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TS. Bac2021 espace exercice n°4

Exercice n°4 ( Polynésie session 2021 )

Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH de côté 1. Le point M est défini par \overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BH}.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé (A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}).

1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G.

Pour afficher les coordonnées du point E, par exemple, cliquer droit sur le point E de la fenêtre active Géogébra ci-dessus. Apparaît alors Point  E(0;0;1).

correction

2. a. Quelle est la nature du triangle EGD ? Justifier la réponse.

correction

2. b. On admet que l’aire d’un triangle équilatéral de côté c est égale à \frac{\sqrt{3}}{4}c^2.
Montrer que l’aire du triangle EGD est égale à \frac{\sqrt{3}}{2}.

correction

3. Démontrer que les coordonnées de M sont (\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}).

Lors de la construction du point M, ses coordonnées sont apparues dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran  M=(0.67,0.33,0.33).

correction

4. a. Justifier que le vecteur \overrightarrow{n}(-1;1;1) est normal au plan (EGD).

correction

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (EGD) est : -x+y+z-1=0.

Pour conjecturer une équation cartésienne du plan (EGD) à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par 3 points dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point E puis sur le point G et sur le point D . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une équation cartésienne du plan   (EGD) :-x+y+z=1 .

correction

c. Soit  \Delta la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par le point M.
Montrer qu’une représentation paramétrique de cette droite est :

Pour conjecturer une représentation paramétrique de la droite d à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Orthogonale dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point M puis sur le plan (EGD) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une représentation paramétrique de la droite d  :  X=(0.67,0.33,0.33)+\lambda (-1,1,1).

correction

5. Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide GEDM , en bleu sur la figure :

Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide GEDM.

Pour conjecturer le volume de la pyramide GEDM à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Saisir dans la colonne Algèbre  Pyramide(G,E,D,M), apparaît alors en dessous le nombre 0.17 qui est son volume.

a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M.
Démontrer que les coordonnées du point K sont (\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})

Pour conjecturer les coordonnées du point K à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus.

-Construire le plan (GED)

-Construire la droite perpendiculaire au plan (GED) passant par M

-Cliquer sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Intersection dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur la droite  et le plan qu’on vient de construire . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît  I=intersection(f,p)   :  (0.33,0.66,0.66).

Remarque : on peut renommer I en K.

correction

b. En déduire le volume de la pyramide GEDM.
On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule
V=\frac{1}{3}\times B\times h
où B désigne l’aire d’une base et h la hauteur associée.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Pour déterminer les coordonnées d’un point , il faut :

Partir de l’origine  A  pour se rendre au point  en se déplaçant d’abord suivant la direction du premier vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AB}) puis suivant la direction du deuxième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AD}) et enfin suivant la direction du troisième vecteur du repère  ( ici \overrightarrow{AE}).

A est l’origine du repère donc A(0;0;0)

On part de  A, pour aller à B on se déplace de  1\times\overrightarrow{AB} puis de  0\times\overrightarrow{AD} et de  0\times\overrightarrow{AE} donc B(1;0;0)

On part de  A, pour aller à C on se déplace de  1\times\overrightarrow{AB} puis de  1\times\overrightarrow{AD} et de  0\times\overrightarrow{AE} donc C(1;1;0)

On part de  A, pour aller à D on se déplace de  0\times\overrightarrow{AB} puis de  1\times\overrightarrow{AD} et de  0\times\overrightarrow{AE} donc D(0;1;0)

On part de  A, pour aller à E on se déplace de  0\times\overrightarrow{AB} puis de  0\times\overrightarrow{AD} et de  1\times\overrightarrow{AE} donc E(0;0;1)

On part de  A, pour aller à F on se déplace de  1\times\overrightarrow{AB} puis de  0\times\overrightarrow{AD} et de  1\times\overrightarrow{AE} donc F(1;0;1)

On part de  A, pour aller à G on se déplace de  1\times\overrightarrow{AB} puis de  1\times\overrightarrow{AD} et de  0\times\overrightarrow{AE} donc G(1;1;1)

On part de  A, pour aller à H on se déplace de  0\times\overrightarrow{AB} puis de  1\times\overrightarrow{AD} et de  1\times\overrightarrow{AE} donc H(0;1;1)

 

 

Les trois côtés du triangle EGD (en bleu sur la figure) sont trois diagonales de trois carrés de côté  1. Ils ont donc même longueur : \sqrt{2} et le triangle EGD est donc équilatéral.

On a montré dans la question précédente que le triangle EGD est équilatéral de côté \sqrt{2}.

On admet dans cette question que l’aire d’un triangle équilatéral de côté c est égale à \frac{\sqrt{3}}{4}c^2.

Pour calculer l’aire de EGD, on remplace c par \sqrt{2} dans \frac{\sqrt{3}}{4}c^2.

Aire(BGE)=\frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{2}^2\\Aire(BGE)=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2\\Aire(BGE)=\frac{\sqrt{3}}{2}

M est défini par \overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BH}

On cherche les coordonnées du point M , on ne les connaît pas, on les nomme (x;y;z).

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{BM} et \frac{1}{3}\overrightarrow{BH} sont égales.

On exprime les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BM}.

Je repère les coordonnées des points B et M.

\hspace{0.2cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.05cm}y_{M}\hspace{0.05cm}z_{M}

B(1;0;0)\hspace{2cm}M(x;y;z)

J’écris la formule :

\overrightarrow{BM}(x_{M}-x_{B};y_{M}-y_{B};z_{M}-z_{B})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{BM}(x-1;y-0;z-0)

\overrightarrow{BM}(x-1;y;z)

On calcule les coordonnées du vecteur \frac{1}{3}\overrightarrow{BH}.

Je repère les coordonnées des points B et H.

\hspace{0.2cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}\hspace{2.1cm}x_{H}\hspace{0.05cm}y_{H}\hspace{0.05cm}z_{H}

B(1;0;0)\hspace{2cm}H(0;1;1)

J’écris la formule :

\overrightarrow{BH}(x_{H}-x_{B};y_{H}-y_{B};z_{H}-z_{B})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{BH}(0-1;1-0;1-0)

\overrightarrow{BH}(-1;1;1)

\frac{1}{3}\overrightarrow{BH}(\frac{1}{3}\times {(-1)};\frac{1}{3}\times {1};\frac{1}{3}\times {1})

\frac{1}{3}\overrightarrow{BH}(-\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})

Les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{BM} et \frac{1}{3}\overrightarrow{BH} sont égales.

x-1=-\frac{1}{3}

x=-\frac{1}{3}+1

x=-\frac{1}{3}+1\times \frac{3}{3}

x=-\frac{1}{3}+\frac{3}{3}\\x=\frac{2}{3}

y=\frac{1}{3}

z=\frac{1}{3}

Donc le point M a pour coordonnées (\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}).

 

 

Pour montrer que le vecteur  \overrightarrow{n}(-1;1;1) est normal au plan (EGD), on va montrer qu’il est orthogonal aux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{EG} et \overrightarrow{ED}.

On commence par calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{EG} et \overrightarrow{ED}.

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{EG}.

Je repère les coordonnées des points E et G.

\hspace{0.2cm}x_{E}\hspace{0.05cm}y_{E}\hspace{0.05cm}z_{E}\hspace{2.1cm}x_{G}\hspace{0.05cm}y_{G}\hspace{0.05cm}z_{G}

E(0;0;1)\hspace{2cm}G(1;1;1)

J’écris la formule :

\overrightarrow{EG}(x_{G}-x_{E};y_{G}-y_{E};z_{G}-z_{E})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{EG}(1-0;1-0;1-1)

\overrightarrow{EG}(1;1;0)

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{ED}.

Je repère les coordonnées des points E et D.

\hspace{0.2cm}x_{E}\hspace{0.05cm}y_{E}\hspace{0.05cm}z_{E}\hspace{2.1cm}x_{D}\hspace{0.05cm}y_{D}\hspace{0.05cm}z_{D}

E(0;0;1)\hspace{2cm}D(0;1;0)

J’écris la formule :

\overrightarrow{ED}(x_{D}-x_{E};y_{D}-y_{E};z_{D}-z_{E})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{ED}(0-0;1-0;0-1)

\overrightarrow{ED}(0;1;-1)

Ensuite on calcule les produit scalaires  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{EG} et \overrightarrow{n}.\overrightarrow{ED}.

On calcule le produit scalaire  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{EG}.

\overrightarrow{n}(-1;1;1).

\overrightarrow{EG}(1;1;0).

Pour calculer  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{EG}, on remplace : 

 x par -1 ,  y par 1 ,  z par 1.

 x’ par 1 ,  y’ par 1 ,  z’ par 0, dans :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{n}.\overrightarrow{EG}=(-1)\times 1+1\times 1+1\times 0\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{EG}=-1+1+0\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{EG}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{n} et  \overrightarrow{EG} sont orthogonaux.

On calcule le produit scalaire  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{ED}.

\overrightarrow{n}(-1;1;1).

\overrightarrow{ED}(0;1;-1).

Pour calculer  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{ED}, on remplace : 

 x par -1 ,  y par 1 ,  z par 1.

 x’ par 0 ,  y’ par 1 ,  z’ par -1, dans :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{n}.\overrightarrow{ED}=(-1)\times 0+1\times 1+1\times (-1)\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{ED}=0+1-1\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{ED}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{n} et  \overrightarrow{ED} sont orthogonaux.

Le vecteur   \overrightarrow{n} est orthogonal à   \overrightarrow{EG} et \overrightarrow{ED}, donc il est normal au plan (EGD)

 

 

On veut en déduire qu’une équation cartésienne du plan (EGD) est : -x+y+z-1=0

On utilise le résultat du cours suivant : Un plan P de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 où d est un nombre réel.

Comme \overrightarrow{n} a pour coordonnées (-1;1;1).

On remplace a par -1 et b par 1 et c par 1 dans l’équation  ax+by+cz+d=0.

Une équation cartésienne de (EGD) est de la forme :

(-1)\times x+1\times y+1\times z+d=0

-x+y+z+d=0

Pour déterminer d, il faut remplacer x,  y et z par les coordonnées d’un point du plan et résoudre l’équation dont d est l’inconnue.

(EGD) passe par E(0;0;1), on remplace x par 0,  y par 0 et z par 1 dans -x+y+z+d=0.

-0+0+1+d=0

1+d=0

d=-1

Une équation cartésienne du plan  (EGD) est -x+y+z-1=0

 

 

d est la droite passant par M et orthogonale au plan (EGD).
Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d, il faut un vecteur directeur et un point de cette droite.

Comme d est orthogonale au plan (EGD), alors le vecteur normal au plan  \overrightarrow{n}(-1;1;1) est un vecteur directeur de la droite d.

De plus la droite d passe par le point M(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}).

On remplace x_M par \frac{2}{3}, y_M par \frac{1}{3}, z_M par \frac{1}{3} ,a par (-1), b par 1 et c par 1 dans la représentation paramétrique :

On a déterminé une représentation paramétrique de la droite d.

 

Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide GEDM issue du point M. Donc K est le point d’intersection de la droite d et du plan (GED). 

K\in d donc ses coordonnées vérifient le système 

K\in (GED) donc ses coordonnées vérifient l’équation -x+y+z-1=0 

Comme K est le point d’intersection de la droite d et du plan (GED). On résout donc le système suivant 

On remplace x,y,z en fonction de t dans la quatrième équation que l’on résout.

-(\frac{2}{3}-t)+(\frac{1}{3}+t)+(\frac{1}{3}+t)-1=0\\-\frac{2}{3}+t+\frac{1}{3}+t+\frac{1}{3}+t-1=0\\3t-1=0\\3t=1\\t=\frac{1}{3}

Pour trouver les valeurs de x,y,z, on remplace t par \frac{1}{3} dans les 3 premières équations.

x=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\\x=\frac{1}{3}
y=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\y=\frac{2}{3}
z=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\z=\frac{2}{3}

Donc K a pour coordonnées (\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3}).

 

 

On choisit pour base le triangle GED. La hauteur correspondante sera  [MK].

V=\frac{aire(GED)\times MK}{3}

On a vu dans la question 2.b que aire(GED)=\frac{\sqrt{3}}{2}

On calcule MK

M(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})\\K(\frac{1}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})

Pour calculer la distance MK, on remplace x_K par \frac{1}{3} , y_K par \frac{2}{3} , z_K par \frac{2}{3} , x_M par \frac{2}{3} , y_M par \frac{1}{3} et z_M par \frac{1}{3} dans la formule

MK=\sqrt{(x_K-x_M)^2+(y_K-y_M)^2+(z_K-z_M)^2}

MK=\sqrt{(\frac{1}{3}-\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3})^2}

On effectue ce qu’il y a entre parenthèses 

MK=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^2}

On effectue les puissances

MK=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}

On ajoute 

MK=\sqrt{\frac{3}{9}}\\MK=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}\\MK=\frac{\sqrt{3}}{3}

On remplace aire(GED) par \frac{\sqrt{3}}{2} et MK par \frac{\sqrt{3}}{3} dans V=\frac{aire(GED)\times MK}{3}.

V=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}}{3}

V=\frac{\frac{\sqrt{3}^2}{6}}{3}

V=\frac{\frac{3}{6}}{3}

V=\frac{3}{6}\times \frac{1}{3}

V=\frac{1}{6}

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.