TE. Arithmétique : décomposition en produit de facteurs premiers.

Sommaire

Existence et unicité d’une décomposition

Propriété

Tout entier naturel n\geq 2 est premier ou produit de nombres premiers.

Méthode n°1 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers par le calcul.

On se propose de décomposer 3150 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 3150 par 2  puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

3150

1575

525

175

35

7

1

2

3

3

5

5

7

On obtient alors la décomposition suivante :    3150=2\times3^2\times5^2\times7

Méthode n°2 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers avec Géogébra.

Saisir 3150 sur la ligne n°1.

Cliquer sur le quatrième onglet en haut à gauche, s’affiche alors Factoriser : 2.3^2.5^2.7.

Utiliser cette page active Géogébra pour vérifier les décompositions obtenues dans cet article.

Propriété

La décomposition en produit de facteurs premiers de tout entier naturel n\geq 2 est unique.

Exercice n°1

Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.

Exercice n°2

  1. Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.

2.a. En déduire une simplification de \frac{375}{165} 

2.b. En déduire une factorisation de 375a+165b.

2.c. En déduire le PGCD de 375 et 165 .

Exercice n°3

  1. Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.

2.a. En déduire une simplification de \frac{1764}{504} 

2.b. En déduire une factorisation de 1764a+504b.

2.c. En déduire le PGCD de 1764 et 504.

Diviseurs d’un entier naturel non premier

Propriété

 Soit un entier n\geq 2 tel que  n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}…p_r^{\alpha_r} est premier ou produit de nombres premiers.

Les diviseurs positifs de n sont de la forme n=p_1^{{\alpha_1}’}p_2^{{\alpha_2}’}p_3^{{\alpha_3}’}…p_r^{\alpha_r’} avec 0\leq {\alpha_1}’\leq{\alpha_1} , 0\leq {\alpha_2}’\leq{\alpha_2} , 0\leq {\alpha_3}’\leq{\alpha_3} , … , 0\leq {\alpha_r}’\leq{\alpha_r}.

Méthode : pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier naturel.

On se propose de déterminer tous les diviseurs de 98.

Etape n°1 : Décomposer 98 en produit de facteurs premiers

98

49

7

1

2

7

7

 

98=2\times 7^2

Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.

D’après la propriété, les diviseurs de 98=2\times 7^2 s’écrivent 2^{\alpha}\times 7^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 et 0\leq {\beta}\leq 2.

2^{0}\times 7^{0}=1\times1=1\\2^{0}\times 7^{1}=1\times7=7\\2^{0}\times 7^{2}=1\times 49=49\\2^{1}\times 7^{0}=2\times1=2\\2^{1}\times 7^{1}=2\times7=14

et 2^{1}\times 7^{2}=2\times 49=98

Les diviseurs de 98 sont : 1,2,7,14,49,98.

On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE 

Pour ceux qui ne l’ont pas dans leur TI 83 Python, cliquer sur le bouton ci-dessous et écrire le programme.

Exercice n°4

Déterminer tous les diviseurs des nombres suivants

Exercice n°5

Utiliser la page Géogébra ci-dessus pour obtenir la décomposition en produit de facteurs premiers et déterminer le nombre de diviseurs positifs des nombres suivants sans les calculer.

On se propose de décomposer 153 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 153 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

153

51

17

1

3

3

17

 

La décomposition de 153 en produit de facteurs premiers est : 153=3^2\times 17.

On se propose de décomposer 230 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 230 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

230

115

23

1

2

5

23

 

La décomposition de 230 en produit de facteurs premiers est : 230=2\times 5\times 23.

On se propose de décomposer 352 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 352 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

352

176

88

44

22

11

1

2

2

2

2

2

11

 

La décomposition de 352 en produit de facteurs premiers est : 352=2^5\times 11.

 

 

On se propose de décomposer 840 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 840 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

840

420

210

105

35

7

1

2

2

2

3

5

7

 

La décomposition de 840 en produit de facteurs premiers est : 840=2^3\times 3\times 5\times 7.

 

 

On se propose de décomposer 1089 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 1089 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

1089

363

121

11

1

3

3

11

11

 

La décomposition de 1089 en produit de facteurs premiers est : 1089=3^2\times 11^2.

 

 

On se propose de décomposer 2457 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 2457 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

2457

819

273

91

13

1

3

3

3

7

13

 

La décomposition de 2457 en produit de facteurs premiers est : 2457=3^3\times 7\times 13.

 

On se propose de décomposer 375 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 375 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

375

125

25

5

1

3

5

5

5

La décomposition de 375 en produit de facteurs premiers est : 375=3\times 5^3.

 

 

On se propose de décomposer 165 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 165 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

165

55

11

1

3

5

11

 

La décomposition de 165 en produit de facteurs premiers est : 165=3\times 5\times 11.

 

 

On remplace 375 par 3\times 5^3 et 165 par 3\times 5\times 11 dans \frac{375}{165}. Puis on simplifie.

\frac{375}{165}=\frac{3\times 5^3}{3\times 5\times 11}

On simplifie en haut et en bas par 3\times 5

\hspace{0.5cm}=\frac{ 5^2}{ 11}

\hspace{0.5cm}=\frac{ 25}{ 11}

 

On remplace 375 par 3\times 5^3 et 165 par 3\times 5\times 11 dans 375a+165b. Puis on factorise.

375a+165b=3\times 5^3a+3\times 5\times 11b\\\hspace{1.9cm}=3\times 5(5^2a+11b)\\\hspace{1.9cm}=15(25a+11b)

375=3\times 5^3 et 165=3\times 5\times 11.

375 et 165 sont divisibles par 3 et par 5 donc PGCD(375;163)=15.

On se propose de décomposer 1764 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 1764 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

1764

884

441

147

49

7

1

2

2

3

3

7

7

La décomposition de 1764 en produit de facteurs premiers est : 1764=2^2\times 3^2\times 7^2.

On se propose de décomposer 504 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.

Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .

Le plus simple est de diviser 504 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.

Voici comment procéder :

504

252

126

63

21

7

1

2

2

2

3

3

7

La décomposition de 504 en produit de facteurs premiers est : 504=2^3\times 3^2\times 7.

 

On remplace 1764 par 2^2\times 3^2\times 7^2 et 504 par 2^3\times 3^2\times 7 dans \frac{1764}{504}. Puis on simplifie.

\frac{1764}{504}=\frac{2^2\times 3^2\times 7^2}{2^3\times 3^2\times 7}

On simplifie en haut et en bas par 2^2\times 3^2\times 7

\hspace{0.5cm}=\frac{ 7}{ 2}

 

On remplace 1764 par 2^2\times 3^2\times 7^2 et 504 par 2^3\times 3^2\times 7 dans 375a+165b. Puis on factorise.

1764a+504b=2^2\times 3^2\times 7^2a+2^3\times 3^2\times 7b\\\hspace{2.1cm}=2^2\times 3^2\times 7(7a+2b)\\\hspace{2.1cm}=252(7a+2b)

 

1764=2^2\times 3^2\times 7^2 et 504=2^3\times 3^2\times 7.

1764 et 504 sont divisibles par 2^2, 3^2 et par 7 donc PGCD(375;163)=2^2\times 3^2\times 7=252.

 

On se propose de déterminer tous les diviseurs de 75.

Etape n°1 : Décomposer 75 en produit de facteurs premiers

75

25

5

1

3

5

5

 

75=3\times 5^2

Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.

D’après la propriété, les diviseurs de 75=3\times 5^2 s’écrivent 3^{\alpha}\times 5^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 et 0\leq {\beta}\leq 2.

3^{0}\times 5^{0}=1\times1=1\\3^{0}\times 5^{1}=1\times5=5\\3^{0}\times 5^{2}=1\times 25=25\\3^{1}\times 5^{0}=3\times1=3\\3^{1}\times 5^{1}=3\times5=15\\3^{1}\times 5^{2}=3\times 25=75

Les diviseurs de 75 sont : 1,3,5,15,25,75.

On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE 

 

 

On se propose de déterminer tous les diviseurs de 441.

Etape n°1 : Décomposer 441 en produit de facteurs premiers

441

147

49

7

1

3

3

7

7

 

441=3^2\times 7^2

Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.

D’après le cours, les diviseurs de 441=3^2\times 7^2 s’écrivent 3^{\alpha}\times 7^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 et 0\leq {\beta}\leq 2.

3^{0}\times 7^{0}=1\times1=1\\3^{0}\times 7^{1}=1\times7=7\\3^{0}\times 7^{2}=1\times 49=49\\3^{1}\times 7^{0}=3\times1=3\\3^{1}\times 7^{1}=3\times7=21\\3^{1}\times 7^{2}=3\times 49=147\\3^{2}\times 7^{0}=9\times1=9\\3^{2}\times 7^{1}=9\times7=63\\3^{2}\times 7^{2}=9\times 49=441

Les diviseurs de 441 sont : 1,3,7,9,21,49,63,147,441.

On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE 

 

 

On se propose de déterminer tous les diviseurs de 117.

Etape n°1 : Décomposer 117 en produit de facteurs premiers

117

39

13

1

3

3

13

 

117=3^2\times 13

Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.

D’après le cours, les diviseurs de 117=3^2\times 13 s’écrivent 3^{\alpha}\times 13^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 et 0\leq {\beta}\leq1.

3^{0}\times 13^{0}=1\times1=1\\3^{0}\times 13^{1}=1\times13=13\\3^{1}\times 13^{0}=3\times1=3\\3^{1}\times 13^{1}=3\times13=39\\3^{2}\times 13^{0}=9\times1=9\\3^{2}\times 13^{1}=9\times13=117

Les diviseurs de 441 sont : 1,3,9,13,39,117.

On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE 

 

 

On se propose de déterminer tous les diviseurs de 1573.

Etape n°1 : Décomposer 1573 en produit de facteurs premiers

1573

143

13

1

11

11

13

 

1573=11^2\times 13

Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.

D’après le cours, les diviseurs de 1573=11^2\times 13 s’écrivent 11^{\alpha}\times 13^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 et 0\leq {\beta}\leq 1.

11^{0}\times 13^{0}=1\times1=1\\11^{0}\times 13^{1}=1\times13=13\\11^{1}\times 13^{0}=11\times1=11\\11^{1}\times 13^{1}=11\times13=143\\11^{2}\times 13^{0}=121\times1=121\\11^{2}\times 13^{1}=121\times13=1573

Les diviseurs de 1573 sont : 1,11,13,121,143,1573.

On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE 

 

 

On se propose de déterminer tous les diviseurs de 105.

Etape n°1 : Décomposer 105 en produit de facteurs premiers

105

35

7

1

3

5

7

 

105=3\times 5\times 7

Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.

D’après le cours, les diviseurs de 105=3\times 5\times 7 s’écrivent 3^{\alpha}\times 5^{\beta}\times 7^{\gamma} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 , 0\leq {\beta}\leq1 et 0\leq {\gamma}\leq1.

3^{0}\times 5^{0}\times 7^{0}=1\times1\times 1=1\\3^{0}\times 5^{0}\times 7^{1}=1\times1\times 7=7\\3^{0}\times 5^{1}\times 7^{0}=1\times5\times 1=5\\3^{0}\times 5^{1}\times 7^{1}=1\times5\times 7=35\\3^{1}\times 5^{0}\times 7^{0}=3\times1\times 1=3\\3^{1}\times 5^{0}\times 7^{1}=3\times1\times 7=21\\3^{1}\times 5^{1}\times 7^{0}=3\times5\times 1=15\\3^{1}\times 5^{1}\times 7^{1}=3\times5\times 7=105

Les diviseurs de 105 sont : 1,3,5,7,15,21,35,105.

On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE 

 

 

On se propose de déterminer tous les diviseurs de 231.

Etape n°1 : Décomposer 231 en produit de facteurs premiers

231

77

11

1

3

7

11

 

231=3\times 7\times 11

Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.

D’après le cours, les diviseurs de 231=3\times 7\times 11 s’écrivent 3^{\alpha}\times 7^{\beta}\times 11^{\gamma} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 , 0\leq {\beta}\leq1 et 0\leq {\gamma}\leq1.

3^{0}\times 7^{0}\times 11^{0}=1\times1\times 1=1\\3^{0}\times 7^{0}\times 11^{1}=1\times1\times 11=11\\3^{0}\times 7^{1}\times 11^{0}=1\times7\times 1=7\\3^{0}\times 7^{1}\times 11^{1}=1\times7\times 11=77\\3^{1}\times 7^{0}\times 11^{0}=3\times1\times 1=3\\3^{1}\times 7^{0}\times 11^{1}=3\times1\times 11=33\\3^{1}\times 7^{1}\times 11^{0}=3\times7\times 1=21\\3^{1}\times 7^{1}\times 11^{1}=3\times7\times 11=231

Les diviseurs de 231 sont : 1,3,7,11,21,33,77,231.

On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE 

 

 

D’après la propriété, les diviseurs de 42300=2^2\times 3^2\times 5^2\times 47 s’écrivent 2^{\alpha}\times 3^{\beta}\times 5^{\gamma}\times 47^{\omega} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 , 0\leq {\beta}\leq 2 , 0\leq {\gamma}\leq 2 et 0\leq {\omega}\leq 1.

On obtient donc 3 valeurs pour \alpha, 3 valeurs pour \beta, 3 valeurs pour \gamma, 2 valeurs pour \omega.

Il y a donc 3\times 3\times 3\times 2=54 diviseurs positifs de 42300.

D’après la propriété, les diviseurs de 2376=2^3\times 3^3\times 11 s’écrivent 2^{\alpha}\times 3^{\beta}\times 11^{\gamma} avec 0\leq {\alpha}\leq 3 , 0\leq {\beta}\leq 3 et 0\leq {\gamma}\leq 1.

On obtient donc 4 valeurs pour \alpha, 4 valeurs pour \beta, 2 valeurs pour \gamma.

Il y a donc 4\times 4\times 2=32 diviseurs positifs de 2376.

D’après la propriété, les diviseurs de 94864=2^4\times 7^2\times 11^2 s’écrivent 2^{\alpha}\times 7^{\beta}\times 11^{\gamma} avec

0\leq {\alpha}\leq 4 , 0\leq {\beta}\leq 2 et 0\leq {\gamma}\leq 2.

On obtient donc 5 valeurs pour \alpha, 3 valeurs pour \beta, 3 valeurs pour \gamma.

Il y a donc 5\times 3\times 3=45 diviseurs positifs de 94864.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.