Sommaire
Existence et unicité d’une décomposition
Propriété
Tout entier naturel n\geq 2 est premier ou produit de nombres premiers.
Méthode n°1 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers par le calcul.
On se propose de décomposer 3150 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 3150 par 2 puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
3150
1575
525
175
35
7
1
2
3
3
5
5
7
On obtient alors la décomposition suivante : 3150=2\times3^2\times5^2\times7
Méthode n°2 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers avec Géogébra.
Saisir 3150 sur la ligne n°1.
Cliquer sur le quatrième onglet en haut à gauche, s’affiche alors Factoriser : 2.3^2.5^2.7.
Utiliser cette page active Géogébra pour vérifier les décompositions obtenues dans cet article.
Propriété
La décomposition en produit de facteurs premiers de tout entier naturel n\geq 2 est unique.
Exercice n°1
Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.
Exercice n°2
- Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.
2.a. En déduire une simplification de \frac{375}{165}
2.b. En déduire une factorisation de 375a+165b.
2.c. En déduire le PGCD de 375 et 165 .
Exercice n°3
- Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.
2.a. En déduire une simplification de \frac{1764}{504}
2.b. En déduire une factorisation de 1764a+504b.
2.c. En déduire le PGCD de 1764 et 504.
Diviseurs d’un entier naturel non premier
Propriété
Soit un entier n\geq 2 tel que n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}…p_r^{\alpha_r} est premier ou produit de nombres premiers.
Les diviseurs positifs de n sont de la forme n=p_1^{{\alpha_1}’}p_2^{{\alpha_2}’}p_3^{{\alpha_3}’}…p_r^{\alpha_r’} avec 0\leq {\alpha_1}’\leq{\alpha_1} , 0\leq {\alpha_2}’\leq{\alpha_2} , 0\leq {\alpha_3}’\leq{\alpha_3} , … , 0\leq {\alpha_r}’\leq{\alpha_r}.
Méthode : pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier naturel.
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 98.
Etape n°1 : Décomposer 98 en produit de facteurs premiers
98
49
7
1
2
7
7
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après la propriété, les diviseurs de 98=2\times 7^2 s’écrivent 2^{\alpha}\times 7^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 et 0\leq {\beta}\leq 2.
![](https://mathokare.re/wp-content/uploads/sites/7/2022/05/TE.-decomposition-arbre98.png)
et 2^{1}\times 7^{2}=2\times 49=98
Les diviseurs de 98 sont : 1,2,7,14,49,98.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
![](https://mathokare.re/wp-content/uploads/sites/7/2022/05/TE.-decomposition-diviseurs-de-98.png)
Pour ceux qui ne l’ont pas dans leur TI 83 Python, cliquer sur le bouton ci-dessous et écrire le programme.
Exercice n°4
Déterminer tous les diviseurs des nombres suivants
Exercice n°5
Utiliser la page Géogébra ci-dessus pour obtenir la décomposition en produit de facteurs premiers et déterminer le nombre de diviseurs positifs des nombres suivants sans les calculer.