Sommaire
Jamshid al-Kashi est un mathématicien et astronome perse né vers 1380 en Iran et mort en 1429.
Propriétés : formules d’Al-Kashi
Dans le triangle ABC ci-dessous
On a les égalités suivantes :
a^2=b^2+c^2-2\times b\times c\times cos(\widehat{BAC})
b^2=a^2+c^2-2\times a\times c\times cos(\widehat{ABC})
c^2=a^2+b^2-2\times a\times b\times cos(\widehat{ACB})
Démonstration de la 1ère égalité
C’est-à-dire : a^2=b^2+c^2-2\times b\times c\times cos(\widehat{BAC})\\ a^2=BC^2\\ \hspace{0.45cm}=\overrightarrow{BC}^2\\ \hspace{0.45cm}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})^2\\ \hspace{0.45cm}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\\ \hspace{0.45cm}=\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^2\\ \hspace{0.45cm}=AC^2-2AC\times AB\times cos(\widehat{BAC})+AB^2\\ \hspace{0.45cm}=b^2+c^2-2\times b\times c\times cos(\widehat{BAC})
Application n°1 : Calculer une mesure d’angle si on connaît les longueurs des trois côtés
Exercice n°1
Dans le triangle ABC ci-dessous, AB=4 , AC=6 et CB=5.
Déterminer une mesure en degrés de l’angle \widehat{ACB}. Arrondir à l’unité.
Application n°2 : Calculer la longueur du troisième côté si on connaît les longueurs de deux côtés et de leur angle commun.
Exercice n°2
Dans le triangle ABC ci-dessous, AB=6 , AC=3 et \widehat{BAC}=140°.
Calculer la longueur BC.
Exercice n°3
On considère la configuration suivante où I est le milieu de [AB].
- Calculer la distance AC.
Avant de se lancer dans les calculs, mesurer la distance AC à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.
Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou Longueur. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point A et sur le point C. Le logiciel affiche la distance AC.
2. Calculer la distance CI en utilisant la propriété de la médiane vue en exercice dans la leçon précédente:
A et B sont deux points du plan et I est le milieu de [AB].
Pour tout point M du plan, on a MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2}
Avant de se lancer dans les calculs, mesurer la distance CI à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.
Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou Longueur. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point C et sur le point I. Le logiciel affiche la distance CI.
3. Calculer la mesure en degrés de l’angle \widehat{ICB} noté \alpha sur la figure.
Avant de se lancer dans les calculs, mesurer l’angle \widehat{ICB} à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.
Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Angle. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point I, C et sur le point B. Le logiciel affiche la mesure en degrés de l’angle \widehat{ICB}.
Exercice n°4
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants A(-3;-2) , B(-1;3) et C(4;-2) .
- Calculer les distances AB , AC et BC.
Avant de se lancer dans les calculs, mesurer la distance AC à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.
Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Distance ou Longueur. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point A et sur le point C. Le logiciel affiche la distance [latex]AC[/latex].
On peut aussi regarder dans la colonne de gauche, on voit écrit a=Segment(B,C,t1) et en dessous 7.07 qui est sa longueur.
2. Calculer la mesure en degrés des angles \widehat{BCA} , \widehat{ABC} et \widehat{CAB}
Avant de se lancer dans les calculs, mesurer l’angle \widehat{BCA} à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus.
Cliquer sur le 8ème onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Angle. Puis dans le repère cliquer successivement sur le point B, C et sur le point A. Le logiciel affiche la mesure en degrés de l’angle \widehat{BCA}.