Définition
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre p dont le succès est noté S. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de répétitions nécessaires de cette épreuve de Bernoulli avant l’obtention d’un premier succès S. Cette variable aléatoire prend des valeurs entières non nulles.
La loi de probabilité de X est appelée loi géométrique de paramètre p.
Propriété 1
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p.
Pour tout entier k\geq 1 , p(X=k)=p(1-p)^{k-1}
Exemple n°1
On jette un dé non pipé.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le 6.
- Calculer la probabilité d’obtenir le 6 au bout de 2 lancers.
2. Calculer la probabilité d’obtenir le 6 au bout de 5 lancers.
Exemple n°2
On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’obtenir pile est égale à 0.4.
On répète cette expérience jusqu’à obtenir pile.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile.
- Calculer la probabilité d’obtenir pile au bout de 4 lancers.
2. Calculer la probabilité d’obtenir pile au bout de 6 lancers.
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p.
L’espérance de X est E(X)=\frac{1}{p}
Question
Calculer l’espérance pour les variables aléatoires des exemples n°1 et n°2.
Propriété 3
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p.
Pour tout entier n\geq 1 , p(X>n)=(1-p)^n.
Démonstration
- Justifier que p(X\leq n)=p+p(1-p)+p(1-p)^2+…+p(1-p)^{n-1}
2. En déduire que p(X\leq n)=1-(1-p)^{n}
3. Conclure.
Propriété 4 :
La loi géométrique de paramètre p est une loi de probabilté sans mémoire, autrement dit, pour tous entiers naturels non nuls m et n , p_{X>m}(X>m+n)=p(X>n).
Exemple n°3
Quand on joue au jeu des petits chevaux, il faut faire un six avec un dé pour sortir de l’écurie.
François a déjà lancé le dé huit fois sans obtenir de six.
Quelle est la probabilté que le six sorte au moins au onzième lancer ?
