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1. Variables aléatoires. Cours.

Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire

  Définition 

  \Omega est l’univers d’une expérience aléatoire.

  Définir une variable aléatoire, c’est associer à chaque issue de l’expérience un nombre réel.

Exemple n°1 :

On lance un dé équilibré.

  • si le numéro sorti est 2 ou 4, on gagne 2 euros,
  • si le numéro sorti est impair on gagne 1 euro
  •  si le 6 sort, on perd 6 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.
Par exemple à l’issue « le numéro sorti est le 5 », on associe la valeur +1 et à l’issue « le numéro sorti est le 6 », on associe la valeur -6 .

Exemple n°2 :

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.

  • si on obtient deux fois pile, on  gagne 2 euros
  • si on obtient une seule fois pile , on  gagne 1 euros
  • sinon on perd 3 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.
Par exemple à l’issue PP, on associe la valeur +2 et à l’issue FF, on associe la valeur -3 .

Exemple n°3 :

On mise 3 euros.

Ensuite on tire une première boule dans une urne qui contient deux rouges et trois vertes, on la remet dans l’urne et on en tire une deuxième. 

  • si on obtient deux rouges, on  gagne 6 euros
  • si on obtient deux vertes , on  gagne 3 euro
  • sinon on on perd 1 euro.

On appelle X la variable aléatoire qui à une issue associe le gain algébrique en euros ( ne pas oublier la mise).
Par exemple à l’issue « les deux boules sont rouges », on associe la valeur 6-3=3 et à l’issue « les deux boules sont de couleur différente », on associe la valeur 3-3=0

Loi de probabilité

  Définition 

  \Omega est l’univers d’une expérience aléatoire.

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n 

  Définir la loi de probabilité de X, c’est associer à chaque valeur a_i , la probabilité p(X=a_i).

  En général, on la présente sous forme de tableau

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

Exemple n°1 (suite):

On lance un dé équilibré.

  • si le numéro sorti est 2 ou 4, on gagne 2 euros,
  • si le numéro sorti est impair on gagne 1 euro
  •  si le 6 sort, on perd 6 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

correction

Exemple n°2 :

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.

  • si on obtient deux fois pile, on  gagne 2 euros
  • si on obtient une seule fois pile , on  gagne 1 euros
  • sinon on perd 3 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

correction

Exemple n°3 :

On mise 3 euros.

Ensuite on tire une première boule dans une urne qui contient deux rouges et trois vertes, on la remet dans l’urne et on en tire une deuxième. 

  • si on obtient deux rouges, on  gagne 6 euros
  • si on obtient deux vertes , on  gagne 3 euro
  • sinon on on perd 1 euro.

On appelle X la variable aléatoire qui à une issue associe le gain algébrique en euros ( ne pas oublier la mise).
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

correction

Paramètres d’une variable aléatoire

Espérance, variance, écart-type

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

Exemple n°1 (suite et fin):

On lance un dé équilibré.

  • si le numéro sorti est 2 ou 4, on gagne 2 euros,
  • si le numéro sorti est impair on gagne 1 euro
  •  si le 6 sort, on perd 6 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.
Déterminer les paramètres de la variable aléatoire X.

correction
vérification avec la TI-83 premium CE

Exemple n°2 (suite et fin) :

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.

  • si on obtient deux fois pile, on  gagne 2 euros
  • si on obtient une seule fois pile , on  gagne 1 euros
  • sinon on perd 3 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.
Déterminer les paramètres de la variable aléatoire X.

correction
vérification avec la TI-83 premium CE

Exemple n°3 :

On mise 3 euros.

Ensuite on tire une première boule dans une urne qui contient deux rouges et trois vertes, on la remet dans l’urne et on en tire une deuxième. 

  • si on obtient deux rouges, on  gagne 6 euros
  • si on obtient deux vertes , on  gagne 3 euro
  • sinon on on perd 1 euro.

On appelle X la variable aléatoire qui à une issue associe le gain algébrique en euros ( ne pas oublier la mise).
Déterminer les paramètres de la variable aléatoire X.

correction
vérification avec la TI-83 premium CE

©2020 – Math’O karé SAS

On lance un dé équilibré.

  • si le numéro sorti est 2 ou 4, on gagne 2 euros,
  • si le numéro sorti est impair on gagne 1 euro
  •  si le 6 sort, on perd 6 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont +2, +1 et -6.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i

-6+1+2

p(X=a_i)

 

 

 

On gagne 2 euros pour l’évènement \{2;4\}. Cet évènement contient 2 issues et chacune d’elles a une probabilité de \frac{1}{6} de se produire. comme  p(\{2;4\})=\frac{2}{6}, on a 

p(X=+2)=\frac{2}{6}

On gagne1 euro pour l’évènement \{1;3;5\}. Cet évènement contient 3 issues et chacune d’elles a une probabilité de \frac{1}{6} de se produire. comme  p(\{1;3;5\})=\frac{3}{6}, on a 

p(X=+1)=\frac{3}{6}

On perd 6 euros pour l’évènement \{6\}. Cet évènement contient 1 issue et elle a une probabilité de \frac{1}{6} de se produire. comme  p(\{6\})=\frac{1}{6}, on a 

p(X=-6)=\frac{1}{6}

On peut achever le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

-6+1+2

p(X=a_i)

p(X=-6)=\frac{1}{6}p(X=+1)=\frac{3}{6}

p(X=+2)=\frac{2}{6}

 

 

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.

  • si on obtient deux fois pile, on  gagne 2 euros
  • si on obtient une seule fois pile , on  gagne 1 euros
  • sinon on perd 3 euros.

On appelle X la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont +2, +1 et -3.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i

-3+1+2

p(X=a_i)

   

 

Je matérialise l’univers à l’aide d’un arbre. Les branches primaires correspondent aux résultats possibles pour le premier lancer, les branches secondaires correspondent aux résultats possibles pour le second lancer.

 

On gagne 2 euros pour l’évènement \{PP\}. Cet évènement contient 1 issue et elle a une probabilité de \frac{1}{4} de se produire. comme  p(\{PP\})=\frac{1}{4}, on a 

p(X=+2)=\frac{1}{4}

On gagne1 euro pour l’évènement \{PF;FP\}. Cet évènement contient 2 issues et chacune d’elles a une probabilité de \frac{1}{4} de se produire. comme  p(\{PF;FP\})=\frac{2}{4}, on a 

p(X=+1)=\frac{2}{4}

On perd 3 euros pour l’évènement \{FF\}. Cet évènement contient 1 issue et elle a une probabilité de \frac{1}{4} de se produire. comme  p(\{FF\})=\frac{1}{4}, on a 

p(X=-3)=\frac{1}{4}

On peut achever le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

-3+1+2

p(X=a_i)

p(X=-3)=\frac{1}{4}p(X=+1)=\frac{2}{4}

p(X=+2)=\frac{1}{4}

 

 

On mise 3 euros.

Ensuite on tire une première boule dans une urne qui contient deux rouges et trois vertes, on la remet dans l’urne et on en tire une deuxième. 

  • si on obtient deux rouges, on  gagne 6 euros
  • si on obtient deux vertes , on  gagne 3 euros
  • sinon on on perd 1 euro.

On appelle X la variable aléatoire qui à une issue associe le gain algébrique en euros.

Tout d’abord, on cherche les valeurs réelles prises par la variable aléatoire X. Les valeurs sont

+6-3=+3, +3-3=0 et -1-3=-4.

Je prépare le tableau de la loi de probabilité.

a_i

-40+3

p(X=a_i)

   

Je matérialise l’univers à l’aide d’un arbre. Les branches primaires correspondent aux résultats possibles pour le premier tirage, les branches secondaires correspondent aux résultats possibles pour le second tirage.

On utilise R pour rouge et V pour verte.

On gagne 6 euros pour l’évènement R\cap R. Les résultats des deux tirages sont indépendants donc

p(R\cap R)=p(R)\times p(R)\\p(R\cap R)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}\\p(R\cap R)=\frac{4}{25}\\p(X=+3)=\frac{4}{25}

On gagne 3 euros pour l’évènement V\cap V. Les résultats des deux tirages sont indépendants donc

p(V\cap V)=p(V)\times p(V)\\p(V\cap V)=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}\\p(R\cap R)=\frac{9}{25}\\p(X=0)=\frac{9}{25}

Sinon on perd 1euro.  

p(X=-4)=1-\frac{4}{25}-\frac{9}{25}\\p(X=-4)=\frac{25}{25}-\frac{4}{25}-\frac{9}{25}\\p(X=-4)=\frac{12}{25}

On peut achever le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

-40+3

p(X=a_i)

p(X=-4)=\frac{12}{25}p(X=0)=\frac{9}{25}

p(X=+3)=\frac{4}{25}

 

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

-6+1+2

p(X=a_i)

p(X=-6)=\frac{1}{6}p(X=+1)=\frac{3}{6}

p(X=+2)=\frac{2}{6}

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=\frac{1}{6}\times (-6)+\frac{3}{6}\times 1+\frac{2}{6}\times 2\\\hspace{1cm}=-\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}\\\hspace{1cm}=\frac{1}{6}\\\hspace{1cm}=0.17

Remarque : le jeu est favorable au joueur sur un grand nombre de parties il peut espérer gagner en moyenne 17 centimes d’euro par partie.

V(X)=\frac{1}{6}\times ((-6)-\frac{1}{6})^2+\frac{3}{6}\times (1-\frac{1}{6})^2+\frac{2}{6}\times (2-\frac{1}{6})^2

On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

\hspace{1cm}=\frac{1}{6}\times (-\frac{37}{6})^2+\frac{3}{6}\times (\frac{5}{6})^2+\frac{2}{6}\times (\frac{11}{6})^2

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.

\hspace{1cm}=\frac{1}{6}\times \frac{1369}{36}+\frac{3}{6}\times \frac{25}{36}+\frac{2}{6}\times \frac{121}{36}

On effectue ensuite les produits.

\hspace{1cm}=\frac{1369}{216}+\frac{75}{216}+\frac{242}{216}

On effectue enfin la somme

\hspace{1cm}=\frac{1686}{216}\\\hspace{1cm}=7.8\\\sigma(X)=\sqrt{7.8}\\\hspace{1cm}=2.8

 

 

On rentre la loi de probabilité comme on rentre une série statistique en classe de seconde.

L’espérance correspond à la moyenne \bar x ainsi  E(x)=0.17.

L’écart-type est \sigma(X)=2.794

Pour déterminer V(X), on élève l’écart-type au carré V(X)=2.794^2=7.806

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

-3+1+2

p(X=a_i)

p(X=-3)=\frac{1}{4}p(X=+1)=\frac{2}{4}

p(X=+2)=\frac{1}{4}

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=\frac{1}{4}\times (-3)+\frac{2}{4}\times 1+\frac{1}{4}\times 2\\\hspace{1cm}=-\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{2}{4}\\\hspace{1cm}=\frac{1}{4}\\\hspace{1cm}=0.25

Remarque : le jeu est favorable au joueur sur un grand nombre de parties il peut espérer gagner en moyenne 25 centimes d’euro par partie.

V(X)=\frac{1}{4}\times ((-3)-\frac{1}{4})^2+\frac{2}{4}\times (1-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{4}\times (2-\frac{1}{4})^2

On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

V(X)=\frac{1}{4}\times (-\frac{13}{4})^2+\frac{2}{4}\times (\frac{3}{4})^2+\frac{1}{4}\times (\frac{7}{4})^2

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.

V(X)=\frac{1}{4}\times \frac{169}{16}+\frac{2}{4}\times \frac{9}{16}+\frac{1}{4}\times \frac{49}{16}

On effectue ensuite les produits.

V(X)=\frac{169}{64}+\frac{18}{64}+\frac{49}{64}

On effectue enfin la somme

\hspace{1cm}=\frac{236}{64}\\\hspace{1cm}=3.69\\\sigma(X)=\sqrt{3.69}\\\hspace{1cm}=1.92

 

On rentre la loi de probabilité comme on rentre une série statistique en classe de seconde.

L’espérance correspond à la moyenne \bar x ainsi  E(x)=0.25.

L’écart-type est \sigma(X)=1.92

Pour déterminer V(X), on élève l’écart-type au carré V(X)=1.92^2=3.69

 

On a déterminé précédemment le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X :

a_i

-40+3

p(X=a_i)

p(X=-4)=\frac{12}{25}p(X=0)=\frac{9}{25}

p(X=+3)=\frac{4}{25}

  Définitions 

  X est une variable aléatoire réelle définie sur \Omega  qui prend les valeurs a_1, a_2, a_3 , …a_n et dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous 

Valeur de X

a_1a_2

…

a_n
P(X=a_i)p_1p_2

…

p_n

L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté E(X) défini par

E(X)=p_1a_1+p_2a_2+…+p_na_n

La variance de la variable aléatoire X est le nombre réel noté V(X) défini par

V(X)=p_1(a_1-E(X))^2+p_2(a_2-E(X))^2+…+p_n(a_n-E(X))^2

L’écart-type de la variable aléatoire X est le nombre réel noté \sigma(X) défini par

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

On applique les résultats du cours au-dessus.

E(X)=\frac{12}{25}\times (-4)+\frac{9}{25}\times 0+\frac{4}{25}\times 3\\\hspace{1cm}=-\frac{48}{25}+\frac{12}{25}\\\hspace{1cm}=\frac{-36}{25}\\\hspace{1cm}=-1.44

Remarque : le jeu est défavorable au joueur sur un grand nombre de parties il peut espérer perdre en moyenne 1.44 euro par partie.

V(X)=\frac{12}{25}\times ((-4)-(-\frac{36}{25}))^2+\frac{9}{25}\times (0-(-\frac{36}{25}))^2+\frac{4}{25}\times (3-(-\frac{36}{25}))^2

On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses

V(X)=\frac{12}{25}\times (-\frac{64}{25})^2+\frac{9}{25}\times (\frac{36}{25})^2+\frac{4}{25}\times (-\frac{111}{25})^2

On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.

V(X)=\frac{12}{25}\times \frac{4096}{625}+\frac{9}{25}\times \frac{1296}{625}+\frac{4}{25}\times \frac{12321}{625}

On effectue ensuite les produits.

V(X)=3.15+0.75+3.15

On effectue enfin la somme

\hspace{1cm}=7.05\\\sigma(X)=\sqrt{7.05}\\\hspace{1cm}=2.655

 

On rentre la loi de probabilité comme on rentre une série statistique en classe de seconde.

L’espérance correspond à la moyenne \bar x ainsi  E(x)=-1.44.

L’écart-type est \sigma(X)=2.655

Pour déterminer V(X), on élève l’écart-type au carré V(X)=2.655^2=7.049

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.