Résoudre -x^2+5x<5
1.Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement -x^2+5x<5, on fait d’abord tout passer à gauche : -x^2+5x-5<0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=-x^2+5x-5.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
Je conclus S=\left[-0.5;1.4\right[\cup\left]3.6;5.5\right]
2.Résoudre -x^2+5x<5 par le calcul, il faut d’abord tout faire passer à gauche : -x^2+5x-5<0
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme -x^2+5x-5 est de signe négatif (–) .
Etape n°2: Etude du signe de -x^2+5x-5 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients a=-1, b=5 et c=-5.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-1), 5 ,(-5) .
\Delta=5²-4\times{(-1)}\times{(-5)}\\\Delta=25-20\\\Delta=5Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 5, 5.
x_1=\frac{-5-\sqrt{5}}{2\times{(-1)}}\\x_1=\frac{-5-\sqrt{5}}{-2}\\x_1=-\frac{(-5-\sqrt{5})}{2}\\x_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par (-1), 5, 5.
x_2=\frac{-5+\sqrt{5}}{2\times{(-1)}}\\x_2=\frac{-5+\sqrt{5}}{-2}\\x_2=-\frac{(-5+\sqrt{5})}{2}.
x_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=-1 le signe de a est négatif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme -x^2+5x-5 est de signe négatif (–) pour la première et la troisième colonnes.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left]-\infty;\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right[\cup\left]\frac{5+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[.
3. Vérification avec l’application calcul Formel de géogébra.
