(3-3i)^{2408}=2408\times(-\frac{\pi}{4})\\arg(3-3i)^{2408}=2408\times(-\frac{\pi}{4})\\arg(3-3i)^{2408}=-602\pi

Donc arg(3-3i)^{2408}=0[2\pi]

Donc (3-3i)^{2408} est un nombre réel.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.